實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、實(shí)數(shù)平方根的有關(guān)概念夯實(shí)基礎(chǔ)1 算術(shù)平方根名稱定義表示方法舉例算術(shù)平方根一般地，如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根。規(guī)定0的算術(shù)平方根是0非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根記作“”，讀作“根號(hào)”，其中叫做被開方數(shù)如，那么5叫做25的算術(shù)平方根（或者說(shuō)25的算術(shù)平方根是5）溫馨提示一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，分別為和，我們把正的平方根叫做的算術(shù)平方根。一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù)；零的算術(shù)平方根仍為零；負(fù)數(shù)沒(méi)算術(shù)平方根。例1：寫出下列各數(shù)的算術(shù)平方根。（1）0.0009；（2）；（3）。2 平方根1. 定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，這個(gè)數(shù)就叫做的平方根（或二次方根）。即如果，那么就叫做的平方根

2、。如：，所以4的平方根是；，所以的平方根是；，所以0的平方根是0。2. 表示方法 一個(gè)數(shù)的正的平方根，用符號(hào)“”表示，叫做被開方數(shù)，2叫做根指數(shù)，的負(fù)平方根用“”表示，根指數(shù)是2時(shí)，通常省略不寫。如記作，讀作“根號(hào)”，記作，讀作“正、負(fù)根號(hào)”。 溫馨提示任何數(shù)的平方都不能為負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根?！?是25的平方根”這種說(shuō)法是正確的，反過(guò)來(lái)說(shuō)“25的平方根是5”就錯(cuò)了，因?yàn)椤罢龜?shù)有兩個(gè)平方根”，所以必須說(shuō)“25的平方根是±5”。求一個(gè)數(shù)的平方根就是把平方后等于這個(gè)數(shù)的所有數(shù)都求出來(lái)，而判斷一個(gè)數(shù)是不是另一個(gè)數(shù)的平方根，只要把這個(gè)數(shù)平方，看其是否等于另一個(gè)數(shù)即可。3. 平方根的性質(zhì)（

3、1） 一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，記作。（2） 零的平方根是零。（3） 負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。 溫馨提示時(shí)，表示的算術(shù)平方根，表示的平方根。因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以被開方數(shù)。如中隱含著，即這一條件。，例2：判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由。（1） 的平方根是36；（2）1的平方根是1；（3）-9的平方根是；（4）；（5） 是的算術(shù)平方根。3 平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系算術(shù)平方根平方根區(qū)別概念如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根如果一個(gè)數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)數(shù)叫做的平方根或二次方根表示方法性質(zhì)正數(shù)只有一個(gè)算術(shù)平方根，且恒正；規(guī)定；負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根正數(shù)有兩個(gè)平方根

4、，且互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根求法開平方后取非負(fù)的平方根開平方聯(lián)系（1） 的取值范圍相同，均為；（2） 平方根中包含了算術(shù)平方根，即算術(shù)平方根是平方根中的一個(gè)，平方根中非負(fù)的 那一個(gè)即為算術(shù)平方根。掌握方法1 開平方的方法求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。開平方運(yùn)算與平方運(yùn)算互為逆運(yùn)算。表示非負(fù)數(shù)的平方根，表示非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根，表示非負(fù)數(shù)的負(fù)的平方根。例1：下列各式中正確的是（ ） A. B. C. D.2 平方根的性質(zhì)的應(yīng)用方法要判斷一個(gè)數(shù)有無(wú)平方根或平方根有幾個(gè)，關(guān)鍵是確定這個(gè)數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0。如果是正數(shù)的平方根，那么有或；但如果正數(shù)平方根是，那么只能有。例2：如果

5、一個(gè)數(shù)的平方根是與，那么這個(gè)數(shù)是多少？三利用平方根的概念解方程的方法一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，0只有一個(gè)平方根，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。在解方程時(shí)，利用平方根的定義進(jìn)行開方，從而求出未知數(shù)的值。例3：求下列各式中的的值。（1） ；（2）；（3） ；（4）。實(shí)數(shù)立方根的有關(guān)概念夯實(shí)基礎(chǔ)1 立方根1. 立方根名稱定義表示方法舉例立方根一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于，即，那么叫做的立方根或三次方根數(shù)的立方根記作“”，讀作“三次根號(hào)”，其中叫做被開方數(shù)如，那么叫做的立方根溫馨提示負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，但有立方根。根據(jù)立方根的概念可知：“5是125的立方根”，反過(guò)來(lái)說(shuō)“125的立方根是5”也正確。判斷一個(gè)數(shù)

