1991—2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題【共21份有答案】

1、1991年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽決賽試題第一試一、選擇題本題共有8個(gè)小題，每小題都給出了（A）、（B）（C）、（D）四個(gè)答案結(jié)論，其中只有一個(gè)是正確的請(qǐng)把正確結(jié)論的代表字母寫(xiě)在題后的圓括號(hào)內(nèi) 設(shè)等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，其中a，x，y是兩兩不同的實(shí)數(shù)，則的值是（A）3 ； （B）； （C）2； （D）答（ ） 如圖，ABEFCD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是（A） 10； （B）12；（C） 16； （D）18答（ ） 方程的解是（A）； （B）；（C）或； （D）答（ ） 已知：（n是自然數(shù)）那么，的值是（）；（）；（）；（）答（） 若，其中為自然數(shù)，n為使得等式成立的

2、最大的自然數(shù)，則（）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除；（）不能被整除，也不能被整除答（） 若a，c，d是整數(shù)，b是正整數(shù)，且滿足，那么的最大值是（）；（）；（）；（）答（）=1 如圖，正方形OPQR內(nèi)接于ABC已知AOR、BOP和CRQ的面積分別是，和，那么，正方形OPQR的邊長(zhǎng)是（）；（）；（）2 ；（）3答（ ） 在銳角ABC中，ABC的外接圓半徑1，則（） c 2 ； （）0 2； （D）c = 2答（）二、填空題是平行四邊形ABCD中BC邊的中點(diǎn)，AE交對(duì)角線BD于G，如果BEG的面積是，則平行四邊形ABCD的面積是 已知關(guān)于x的一元二次方

3、程沒(méi)有實(shí)數(shù)解甲由于看錯(cuò)了二次項(xiàng)系數(shù)，誤求得兩根為和；乙由于看錯(cuò)了某一項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，誤求得兩根為和，那么， 3設(shè)m，n，p，q為非負(fù)數(shù)，且對(duì)一切x ，恒成立，則四邊形ABCD中， ABC，BCD，AB，BC，CD = 6，則AD = 第二試x + y，x y，x y，四個(gè)數(shù)中的三個(gè)又相同的數(shù)值，求出所有具有這樣性質(zhì)的數(shù)對(duì)（x , y）二、ABC中，ABACBC，D點(diǎn)在BC上，E點(diǎn)在BA的延長(zhǎng)線上，且BDBEAC，BDE的外接圓與ABC的外接圓交于F點(diǎn)（如圖）求證：BFAFCF三、將正方形ABCD分割為 個(gè)相等的小方格（n是自然數(shù)），把相對(duì)的頂點(diǎn)A，C染成紅色，把B，D染成藍(lán)色，其他交點(diǎn)任意染成紅

4、、藍(lán)兩色中的一種顏色證明：恰有三個(gè)頂點(diǎn)同色的小方格的數(shù)目必是偶數(shù)1992年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽決賽試題第一試一.選擇題本題共有8個(gè)題,每小題都給出了(A), (B), (C), (D)四個(gè)結(jié)論,其中只有一個(gè)是正確的.請(qǐng)把正確結(jié)論的代表字母寫(xiě)在題后的圓括號(hào)內(nèi).1.滿足的非負(fù)整數(shù)的個(gè)數(shù)是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若是一元二次方程的根,則判別式與平方式的關(guān)系是(A) (B)= (C); (D)不確定.3.若,則的個(gè)位數(shù)字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半徑為1的圓中有一內(nèi)接多邊形,若它的邊長(zhǎng)皆大于1且小于,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)必為(A)7; (B)

5、6; (C)5; (D)4.答( )5.如圖,正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像分別相交于A點(diǎn)和C點(diǎn).若和的面積分別為S1和S2,則S1與S2的關(guān)系是(A) (B)(C) (D)不確定答( )6.在一個(gè)由個(gè)方格組成的邊長(zhǎng)為8的正方形棋盤(pán)內(nèi)放一個(gè)半徑為4的圓,若把圓周經(jīng)過(guò)的所有小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為,把圓周經(jīng)過(guò)的所有小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為,則的整數(shù)部分是(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如圖,在等腰梯形ABCD中, AB/CD, AB=2CD, ,又E是底邊AB上一點(diǎn),且FE=FB=AC, FA=AB.則AE:EB等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5

