巧用圓錐曲線定義求最值問題

1、數(shù)學(xué)例談巧用圓錐曲線定義求最值問題在求解有關(guān)圓錐曲線的最值問題時(shí), 通常是利用函數(shù)的觀點(diǎn), 建立函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行求解。但是, 一味的強(qiáng)調(diào)函數(shù)觀點(diǎn), 有時(shí)會(huì)使思維陷入僵局。這時(shí), 若能考慮用圓錐曲線的定義來求解, 問題就顯得特別的簡(jiǎn)單。下面就列舉一些例子加以說明。例1、2008年福州市數(shù)學(xué)質(zhì)檢文科、理科的選擇題第12題：如圖，M是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上任一點(diǎn)，若點(diǎn)M到點(diǎn)C（3，1）與點(diǎn)B的距離之和為S，則S的取值范圍是（ ）A、 B、C、 D、分析：此題的得分率很低，用函數(shù)觀點(diǎn)求解困難重重。若能利用雙曲線的第一定義，則勢(shì)如破竹。解法如下：連結(jié)MA，由雙曲線的第一定義可得： 當(dāng)且僅當(dāng)A、M、C

2、三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值。如果此題就到此為止，未免太可惜了！于是筆者進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生作如下的探究：（1）如果M點(diǎn)在左支上，則點(diǎn)M到點(diǎn)C（3，1）與點(diǎn)B的距離之和為S，則S的取值范圍是多少？（2）如果M是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓上任一點(diǎn)，若點(diǎn)M到點(diǎn)與點(diǎn)B的距離之差為S，則S的最大值是多少？（3）如果M是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓上任一點(diǎn)，若點(diǎn)M到點(diǎn)與點(diǎn)B的距離之和為S，則S的取值范圍是多少？分析：連結(jié)MA，由橢圓的第一定義可得：，當(dāng)且僅當(dāng)A、M、C三點(diǎn)共線時(shí)取得最大、最小值，如上圖所示。對(duì)于拋物線，也有類似的結(jié)論，由于較簡(jiǎn)單，在此就不一一列舉了。例2、2008年福建省高考數(shù)學(xué)試題選擇題文科第12題、理科的第11

3、題：雙曲線（a0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2, 若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為A、(1,3)B、C、(3,+) D、分析：若能利用雙曲線的第一定義，則迅速獲解. 解法如下：不妨設(shè)|PF2|=m，則|PF1|=2m，故a=m, 由|PF1|+|PF2| F1F2|可得, 故選B.例3、如圖，橢圓C的方程為，A是橢圓C的短軸左頂點(diǎn)，過A點(diǎn)作斜率為1的直線交橢圓于B點(diǎn)，點(diǎn)P（1，0）, 且BPy軸，APB的面積為.（1）求橢圓C的方程；（2）在直線AB上求一點(diǎn)M，使得以橢圓C的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過M的雙曲線E的實(shí)軸最長(zhǎng)，并求此雙曲線E的方程.ABPxyO分析：同

4、樣, 此題若采用函數(shù)觀點(diǎn), 問題（2）將變得復(fù)雜化！若能利用雙曲線的第一定義，則解答就容解易得多了。簡(jiǎn)解：（1） 又PAB45°，APPB，故APBP3.P（1,0），A（2,0），B（1,3）b=2，將B（1，3）代入橢圓得：得 ，所求橢圓方程為（2）設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則易知F1（0,）F2（0，）， 直線的方程為：，因?yàn)镸在雙曲線E上，要雙曲線E的實(shí)軸最大，只須MF1MF2最大，設(shè)F1（0，）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為（2，2），則直線與直線的交點(diǎn)為所求M， 因?yàn)榈姆匠虨椋? 聯(lián)立 得M（）又=MF1-MF2=MMF22，故，故所求雙曲線方程為：練習(xí)：已知兩點(diǎn)M(-2, 0)，N(2, 0)，動(dòng)點(diǎn)P(x, y)在y軸上的射影為H，是2和的等比中項(xiàng).（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）若以點(diǎn)M、N為焦點(diǎn)的雙曲線C過直線x+y=1上的點(diǎn)Q，求實(shí)軸最長(zhǎng)的雙曲線C的方程.總之，在求解有關(guān)圓錐曲線的最值問題時(shí), 若能根據(jù)題目的實(shí)際條件, 考慮用圓錐曲線的定義來求解, 就能起到出