實(shí)驗(yàn)十一z變換及離散時(shí)間系統(tǒng)z域分析分析解析

1、 南昌大學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告學(xué)生姓名： 周倩文 學(xué) 號(hào)： 6301712010 班級(jí)： 通信121班 實(shí)驗(yàn)類型： 驗(yàn)證綜合設(shè)計(jì)創(chuàng)新 實(shí)驗(yàn)日期： 5月30號(hào) 實(shí)驗(yàn)成績(jī)： z變換及離散時(shí)間系統(tǒng)的Z域分析一、目的（1）掌握利用MATLAB繪制系統(tǒng)零極點(diǎn)圖的方法 （2）掌握離散時(shí)間系統(tǒng)的零極點(diǎn)分析方法（3）掌握用MATALB實(shí)現(xiàn)離散系統(tǒng)頻率特性分析的方法（4）掌握逆Z變換概念及MATLAB實(shí)現(xiàn)方法二、離散系統(tǒng)零極點(diǎn)線性時(shí)不變離散系統(tǒng)可用線性常系數(shù)差分方程描述，即 （8-1）其中為系統(tǒng)的輸出序列，為輸入序列。將式（8-1）兩邊進(jìn)行Z變換的 （8-2）將式（8-2）因式分解后有： （8-3）其中為常數(shù)，為的個(gè)零點(diǎn)，

2、為的個(gè)極點(diǎn)。系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布完全決定了系統(tǒng)的特性，若某系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)已知，則系統(tǒng)函數(shù)便可確定下來。因此，系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布對(duì)離散系統(tǒng)特性的分析具有非常重要意義。通過對(duì)系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)的分析，可以分析離散系統(tǒng)以下幾個(gè)方面的特性：l 系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的時(shí)域特性；l 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性；l 離散系統(tǒng)的頻率特性；三、離散系統(tǒng)零極點(diǎn)圖及零極點(diǎn)分析1零極點(diǎn)圖的繪制 設(shè)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為則系統(tǒng)的零極點(diǎn)可用MATLAB的多項(xiàng)式求根函數(shù)roots()來實(shí)現(xiàn)，調(diào)用格式為：p=roots(A)其中A為待根求多項(xiàng)式的系數(shù)構(gòu)成的行矩陣，返回向量則是包含多項(xiàng)式所有根的列向量。多項(xiàng)式根的MATLAB命令舉例如下：A=

3、1 3/4 1/8;P=roots(A)運(yùn)行結(jié)果為：P = -0.5000 -0.2500需注意的是，在求系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)函數(shù)可能有兩種形式：一種是分子、分母多項(xiàng)式均按z的降冪次序排列；另一種是分子、分母多項(xiàng)式均按的升冪次序排列。這兩種方式在構(gòu)造多項(xiàng)式系數(shù)向量時(shí)稍有不同。（1）按z的降冪次序排列：系數(shù)向量一定要由多項(xiàng)式最高次冪開始，一直到常數(shù)項(xiàng)，缺項(xiàng)要用0補(bǔ)齊；如其分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量分別為A=1 0 2 0、B=1 3 2 2 1。（2）按的升冪次序排列：分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量的維數(shù)一定要相同，不足的要用0補(bǔ)齊，否則的零點(diǎn)或極點(diǎn)就可能被漏掉。如其分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量分別為A=

4、1 2 0、B=1 1/2 1/4。用roots()求得的零極點(diǎn)后，就可以用plot()函數(shù)繪制出系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖。下面是求系統(tǒng)零極點(diǎn)，并繪制其零極點(diǎn)圖的MATLAB實(shí)用函數(shù)ljdt()，同時(shí)還繪制出了單位圓。例1：繪制如下系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)（1）（2）解：MATLAB命令如下（1）繪制的零極點(diǎn)圖如圖8-1（a）所示。（2） 繪制的零極點(diǎn)圖如圖8-1（b）所示。 （a） (b)2離散系統(tǒng)零極點(diǎn)分析（1）離散系統(tǒng)零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)穩(wěn)定性信號(hào)與系統(tǒng)課程已講到離散系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為：l 時(shí)域條件：離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為，即系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)絕對(duì)可和；l Z域條件：離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為系統(tǒng)函數(shù)的所有極點(diǎn)均