6、 (D)3:10答( )8.設(shè)均為正整數(shù),且,則當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí),的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空題1.若一等腰三角形的底邊上的高等于18cm,腰上的中線等15cm,則這個(gè)等腰三角形的面積等于_.2.若,則的最大值是_.3.在中,的平分線相交于點(diǎn)，又于點(diǎn)，若，則 .4.若都是正實(shí)數(shù)，且，則 .第二試一、設(shè)等腰三角形的一腰與底邊的長(zhǎng)分別是方程的兩根，當(dāng)這樣的三角形只有一個(gè)時(shí)，求的取值范圍.二、如圖，在中，是底邊上一點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且.求證：.三、某個(gè)信封上的兩個(gè)郵政編碼M和N均由0，1，2，3，5，6這六個(gè)不同數(shù)字組成，現(xiàn)有四個(gè)編碼如下：A：320651

7、B：105263C：612305D：316250已知編碼A、B、C、D各恰有兩個(gè)數(shù)字的位置與M和N相同.D恰有三個(gè)數(shù)字的位置與M和N相同.試求：M和N.1993年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽決賽試題第一試一.選擇題本題共有8個(gè)小題,每小題都給出了(A), (B), (C), (D)四個(gè)結(jié)論,其中只有一個(gè)是正確的.請(qǐng)把正確結(jié)論的代表字母寫(xiě)在題后的圓括號(hào)內(nèi).1.多項(xiàng)式除以的余式是(A)1; (B)-1; (C); (D);2.對(duì)于命題.內(nèi)角相等的圓內(nèi)接五邊形是正五邊形.內(nèi)角相等的圓內(nèi)接四邊形是正四邊形,以下四個(gè)結(jié)論中正確的是(A),都對(duì) (B)對(duì),錯(cuò) (C)錯(cuò),對(duì). (D),都錯(cuò).3.設(shè)是實(shí)數(shù),.下列四個(gè)

8、結(jié)論:.沒(méi)有最小值;.只有一個(gè)使取到最小值;.有有限多個(gè)(不止一個(gè))使取到最大值;.有無(wú)窮多個(gè)使取到最小值.其中正確的是(A) (B) (C) (D)4.實(shí)數(shù)滿足方程組其中是實(shí)常數(shù),且,則的大小順序是(A); (B);(C); (D).5.不等式的整數(shù)解的個(gè)解(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于56.在中,則的值是(A) (B)(C) (D).答( )7.銳角三角ABC的三邊是a, b, c,它的外心到三邊的距離分別為m, n, p,那么m:n:p等于(A); (B)(C) (D).答( )8.可以化簡(jiǎn)成(A); (B) (C) (D)答( )二.填空題1. 當(dāng)x變化時(shí),分式的

9、最小值是_.2.放有小球的1993個(gè)盒子從左到右排成一行,如果最左面的盒里有7個(gè)小球,且每四個(gè)相鄰的盒里共有30個(gè)小球,那么最右面的盒里有_個(gè)小球.3.若方程有四個(gè)非零實(shí)根,且它們?cè)跀?shù)軸上對(duì)應(yīng)的四個(gè)點(diǎn)等距排列,則=_.4.銳角三角形ABC中,.以BC邊為直徑作圓,與AB, AC分別交于D, E,連接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE與四邊形BDEC,設(shè)它們的面積分別為S1, S2,則S1:S2=_.第二試一.設(shè)H是等腰三角形ABC垂心,在底邊BC保持不變的情況下讓頂點(diǎn)A至底邊BC的距離變小,這時(shí)乘積的值變小,變大,還是不變?證明你的結(jié)論.二.中, BC=5, AC=12, AB=13, 在

