實驗十一z變換及離散時間系統(tǒng)z域分析分析解析

1、 南昌大學(xué)實驗報告學(xué)生姓名： 周倩文 學(xué) 號： 6301712010 班級： 通信121班 實驗類型： 驗證綜合設(shè)計創(chuàng)新 實驗日期： 5月30號 實驗成績： z變換及離散時間系統(tǒng)的Z域分析一、目的（1）掌握利用MATLAB繪制系統(tǒng)零極點圖的方法 （2）掌握離散時間系統(tǒng)的零極點分析方法（3）掌握用MATALB實現(xiàn)離散系統(tǒng)頻率特性分析的方法（4）掌握逆Z變換概念及MATLAB實現(xiàn)方法二、離散系統(tǒng)零極點線性時不變離散系統(tǒng)可用線性常系數(shù)差分方程描述，即 （8-1）其中為系統(tǒng)的輸出序列，為輸入序列。將式（8-1）兩邊進(jìn)行Z變換的 （8-2）將式（8-2）因式分解后有： （8-3）其中為常數(shù)，為的個零點，

2、為的個極點。系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布完全決定了系統(tǒng)的特性，若某系統(tǒng)函數(shù)的零極點已知，則系統(tǒng)函數(shù)便可確定下來。因此，系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布對離散系統(tǒng)特性的分析具有非常重要意義。通過對系統(tǒng)函數(shù)零極點的分析，可以分析離散系統(tǒng)以下幾個方面的特性：l 系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的時域特性；l 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性；l 離散系統(tǒng)的頻率特性；三、離散系統(tǒng)零極點圖及零極點分析1零極點圖的繪制 設(shè)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為則系統(tǒng)的零極點可用MATLAB的多項式求根函數(shù)roots()來實現(xiàn)，調(diào)用格式為：p=roots(A)其中A為待根求多項式的系數(shù)構(gòu)成的行矩陣，返回向量則是包含多項式所有根的列向量。多項式根的MATLAB命令舉例如下：A=

3、1 3/4 1/8;P=roots(A)運行結(jié)果為：P = -0.5000 -0.2500需注意的是，在求系統(tǒng)函數(shù)零極點時，系統(tǒng)函數(shù)可能有兩種形式：一種是分子、分母多項式均按z的降冪次序排列；另一種是分子、分母多項式均按的升冪次序排列。這兩種方式在構(gòu)造多項式系數(shù)向量時稍有不同。（1）按z的降冪次序排列：系數(shù)向量一定要由多項式最高次冪開始，一直到常數(shù)項，缺項要用0補(bǔ)齊；如其分子、分母多項式系數(shù)向量分別為A=1 0 2 0、B=1 3 2 2 1。（2）按的升冪次序排列：分子和分母多項式系數(shù)向量的維數(shù)一定要相同，不足的要用0補(bǔ)齊，否則的零點或極點就可能被漏掉。如其分子、分母多項式系數(shù)向量分別為A=

4、1 2 0、B=1 1/2 1/4。用roots()求得的零極點后，就可以用plot()函數(shù)繪制出系統(tǒng)的零極點圖。下面是求系統(tǒng)零極點，并繪制其零極點圖的MATLAB實用函數(shù)ljdt()，同時還繪制出了單位圓。例1：繪制如下系統(tǒng)函數(shù)的零極點（1）（2）解：MATLAB命令如下（1）繪制的零極點圖如圖8-1（a）所示。（2） 繪制的零極點圖如圖8-1（b）所示。 （a） (b)2離散系統(tǒng)零極點分析（1）離散系統(tǒng)零極點分布與系統(tǒng)穩(wěn)定性信號與系統(tǒng)課程已講到離散系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為：l 時域條件：離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為，即系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)絕對可和；l Z域條件：離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為系統(tǒng)函數(shù)的所有極點均

5、位于Z平面的單位圓內(nèi)。對于三階以下的低階系統(tǒng)，可以利用求根公式求出系統(tǒng)函數(shù)的極點，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但對于高階系統(tǒng)，手工求解則顯得十分困難，這時可以利用MATLAB來實現(xiàn)。實現(xiàn)方法是調(diào)用前述的函數(shù)ljdt()繪出系統(tǒng)的零極點圖，然后根據(jù)極點的位置判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例2：系統(tǒng)函數(shù)如例1所示，判斷兩個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由例1繪出的零極點圖可以看出兩個系統(tǒng)的穩(wěn)定性分別為：第（1）個系統(tǒng)不穩(wěn)定；第（2）個系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）零極點分布與系統(tǒng)單位樣值時域特性的關(guān)系 從信號與系統(tǒng)課程中已經(jīng)得知，離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)與單位樣值響應(yīng)是一對Z變換對；因而，必然包含了的固有特性。離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)可以寫成 （8-4

6、）若系統(tǒng)的個極點均為單極點，可將進(jìn)行部分分式展開為： （8-5）由Z逆變換得： （8-6）從式（8-5）和（8-6）可以看出離散系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的時域特性完全由系統(tǒng)函數(shù)的極點位置決定。從信號與系統(tǒng)的學(xué)習(xí)中已經(jīng)得出如下規(guī)律：l 位于Z平面單位圓內(nèi)的極點決定了隨時間衰減的信號分量；l 位于Z平面單位圓上的一階極點決定了的穩(wěn)定信號分量；l 位于Z平面單位圓外的極點或單位圓上高于一階的極點決定了的隨時間增長的信號分量； 下面以例子證明上述規(guī)律的正確性：例3：已知如下系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，試用MATLAB分析系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的時域特性。（1），單位圓上的一階實極點；（2），單位圓上的一階共軛極點；（3），單位