5、位于Z平面的單位圓內(nèi)。對(duì)于三階以下的低階系統(tǒng)，可以利用求根公式求出系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但對(duì)于高階系統(tǒng)，手工求解則顯得十分困難，這時(shí)可以利用MATLAB來實(shí)現(xiàn)。實(shí)現(xiàn)方法是調(diào)用前述的函數(shù)ljdt()繪出系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，然后根據(jù)極點(diǎn)的位置判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例2：系統(tǒng)函數(shù)如例1所示，判斷兩個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由例1繪出的零極點(diǎn)圖可以看出兩個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分別為：第（1）個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定；第（2）個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)單位樣值時(shí)域特性的關(guān)系 從信號(hào)與系統(tǒng)課程中已經(jīng)得知，離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)與單位樣值響應(yīng)是一對(duì)Z變換對(duì)；因而，必然包含了的固有特性。離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)可以寫成 （8-4

6、）若系統(tǒng)的個(gè)極點(diǎn)均為單極點(diǎn)，可將進(jìn)行部分分式展開為： （8-5）由Z逆變換得： （8-6）從式（8-5）和（8-6）可以看出離散系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的時(shí)域特性完全由系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)位置決定。從信號(hào)與系統(tǒng)的學(xué)習(xí)中已經(jīng)得出如下規(guī)律：l 位于Z平面單位圓內(nèi)的極點(diǎn)決定了隨時(shí)間衰減的信號(hào)分量；l 位于Z平面單位圓上的一階極點(diǎn)決定了的穩(wěn)定信號(hào)分量；l 位于Z平面單位圓外的極點(diǎn)或單位圓上高于一階的極點(diǎn)決定了的隨時(shí)間增長(zhǎng)的信號(hào)分量； 下面以例子證明上述規(guī)律的正確性：例3：已知如下系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，試用MATLAB分析系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的時(shí)域特性。（1），單位圓上的一階實(shí)極點(diǎn)；（2），單位圓上的一階共軛極點(diǎn)；（3），單位

7、圓上的二階實(shí)極點(diǎn)；（4），單位圓內(nèi)的一階實(shí)極點(diǎn)；（5），單位圓內(nèi)的二階實(shí)極點(diǎn)；（6），單位圓外的一階實(shí)極點(diǎn)；解：利用MATLAB提供的函數(shù)impz()繪制離散系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)波形，impz()基本調(diào)用方式為（其他方式，請(qǐng)讀者參看MATLAB幫助）：impz(b,a,N)，其中，b為系統(tǒng)函數(shù)分子多項(xiàng)式的系數(shù)向量，a為系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，N為產(chǎn)生序列的長(zhǎng)度；需要注意的是，b和a的維數(shù)應(yīng)相同，不足用0補(bǔ)齊，例如的b=0 0 1，a=1 2 1。下面是求解個(gè)系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的MATLAB命令：（1）a=1 -1;b=0 1;impz(b,a,10)運(yùn)行結(jié)果如圖8-2（a）所示。（2）a=1

8、2*cos(pi/8) 1;b=0 0 1;impz(b,a,50)運(yùn)行結(jié)果如圖8-2（b）所示。（3）a=1 -2 1;b=0 1 0;impz(b,a,10)運(yùn)行結(jié)果如圖8-2（c）所示。（4）a=1 -0.8;b=0 1;impz(b,a,10)運(yùn)行結(jié)果如圖8-2（d）所示。（5）a=1 -1 0.25;b=0 0 1;impz(b,a,10)運(yùn)行結(jié)果如圖8-2（e）所示。（6）a=1 -1.2;b=0 1;impz(b,a,10)運(yùn)行結(jié)果如圖8-2（f）所示。 穩(wěn)定 不穩(wěn)定 不穩(wěn)定 穩(wěn)定 穩(wěn)定 不穩(wěn)定四、離散系統(tǒng)頻率特性分析1離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)對(duì)于某因果穩(wěn)定離散系統(tǒng)，如果激勵(lì)序列為正弦