10、邊AB ,AC上分別取點(diǎn)D, E, 使線段DE將分成面積相等的兩部分.試求這樣的線段DE的最小長(zhǎng)度.三.已知方程分別各有兩個(gè)整數(shù)根及,且.(1)求證:(2)求證:;(3)求所有可能的值.1994年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試(4月3日上午8：309：30)考生注意：本試共兩道大題，滿分80分.一、選擇題（本題滿分48分，每小題6分）本題共有8個(gè)小題都給出了A，B、C，D，四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把你認(rèn)為正確結(jié)論的代表字母寫(xiě)在題后答案中的圓括號(hào)內(nèi)，每小題選對(duì)得6分；不選、選錯(cuò)或選出的代表字母超過(guò)一個(gè)（不論是否寫(xiě)在圓括號(hào)內(nèi)），一律得0分.答( )2設(shè)a,b,c是不全相等的任意實(shí)數(shù)，若x=a

11、2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,則x,y,zA都不小于0 B都不大于0C至少有一個(gè)小0于D至少有一個(gè)大于0答( )3如圖1所示，半圓O的直徑在梯形ABCD的底邊AB上，且與其余三邊BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，則AB的長(zhǎng)A等于4B等于5C等于6D不能確定答( )A1 B-1 C22001 D-22001答( )5若平行直線EF，MN與相交直線AB，CD相交成如圖2所示的圖形，則共得同旁內(nèi)角A4對(duì)B8對(duì)C12對(duì)D16對(duì)答( ) 答( )7設(shè)銳角三角形ABC的三條高AD，BE，CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,則AHAD+BHBE+CHCF的值是答( )A100

12、1 B1001,3989C1001,1996 D1001,1996,3989 答( )二、填空題（本題滿分32分，每小題8分）各小題只要求在所給橫線上直接填寫(xiě)結(jié)果.3在ABC中，設(shè)AD是高，BE是角平分線，若BC=6，CA=7，AB=8，則DE=_.4把兩個(gè)半徑為5和一個(gè)半徑為8的圓形紙片放在桌面上，使它們兩兩外切，若要有用一個(gè)大圓形紙片把這三個(gè)圓形紙片完全蓋住，則這個(gè)大圓形紙片的最小半徑等于_.第二試(4月3日上午10：0011：30)考生注意：本試共三道大題，滿分60分.一、（本題滿分20分）如圖所示，在ABC中，AB=AC.任意延長(zhǎng)CA到P，再延長(zhǎng)AB到Q，使AP=BQ.求證：ABC的外

13、心O與A,P,Q四點(diǎn)共圓。思路一：OCPOAQCPO=AQOOAPQ四點(diǎn)共圓（視角定理.）思路二： PAOQBOOPA=AQOOAPQ四點(diǎn)共圓（視角定理.）連接OB、OA。OBA=OAB=OACPAO=QBOPA=QB AO=BOPAOQBOOPA=AQO所以O(shè)與A，P,Q,四點(diǎn)同園二、（本題滿分20分）周長(zhǎng)為6，面積為整數(shù)的直角三角形是否存在？若不存在，請(qǐng)給出證明；若存在，請(qǐng)證明共有幾個(gè)？三、（本題滿分20分）某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共有15個(gè)題.下表是對(duì)于做對(duì)n(n=0,1,2,15)個(gè)題的人數(shù)的一個(gè)統(tǒng)計(jì).n012312131415做對(duì)n個(gè)題的人數(shù)78102115631如果又知其中做對(duì)4個(gè)題和4個(gè)題以

14、上的學(xué)生每人平均做對(duì)6個(gè)題，做對(duì)10個(gè)題和10個(gè)題以下的學(xué)生每人平均做對(duì)4個(gè)題.問(wèn)這個(gè)表至少統(tǒng)計(jì)了多少人？1994年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案第一試答案一、選擇題；小題號(hào)12345678答案ADBBDCBC二、填空題：第二試提示及答案.一、連結(jié)OA，OC，OP，OQ.證明OCPOAQ，于是CPO=AQO，所以O(shè)，A，P，Q四點(diǎn)共圓.三、這個(gè)表至少統(tǒng)計(jì)了200人.1995年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試一、選擇題1已知a355,b444,c533,則有 AabcBcba Ccab DacbA1B2 C3 D43如果方程(x1)(x22xm)0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是4