7、圓上的二階實極點；（4），單位圓內(nèi)的一階實極點；（5），單位圓內(nèi)的二階實極點；（6），單位圓外的一階實極點；解：利用MATLAB提供的函數(shù)impz()繪制離散系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)波形，impz()基本調(diào)用方式為（其他方式，請讀者參看MATLAB幫助）：impz(b,a,N)，其中，b為系統(tǒng)函數(shù)分子多項式的系數(shù)向量，a為系統(tǒng)函數(shù)分母多項式的系數(shù)向量，N為產(chǎn)生序列的長度；需要注意的是，b和a的維數(shù)應(yīng)相同，不足用0補(bǔ)齊，例如的b=0 0 1，a=1 2 1。下面是求解個系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的MATLAB命令：（1）a=1 -1;b=0 1;impz(b,a,10)運行結(jié)果如圖8-2（a）所示。（2）a=1

8、2*cos(pi/8) 1;b=0 0 1;impz(b,a,50)運行結(jié)果如圖8-2（b）所示。（3）a=1 -2 1;b=0 1 0;impz(b,a,10)運行結(jié)果如圖8-2（c）所示。（4）a=1 -0.8;b=0 1;impz(b,a,10)運行結(jié)果如圖8-2（d）所示。（5）a=1 -1 0.25;b=0 0 1;impz(b,a,10)運行結(jié)果如圖8-2（e）所示。（6）a=1 -1.2;b=0 1;impz(b,a,10)運行結(jié)果如圖8-2（f）所示。 穩(wěn)定 不穩(wěn)定 不穩(wěn)定 穩(wěn)定 穩(wěn)定 不穩(wěn)定四、離散系統(tǒng)頻率特性分析1離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)對于某因果穩(wěn)定離散系統(tǒng)，如果激勵序列為正弦

9、序列：則，根據(jù)信號與系統(tǒng)課程給出的結(jié)果有，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：定義離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為其中，稱為離散系統(tǒng)的幅頻特性； 稱為離散系統(tǒng)的相頻特性；是以為周期的周期函數(shù)，只要分析在范圍內(nèi)的情況，便可分析出系統(tǒng)的整個頻率特性。2用MATLAB實現(xiàn)離散系統(tǒng)的頻率特性分析方法（1）直接法設(shè)某因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，則系統(tǒng)的頻響特性為：MATLAB提供了專門用于求離散系統(tǒng)頻響特性的函數(shù)freqz()，調(diào)用freqz()的格式有以下兩種：l H,w=freqz(B,A,N) B和A分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)向量，N為正整數(shù)，返回量H則包含了離散系統(tǒng)頻響在范圍內(nèi)N個頻率等分點的值，向量w則包含

10、范圍內(nèi)N個頻率等分點。調(diào)用中若N默認(rèn)，默認(rèn)值為512。l H,w=freqz(B,A,N,whole)該調(diào)用格式將計算離散系統(tǒng)在范圍內(nèi)N個頻率等分點的頻率響應(yīng)的值。因此，可以先調(diào)用freqz()函數(shù)計算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，然后利用abs()和angle()函數(shù)及plot()函數(shù)，即可繪制出系統(tǒng)在或范圍內(nèi)的頻響曲線。例4：繪制如下系統(tǒng)的頻響曲線解：MATLAB命令如下：運行結(jié)果如圖所示。 （2）幾何矢量法利用幾何矢量求解示意圖如圖8-4所示。有：則系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為： （8-7） （8-8）根據(jù)式（8-7）和（8-8），利用MATLAB來求解頻率響應(yīng)的過程如下：l 根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)定義分子、

11、分母多項式系數(shù)向量和；l 調(diào)用前述的ljdt()函數(shù)求出的零極點，并繪出零極點圖；l 定義Z平面單位圓上的個頻率分點；l 求出所有的零點和極點到這些等分點的距離；l 求出所有的零點和極點到這些等分點矢量的相角；l 根據(jù)式（8-7）和（8-8）求出系統(tǒng)的和；l 繪制指定范圍內(nèi)系統(tǒng)的幅頻曲線和相頻曲線；下面是實現(xiàn)上述過程的實用函數(shù)dplxy()。有四個參數(shù)：k為用戶定義的頻率等分點數(shù)目；B和A分別為系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式系數(shù)向量；r為程序繪制的頻率特性曲線的頻率范圍（）。例5：已知某離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：繪出該系統(tǒng)的零極點圖及頻響特性。解：MATLAB命令如下：A=1 -1/4;B=5/4 -5/4;dplxy(500,2,A,B)運行結(jié)果如圖8-4所示。 圖8-4 離散系統(tǒng)的零極點圖、幅頻和相頻曲線 5 實驗總結(jié)與思考 實驗主要是研究離散系統(tǒng)的Z變換，通過這次試驗，基本學(xué)會用MATLAB的多項式求根函數(shù)roots()來實現(xiàn)繪制系統(tǒng)零極點圖的方法、這里需要注意的是，在求系統(tǒng)函數(shù)零極點時，系統(tǒng)函數(shù)可能有兩種形式。還學(xué)會了逆z變換的求法及離散系統(tǒng)頻率特性的分析方法；認(rèn)識到通過matlab來求Z變換求解離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的零、極點以及如何通過離散系統(tǒng)的系