6、是不是某數(shù)的立方根，就看是不是等于。例1：求下列各數(shù)的立方根：（1） ；（2）；（3）。2. 立方根的性質(zhì)（1） 正數(shù)只有一個(gè)正的立方根；（2） 負(fù)數(shù)只有一個(gè)負(fù)的立方根；（3） 零的立方根為零。 溫馨提示一個(gè)數(shù)的立方根是唯一的。正數(shù)的奇次方根時(shí)正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次方根是負(fù)數(shù)，零的任何正整數(shù)次方根均為0。、，公式中的可取任意數(shù)。當(dāng)兩個(gè)數(shù)相等時(shí)，這兩個(gè)數(shù)的立方根相等，反過(guò)來(lái)，當(dāng)兩個(gè)數(shù)的立方根相等時(shí)，這兩個(gè)數(shù)也相等。即若，則；若，則。例2：下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的有（ ）任何一個(gè)數(shù)都有立方根；14的立方根是；3是27的立方根；正數(shù)的平方根有兩個(gè)，立方根也有兩個(gè)。 A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)2 開立方

7、求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫做開立方。例如：8的立方根為。 溫馨提示被開方數(shù)的數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)和0。開立方運(yùn)算與立方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算的關(guān)系，負(fù)數(shù)（在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)）不能開平方但可以進(jìn)行開立方運(yùn)算。求一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根，可以先求出這個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值的立方根，然后取它的相反數(shù)，即。求一個(gè)帶分?jǐn)?shù)的立方根時(shí)，必須把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再求它的立方根。例3：求下列各式的值。（1） ；（2）；（3）；（4）。3 立方根與平方根的區(qū)別和聯(lián)系1. 立方根與平方根的不同點(diǎn)：（1） 定義不同：平方根的概念強(qiáng)調(diào)“平方”二字，立方根的概念強(qiáng)調(diào)“立方”二字，即平方根的逆運(yùn)算是平方，立方根的逆運(yùn)算是立方。（2） 表示方法不同：平方根

8、用“”表示，根指數(shù)2可以省略，寫成“”；立方根用“”表示，根指數(shù)3不能省略，更不能寫成“”。（3） 性質(zhì)不同：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；而任何一個(gè)數(shù)的立方根卻只有一個(gè)，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，零的立方根是零。（4） 的取值范圍不同：平方根中的取值范圍必須是非負(fù)數(shù)，而立方根中的取值為任何數(shù)，即正數(shù)、負(fù)數(shù)、零均可。2. 立方根與平方根的相同點(diǎn)：（1） 都是求根：平方根與立方根的定義都是建立在乘方概念的基礎(chǔ)上。在指數(shù)式中，當(dāng)時(shí)，求的值就是求的平方根；當(dāng)時(shí)，求的值就是求的立方根。這就表明無(wú)論是求平方根還是求立方根，都是已知指數(shù)和冪，求底數(shù)。（2） 都與乘方知識(shí)有關(guān)：不論是

9、求平方根還是求立方根，都屬于開方運(yùn)算。開方是乘方的逆運(yùn)算，開平方與平方互為逆運(yùn)算，開立方與立方互為逆運(yùn)算。（3） 零的平方根與立方根都是零。（4） 都可以歸結(jié)為非負(fù)數(shù)的非負(fù)方根來(lái)研究：平方根主要是通過(guò)算術(shù)平方根來(lái)研究；而負(fù)數(shù)的立方根也可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為整數(shù)的立方根來(lái)研究。掌握方法1 立方根性質(zhì)的應(yīng)用方法（1） 正數(shù)、0、負(fù)數(shù)都有立方根，且只有一個(gè)立方根，一個(gè)數(shù)的立方根的符號(hào)與這個(gè)數(shù)的符號(hào)是一致的；（2） 一個(gè)數(shù)的立方的立方根、一個(gè)數(shù)的立方根的立方都等于其本身；（3） 互為相反數(shù)的立方根仍互為相反數(shù)，互為相反數(shù)的立方仍互為相反數(shù)。例1：若，求的值。2 利用立方根的概念解方程的方法正數(shù)的立方根是一個(gè)正

10、數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)；0的立方根是0。在解方程時(shí)，利用立方根的定義進(jìn)行開立方，從而求出未知數(shù)的值，在求立方根時(shí)，常需轉(zhuǎn)化為的形式，也常常將中的看作一個(gè)整體。例2：求下列各式中的值：（1） ；（2）；（3）；（4）。三方根中小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用在開方運(yùn)算中，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，其方根的小數(shù)點(diǎn)相應(yīng)地移動(dòng)是有規(guī)律的：（1）在開平方運(yùn)算中，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動(dòng)兩位時(shí)，其平方根的小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動(dòng)一位；（2）在開立方運(yùn)算中，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動(dòng)三位時(shí)，其立方根的小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動(dòng)一位。例3：填空：（1） 已知，則= ，= 。（2） 已知，則= ，= 。實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)夯實(shí)基礎(chǔ)1