15、如果邊長(zhǎng)順次為25、39、52與60的四邊形內(nèi)接于一圓，那么此圓的周長(zhǎng)為 A62B63 C64D655設(shè)AB是O的一條弦，CD是O的直徑，且與弦AB相交，記MSCABSDAB，N2SOAB，則 AMN BMN CMN DM、N的大小關(guān)系不確定6設(shè)實(shí)數(shù)a、b滿足不等式a(ab)a|ab，則 Aa0且b0Ba0且b0Ca0且b0Da0且b0二、填空題1在12，22，32，952這95個(gè)數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有_個(gè)。4以線段AB為直徑作一個(gè)半圓，圓心為O，C是半圓周上的點(diǎn)，且OC2ACBC，則CAB_第二試一、 已知ACECDE90，點(diǎn)B在CE上，CACBCD，經(jīng)A、C、D三點(diǎn)的圓交AB于F（如

16、圖）求證F為CDE的內(nèi)心。二、在坐標(biāo)平面上，縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是整數(shù)理由。三、試證：每個(gè)大于6的自然數(shù)n，都可以表示為兩個(gè)大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和。年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及答案年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及答案年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及答案年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及答案年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽決賽試題及答案年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽決賽試題及答案答案：年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽決賽試題及答案答案：年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題及答案答案：年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽二試試題及答案答案：2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1. 設(shè)，則 （ AA.24. B

17、. 25. C. . D. .2在ABC中，最大角A是最小角C的兩倍，且AB7，AC8，則BC （ C ）A. B. . C. . D. .3用表示不大于的最大整數(shù)，則方程的解的個(gè)數(shù)為 （ C ）A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4設(shè)正方形ABCD的中心為點(diǎn)O，在以五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、O為頂點(diǎn)所構(gòu)成的所有三角形中任意取出兩個(gè)，它們的面積相等的概率為 （ BA. B. . C. . D. .5如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC2，以BC為直徑在矩形內(nèi)作半圓，自點(diǎn)A作半圓的切線AE，則CBE （ D ）A. B. . C. . D. .6設(shè)是大于1909的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù)的的

18、個(gè)數(shù)是 （ B ）A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1已知是實(shí)數(shù)，若是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，則的最小值是_.2 設(shè)D是ABC的邊AB上的一點(diǎn)，作DE/BC交AC于點(diǎn)E，作DF/AC交BC于點(diǎn)F，已知ADE、DBF的面積分別為和，則四邊形DECF的面積為_(kāi).3如果實(shí)數(shù)滿足條件，則_.4已知是正整數(shù)，且滿足是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對(duì)共有_7_對(duì).第二試一（本題滿分20分）已知二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)分別為A、B，與軸的交點(diǎn)為C.設(shè)ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)P.（1）證明：P與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為定點(diǎn).（2）如果AB恰好為P的直徑且，求和的值.解

19、 （1）易求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，則，.設(shè)P與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由于AB、CD是P的兩條相交弦，它們的交點(diǎn)為點(diǎn)O，所以O(shè)AOBOCOD，則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，從而點(diǎn)D在軸的正半軸上，所以點(diǎn)D為定點(diǎn)，它的坐標(biāo)為(0,1).（2）因?yàn)锳BCD，如果AB恰好為P的直徑，則C、D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即.又，所以，解得.二 （本題滿分25分） 已知ABC中，ACB90，AB邊上的高線CH與ABC的兩條內(nèi)角平分線 AM、BN分別交于P、Q兩點(diǎn).PM、QN的中點(diǎn)分別為E、F.求證：EFAB.解 因?yàn)锽N是ABC的平分線，所以.又因?yàn)镃HAB，所以，因此.又F是QN的中點(diǎn)，所以CFQN，所以

