第９章　不等式與不等式組VIP

1、第9課 不等式與不等式組 1 1定義：定義：(1)用用 連接起來的式子叫做不等式；連接起來的式子叫做不等式；(2)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做使不等式成立的未知數(shù)的值叫做 ；(3)一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的解的全體，叫一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的解的全體，叫做做 ；(4)求不等式的解集的過程或證明不等式無解的過求不等式的解集的過程或證明不等式無解的過程，叫做解不等式程，叫做解不等式要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理不等號(hào)不等號(hào)不等式的解不等式的解不等式的解集不等式的解集2不等式的基本性質(zhì)：不等式的基本性質(zhì)： (1)不等式兩邊都不等式兩邊都 同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式， 不等式仍然成立；若不等式仍然成立

2、；若ab，則，則acbc. (2)不等式兩邊都不等式兩邊都 同一個(gè)正數(shù)，不等式仍然同一個(gè)正數(shù)，不等式仍然 成立；若成立；若ab，c0，則，則acbc， . (3)不等式兩邊都不等式兩邊都 同一個(gè)負(fù)數(shù)，改變不等號(hào)同一個(gè)負(fù)數(shù)，改變不等號(hào) 的方向，改變后不等式仍能成立；若的方向，改變后不等式仍能成立；若ab，c0，則，則 acbc， b，得，得acbc B由由ab，得，得2ab，得，得ab D由由ab，得，得a2b，又，又20，得，得2a1在數(shù)軸上表示正確的是在數(shù)軸上表示正確的是() 解析：解析：x1不包括不包括1，可排除，可排除B、D，而，而A表示表示x1，故選，故選C.C3(2011潛江潛江)某

3、不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖，則某不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖，則這個(gè)不等式組可能是這個(gè)不等式組可能是() A. B. C. D. 解析：觀察解集在數(shù)軸上的表示，可知解析：觀察解集在數(shù)軸上的表示，可知x2且且x3.B4(2011蘇州蘇州)不等式組不等式組 的所有整數(shù)解之和是的所有整數(shù)解之和是() A9 B12 C13 D15 解析：解析： 解之，得解之，得3x6， 整數(shù)整數(shù)x3或或4或或5，其和為，其和為34512.B5(2011日照日照)若不等式若不等式2x4的解都能使關(guān)于的解都能使關(guān)于x的一次不等式的一次不等式(a1)xa5成立，則成立，則a的取值范圍是的取值范圍是() A1a7 Ba

4、7 Ca1或或a7 Da7 解析：由解析：由2x4得得x2； 由由(a1)xa5，得，得，x0，a1. 又又x2使使(a1)xa5成立，成立， 所以所以2 ，2(a1)a5，a7，故，故1a7.A題型一不等式的性質(zhì)題型一不等式的性質(zhì)【例【例 1】 若若ab0，則下列式子：，則下列式子：a11；abab； 中，正確的有中，正確的有() A1個(gè)個(gè) B2個(gè)個(gè) C3個(gè)個(gè) D4個(gè)個(gè) 解析：解析：ab0，a1b11. 而而ab0， abab. 0. 正確的有正確的有、，應(yīng)選，應(yīng)選C.題型分類題型分類 深度剖析深度剖析C探究提高探究提高 將一個(gè)不等式兩邊同時(shí)加上將一個(gè)不等式兩邊同時(shí)加上(或減去或減去)同一個(gè)

5、數(shù)，不等號(hào)方向同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向肯定不變；將一個(gè)不等式兩邊同時(shí)乘以肯定不變；將一個(gè)不等式兩邊同時(shí)乘以(或除以或除以)同一個(gè)不確定同一個(gè)不確定的數(shù)，則需要進(jìn)行分類討論的數(shù)，則需要進(jìn)行分類討論知能遷移知能遷移1(1)若若ab，則下列各式中一定成立的是，則下列各式中一定成立的是() Aa1 Cab Dacbc 解析：解析：ab，a10 Bab0 Cab0 D|a|b|0 解析：解析：b0|a|，ab0正確，應(yīng)選正確，應(yīng)選C.C題型二一元一次不等式解法題型二一元一次不等式解法【例【例 2】解不等式】解不等式5x122(4x3)，并把它的解集在數(shù)軸上，并把它的解集在數(shù)軸上表示出表示出 解：解：5x12

6、2(4x3)， 5x128x6, 5x8x612， 3x6， x2. 在數(shù)軸表示如下：在數(shù)軸表示如下：探究提高探究提高 整個(gè)解一元一次不等式的過程與解一元一次方程極為相似，整個(gè)解一元一次不等式的過程與解一元一次方程極為相似，只是最后一步把系數(shù)化為只是最后一步把系數(shù)化為1時(shí)，需要看清未知數(shù)的系數(shù)是正數(shù)時(shí)，需要看清未知數(shù)的系數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是正數(shù)，不等號(hào)方向不變；如果是負(fù)數(shù)，不等還是負(fù)數(shù)，如果是正數(shù)，不等號(hào)方向不變；如果是負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變號(hào)方向改變知能遷移知能遷移2解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來：解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來： 1 2x5. 解：解： 1 2x5， 3(x1)2