11、 無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)。 溫馨提示無(wú)限小數(shù)包括無(wú)限循環(huán)小數(shù)和無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，而無(wú)理數(shù)是指無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。常遇到的無(wú)理數(shù)有三類：開放開不盡的數(shù)的方根，如，等；特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.303 003 0003；特定意義的數(shù)，如。許多帶根號(hào)的數(shù)是無(wú)理數(shù)，如、等，但帶根號(hào)并不是無(wú)理數(shù)的本質(zhì)特征，因?yàn)橄?，等都是有理?shù)。有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)，所以都是有理數(shù)；而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不能化為分?jǐn)?shù)，是無(wú)理數(shù)。無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的和、差一定是無(wú)理數(shù)。無(wú)理數(shù)乘或除以一個(gè)不為0的有理數(shù)，結(jié)果一定是無(wú)理數(shù)。2 實(shí)數(shù)及其分類有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。1. 按定義分類2. 按性質(zhì)分類例1：把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集

12、合內(nèi)：，（每?jī)蓚€(gè)之間依次多個(gè)），。整數(shù)集合 ；正無(wú)理數(shù)集合 ；負(fù)分?jǐn)?shù)集合 ；負(fù)實(shí)數(shù)集合 。3 實(shí)數(shù)的性質(zhì)（1） 實(shí)數(shù)的相反數(shù)實(shí)數(shù)的相反數(shù)的意義和有理數(shù)的相反數(shù)的意義是一樣的。只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，即實(shí)數(shù)的相反數(shù)是。實(shí)數(shù)與互為相反數(shù)，則，反之也成立。（2） 實(shí)數(shù)的絕對(duì)值實(shí)數(shù)的絕對(duì)值和有理數(shù)的絕對(duì)值的意義相同，一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0。一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值：（3） 實(shí)數(shù)的倒數(shù)實(shí)數(shù)的倒數(shù)和有理數(shù)的倒數(shù)一樣，如果表示一個(gè)非零的實(shí)數(shù)，那么與互為倒數(shù)。實(shí)數(shù)與互為倒數(shù)，則，反之也成立。（4） 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，數(shù)軸上每一個(gè)點(diǎn)都表示一

13、個(gè)實(shí)數(shù)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。在數(shù)軸上，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大；正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，0大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，正實(shí)數(shù)都大于0。任意兩個(gè)實(shí)數(shù)間都有無(wú)數(shù)個(gè)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)。（5） 實(shí)數(shù)和有理數(shù)一樣，可進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算；有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算律、運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍適用。 交換律：，； 結(jié)合律：，； 分配律：。例2：求下列各數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值。（1） ；（2）；（3）；（4）。掌握方法1 無(wú)理數(shù)的識(shí)別方法判斷一個(gè)數(shù)是不是無(wú)理數(shù)，關(guān)鍵就看它能不能寫成無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的形式，而把無(wú)理數(shù)寫成無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的形式不但很麻煩，而且還是我們利用現(xiàn)有知識(shí)無(wú)法解決的難題

14、。初中常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有三種類型：（1）開方開不盡的數(shù)的方根，但切不可認(rèn)為帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)；（2）化簡(jiǎn)后含；（3）不循環(huán)的無(wú)限小數(shù)。掌握常見(jiàn)無(wú)理數(shù)的類型有助于識(shí)別無(wú)理數(shù)。例1：把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)。，。2 無(wú)理數(shù)的估計(jì)方法對(duì)于無(wú)理數(shù)的估算問(wèn)題，要理解算術(shù)平方根、立方根的意義。求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根與哪個(gè)整數(shù)最接近，就要看被開方數(shù)的值在哪兩個(gè)相鄰正整數(shù)的平方之間，與被開方數(shù)的差值較小的那個(gè)正整數(shù)的算術(shù)平方根即為與其最接近的整數(shù)。求一個(gè)數(shù)的立方根與哪個(gè)整數(shù)最接近，方法和求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根與哪個(gè)整數(shù)最接近相同，只要確定被開方數(shù)的值在哪兩個(gè)相鄰整數(shù)的立方之間，再確定和被開方數(shù)差值最小的那個(gè)整

15、數(shù)的立方根即可。例2：若，則的值所在范圍是（ ） A. B. C. D.3 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用方法每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示；數(shù)軸上每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，即數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。例3：如圖所示，數(shù)軸上表示，的點(diǎn)分別為，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，設(shè)點(diǎn)所表示的數(shù)為。（1） 寫出實(shí)數(shù)的值；（2） 求的值。4 實(shí)數(shù)大小的比較方法比較實(shí)數(shù)大小的方法較多，常見(jiàn)的有作差法、作商法、倒數(shù)法、平方法、估算法。這里主要介紹一下平方法。用平方法比較實(shí)數(shù)大小的依據(jù)是對(duì)任意正實(shí)數(shù)，有。例4：比較下面幾組數(shù)的大小：（1） 與；（2）與；（3）與；（4）5 非負(fù)數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用方法（1） 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)：任意實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，即；任意實(shí)數(shù)的平方（偶次方）是非負(fù)數(shù)，即（，為正整數(shù)）；任意非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即。（2） 非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：若兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，那么這兩個(gè)數(shù)一定都為0，常見(jiàn)一