20、，因此C、F、H、B四點(diǎn)共圓.又，所以FCFH，故點(diǎn)F在CH的中垂線上.同理可證，點(diǎn)E在CH的中垂線上.因此EFCH.又ABCH，所以EFAB.三（本題滿分25分）已知為正數(shù)，滿足如下兩個(gè)條件： 是否存在以為三邊長(zhǎng)的三角形？如果存在，求出三角形的最大內(nèi)角.解法1 將兩式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即，所以或或，即或或.因此，以為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90.解法2 結(jié)合式，由式可得，變形，得 又由式得，即，代入式，得，即.，所以或或.結(jié)合式可得或或.因此，以為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90.2010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案第一試一、選擇題：

21、（本題滿分42分，每小題7分）1. 若均為整數(shù)且滿足，則 （ B ）A1. B2. C3. D4.2若實(shí)數(shù)滿足等式，則可能取的最大值為 （ C ）A0. B1. C2. D3.3若是兩個(gè)正數(shù)，且 則 （ C ）A. B. C. D.4若方程的兩根也是方程的根，則的值為 （ A ）A13. B9. C6. D 0.5在中，已知，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且，,則 ( B )A15. B20. C25. D30.6對(duì)于自然數(shù)，將其各位數(shù)字之和記為，如， （ D ）A28062. B28065. C28067. D28068.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1已知實(shí)數(shù)滿足方程組則 1

22、3 .2二次函數(shù)的圖象與軸正方向交于A，B兩點(diǎn)，與軸正方向交于點(diǎn)C已知，則 3在等腰直角ABC中，ABBC5，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA，PC5，則PB_4將若干個(gè)紅、黑兩種顏色的球擺成一行，要求兩種顏色的球都要出現(xiàn)，且任意中間夾有5個(gè)或10個(gè)球的兩個(gè)球必為同一種顏色的球.按這種要求擺放，最多可以擺放_(tái)15_個(gè)球.第二試 （A）一（本題滿分20分）設(shè)整數(shù)（）為三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，求符合條件且周長(zhǎng)不超過(guò)30的三角形的個(gè)數(shù).解 由已知等式可得 令，則，其中均為自然數(shù).于是，等式變?yōu)?，?由于均為自然數(shù)，判斷易知，使得等式成立的只有兩組：和（1）當(dāng)時(shí)，.又為三角形的三邊長(zhǎng)，所以，即，解得.又因?yàn)槿?/p>

23、形的周長(zhǎng)不超過(guò)30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，對(duì)應(yīng)可得到5個(gè)符合條件的三角形.（2）當(dāng)時(shí)，.又為三角形的三邊長(zhǎng)，所以，即，解得.又因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)不超過(guò)30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，對(duì)應(yīng)可得到6個(gè)符合條件的三角形.綜合可知：符合條件且周長(zhǎng)不超過(guò)30的三角形的個(gè)數(shù)為5611.二（本題滿分25分）已知等腰三角形ABC中，ABAC，C的平分線與AB邊交于點(diǎn)P，M為ABC的內(nèi)切圓I與BC邊的切點(diǎn)，作MD/AC，交I于點(diǎn)D.證明：PD是I的切線.證明 過(guò)點(diǎn)P作I的切線PQ（切點(diǎn)為Q）并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)N.因?yàn)镃P為ACB的平分線，所以ACPBCP.又因?yàn)镻A、PQ均為I的切線，所以APCNPC.又CP公共，所以ACPNCP，所以PACPNC.由NMQN，BABC，所以QNMBAC，故NMQACB，所以MQ/AC.又因?yàn)镸D/AC，所以MD和MQ為同一條直線.又點(diǎn)Q、D均在I上，所以點(diǎn)Q和點(diǎn)D重合，故PD是I的切線.三（本題滿分25分）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P，Q.（1）如果都是整數(shù)，且，求的值.（2）設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為A、B，與軸的交點(diǎn)為C.如果關(guān)于的方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，求ABC的面積.解 點(diǎn)P、Q在二次函數(shù)的圖象上，故，解得，.（1）由知解得.又為整數(shù)，所以，.(2) 設(shè)是方程的