7、x14x10， 3x32x14x10， 3xx4x11032，2x10， x5.題型三一元一次不等式組的解法題型三一元一次不等式組的解法【例【例3】解不等式組】解不等式組 并寫出該不等式并寫出該不等式組的整數(shù)解組的整數(shù)解 解題示范解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！ 解：由解：由得得x1， 22分分 由由得得x2， 44分分 2x1，整數(shù)，整數(shù)x1或或0或或1. 55分分 答：原不等式組的整數(shù)解是答：原不等式組的整數(shù)解是1,0,1. 66分分 探究提高探究提高 求不等式組的解集，不管組成這個(gè)不等式組的不等式有幾求不等式組的解集，不管組成這個(gè)不等式組的不等式有幾個(gè)

8、，都要先分別求解每一個(gè)不等式，再利用口訣個(gè)，都要先分別求解每一個(gè)不等式，再利用口訣“兩大取其兩大取其大，兩小取其小，大小取其中，無中不相容大，兩小取其小，大小取其中，無中不相容”或利用數(shù)軸求或利用數(shù)軸求出它們的公共解集，還要確定其中的特殊解出它們的公共解集，還要確定其中的特殊解知能遷移知能遷移3 (1)解不等式組解不等式組 并把它的解表示在數(shù)軸集上并把它的解表示在數(shù)軸集上 解：解： 3x2.(2)解不等式：解不等式：1 6. 解：解：1 6， 32x118，22x19，1x9.5.(3)已知關(guān)于已知關(guān)于x的不等式組只有四個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的不等式組只有四個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍的取值范圍 解

9、：原不等式組的解集是解：原不等式組的解集是ax2，四個(gè)整數(shù)解指，四個(gè)整數(shù)解指1,0,1,2, 30. 解：解：x29(x3)(x3)，(x3)(x3)0. 由有理數(shù)的乘法法則由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正兩數(shù)相乘，同號(hào)得正”，得，得 (1) (2) 解不等式組解不等式組(1)，得，得x3， 解不等式組解不等式組(2)，得，得x0的解集為的解集為x3或或x0的解集為的解集為x3或或x3. 問題：求分式不等式問題：求分式不等式 0的解集的解集解：解： 0， 或或 解不等式組解不等式組，無解；解不等式組，無解；解不等式組得得 x . 即不等式即不等式 0的解集是的解集是 x .探究提高探究提

10、高 本題應(yīng)用有理數(shù)的乘除法法則本題應(yīng)用有理數(shù)的乘除法法則“兩數(shù)相乘除，同號(hào)得正，兩數(shù)相乘除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)異號(hào)得負(fù)”分類討論因式、分子、分母的正負(fù)，列出不等分類討論因式、分子、分母的正負(fù)，列出不等式組，解出不等式組，即得原不等式的解集這里也體現(xiàn)了式組，解出不等式組，即得原不等式的解集這里也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想知能遷移知能遷移4(1)已知方程組已知方程組 的解滿足不等式的解滿足不等式4x5y9，求，求a的取值范圍的取值范圍 解：解： 又又4x5y9， 4(5a)5(a5)9， 20a5a259, 25a34，a .(2)設(shè)關(guān)于設(shè)關(guān)于x的不等式組的不等式組 無解，求無解，求m的取

11、值范圍的取值范圍 解：解： 不等式組無解，不等式組無解， ，3(m2)2(2m1)， 3m64m2, 3m4m26， m8，m8.5 5明確不等式組解集的意義明確不等式組解集的意義試題已知關(guān)于試題已知關(guān)于x的不等式組的不等式組 的整數(shù)解共有的整數(shù)解共有5個(gè)，個(gè)，求求a的取值范圍的取值范圍學(xué)生答案展示學(xué)生答案展示 解：由不等式組解：由不等式組 得得 又因?yàn)椴坏仁浇M有又因?yàn)椴坏仁浇M有5個(gè)整數(shù)解，個(gè)整數(shù)解， 所以所以ax2，這，這5個(gè)整數(shù)解應(yīng)是個(gè)整數(shù)解應(yīng)是3,2,1,0,1， 所以所以a3.易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示剖析剖析 本題主要考查學(xué)生是否會(huì)利用逆向思維法解決含有待定字母本題主要考查學(xué)生是否會(huì)利用逆向思