9、序列：則，根據(jù)信號(hào)與系統(tǒng)課程給出的結(jié)果有，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：定義離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為其中，稱為離散系統(tǒng)的幅頻特性； 稱為離散系統(tǒng)的相頻特性；是以為周期的周期函數(shù)，只要分析在范圍內(nèi)的情況，便可分析出系統(tǒng)的整個(gè)頻率特性。2用MATLAB實(shí)現(xiàn)離散系統(tǒng)的頻率特性分析方法（1）直接法設(shè)某因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，則系統(tǒng)的頻響特性為：MATLAB提供了專門用于求離散系統(tǒng)頻響特性的函數(shù)freqz()，調(diào)用freqz()的格式有以下兩種：l H,w=freqz(B,A,N) B和A分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，N為正整數(shù)，返回量H則包含了離散系統(tǒng)頻響在范圍內(nèi)N個(gè)頻率等分點(diǎn)的值，向量w則包含

10、范圍內(nèi)N個(gè)頻率等分點(diǎn)。調(diào)用中若N默認(rèn)，默認(rèn)值為512。l H,w=freqz(B,A,N,whole)該調(diào)用格式將計(jì)算離散系統(tǒng)在范圍內(nèi)N個(gè)頻率等分點(diǎn)的頻率響應(yīng)的值。因此，可以先調(diào)用freqz()函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，然后利用abs()和angle()函數(shù)及plot()函數(shù)，即可繪制出系統(tǒng)在或范圍內(nèi)的頻響曲線。例4：繪制如下系統(tǒng)的頻響曲線解：MATLAB命令如下：運(yùn)行結(jié)果如圖所示。 （2）幾何矢量法利用幾何矢量求解示意圖如圖8-4所示。有：則系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為： （8-7） （8-8）根據(jù)式（8-7）和（8-8），利用MATLAB來求解頻率響應(yīng)的過程如下：l 根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)定義分子、

11、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量和；l 調(diào)用前述的ljdt()函數(shù)求出的零極點(diǎn)，并繪出零極點(diǎn)圖；l 定義Z平面單位圓上的個(gè)頻率分點(diǎn)；l 求出所有的零點(diǎn)和極點(diǎn)到這些等分點(diǎn)的距離；l 求出所有的零點(diǎn)和極點(diǎn)到這些等分點(diǎn)矢量的相角；l 根據(jù)式（8-7）和（8-8）求出系統(tǒng)的和；l 繪制指定范圍內(nèi)系統(tǒng)的幅頻曲線和相頻曲線；下面是實(shí)現(xiàn)上述過程的實(shí)用函數(shù)dplxy()。有四個(gè)參數(shù)：k為用戶定義的頻率等分點(diǎn)數(shù)目；B和A分別為系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量；r為程序繪制的頻率特性曲線的頻率范圍（）。例5：已知某離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：繪出該系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖及頻響特性。解：MATLAB命令如下：A=1 -1/4;B=5/4 -5/4;dplxy(500,2,A,B)運(yùn)行結(jié)果如圖8-4所示。 圖8-4 離散系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖、幅頻和相頻曲線 5 實(shí)驗(yàn)總結(jié)與思考 實(shí)驗(yàn)主要是研究離散系統(tǒng)的Z變換，通過這次試驗(yàn)，基本學(xué)會(huì)用MATLAB的多項(xiàng)式求根函數(shù)roots()來實(shí)現(xiàn)繪制系統(tǒng)零極點(diǎn)圖的方法、這里需要注意的是，在求系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)函數(shù)可能有兩種形式。還學(xué)會(huì)了逆z變換的求法及離散系統(tǒng)頻率特性的分析方法；認(rèn)識(shí)到通過matlab來求Z變換求解離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)以及如何通過離散系統(tǒng)的系