12、維法解決含有待定字母的一元一次不等式組的特解，此例錯(cuò)在忽視了在的一元一次不等式組的特解，此例錯(cuò)在忽視了在ax2中有中有5個(gè)個(gè)整數(shù)解時(shí)，整數(shù)解時(shí)，a雖不唯一，但也有一定限制，雖不唯一，但也有一定限制，a的取值范圍在的取值范圍在3與與4之間的任一處，其中包括之間的任一處，其中包括3但不包括但不包括4，所以在確定，所以在確定a的的取值范圍時(shí)擴(kuò)大了解的范圍取值范圍時(shí)擴(kuò)大了解的范圍正解正解 由由 得得 又因不等式組有又因不等式組有5個(gè)整數(shù)解，個(gè)整數(shù)解， 所以所以ax2.則知這則知這5個(gè)整數(shù)解應(yīng)是個(gè)整數(shù)解應(yīng)是3,2,1,0,1， 所以所以a的取值范圍是的取值范圍是4a3.批閱筆記批閱筆記 本題主要考查逆向

13、思維，一定要明確不等式組解集的意義，本題主要考查逆向思維，一定要明確不等式組解集的意義，可畫數(shù)軸直觀理解，如下圖：可畫數(shù)軸直觀理解，如下圖： 注意，包括注意，包括4則不等式組有則不等式組有6個(gè)整數(shù)解了個(gè)整數(shù)解了方法與技巧方法與技巧1. 可以對(duì)照一元一次方程來學(xué)習(xí)一元一次不等式，比較它們之間可以對(duì)照一元一次方程來學(xué)習(xí)一元一次不等式，比較它們之間的共同點(diǎn)和不同之處有助于準(zhǔn)確掌握概念，有助于花較少的精的共同點(diǎn)和不同之處有助于準(zhǔn)確掌握概念，有助于花較少的精力較好地掌握解題技能力較好地掌握解題技能2. 解一元一次不等式的全部過程，與解一元一次方程相比，只是解一元一次不等式的全部過程，與解一元一次方程相比

14、，只是最后一個(gè)步驟上有所變化所以，在熟練了解一元一次方程的最后一個(gè)步驟上有所變化所以，在熟練了解一元一次方程的基礎(chǔ)上，解好一元一次不等式的關(guān)鍵是集中精力，細(xì)心完成好基礎(chǔ)上，解好一元一次不等式的關(guān)鍵是集中精力，細(xì)心完成好最后一步最后一步用未知數(shù)的系數(shù)去除不等式的兩邊在這一步的用未知數(shù)的系數(shù)去除不等式的兩邊在這一步的思考上，應(yīng)分三步：由思考上，應(yīng)分三步：由(未知數(shù)未知數(shù))系數(shù)的正負(fù)，確定原不等號(hào)的方系數(shù)的正負(fù)，確定原不等號(hào)的方向是否改變；由不等號(hào)兩邊的符號(hào)，確定商的符號(hào)；弄清誰除向是否改變；由不等號(hào)兩邊的符號(hào)，確定商的符號(hào)；弄清誰除誰，而不弄錯(cuò)商的絕對(duì)值誰，而不弄錯(cuò)商的絕對(duì)值思想方法思想方法 感悟

15、提高感悟提高3. 對(duì)于解得的一元一次不等式對(duì)于解得的一元一次不等式(組組)的解集是否正確，可以用以的解集是否正確，可以用以下方法檢驗(yàn)：第一步，把解集的端點(diǎn)值分別代入原不等式的下方法檢驗(yàn)：第一步，把解集的端點(diǎn)值分別代入原不等式的左邊和右邊，兩邊計(jì)算出來的數(shù)值應(yīng)當(dāng)相等；第二步，在所左邊和右邊，兩邊計(jì)算出來的數(shù)值應(yīng)當(dāng)相等；第二步，在所得解集中選一個(gè)，在代入原不等式的左邊或右邊后，計(jì)算比得解集中選一個(gè)，在代入原不等式的左邊或右邊后，計(jì)算比較簡便的數(shù)，代入原不等式，原不等式應(yīng)當(dāng)成立較簡便的數(shù)，代入原不等式，原不等式應(yīng)當(dāng)成立失誤與防范失誤與防范1. 解一元一次不等式的一般步驟是：解一元一次不等式的一般步驟是：(1)去分母；去分母；(2)去括號(hào)；去括號(hào)；(3)移移項(xiàng)；項(xiàng)；(4)合并同類項(xiàng)；合并同類項(xiàng)；(5)系數(shù)化為系數(shù)化為1.首先在去分母時(shí)，容易漏乘首先在去分母時(shí)，容易漏乘了不含分母的項(xiàng)，其次是在最后一步利用不等式性質(zhì)將系數(shù)化了不含分母的項(xiàng)，其次是在最后一步利用不等式性質(zhì)將系數(shù)化為為1時(shí)，不等式的兩邊同時(shí)乘以時(shí)，不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以或除以)了相同的負(fù)數(shù)，不等號(hào)了相同的負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向沒有改變，這些都是常見的錯(cuò)誤的方向沒有改變，這些都是常見的錯(cuò)誤2. 解不等式組，需要先解出每一個(gè)不等式的解，最后找出它們的解不等式組，需要先解出每一個(gè)不等式的解，最后找出它們的公共部分解不等式在