計(jì)算方法---數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)連接的橋梁

1、 計(jì)算方法-數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)連接的橋梁一、課程簡介：本課程是理工科本科、研究生許多專業(yè)必修的一門專業(yè)基礎(chǔ)課需在掌握高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和常微分方程的基礎(chǔ)知識(shí)之上學(xué)習(xí)本課程在實(shí)際中，數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)一向有著密切關(guān)系并相互影響，科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域的問題通過建立數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)產(chǎn)生密切的聯(lián)系，并以各種形式應(yīng)用于科學(xué)和工程領(lǐng)域而所建立的這些數(shù)學(xué)模型，在許多情況下，要獲得精確解是十分困難的，甚至是不可能的，這就使得研究各種數(shù)學(xué)問題的近似解變得非常重要了，“數(shù)值計(jì)算方法”就是專門研究各種數(shù)學(xué)問題的近似解的一門課程通過這門課程的教學(xué)，使學(xué)生掌握用數(shù)值分析方法解決實(shí)際問題的算法原理及理論分析，提高同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際

2、問題的能力二、課程主要內(nèi)容包括：誤差分析，插值法與擬合，數(shù)值積分，數(shù)值微分，線性方程組的直接解法和迭代解法，非線性方程求根，矩陣特征值問題計(jì)算、常微分方程初值問題數(shù)值解法三、課程重點(diǎn)難點(diǎn)：1、 絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差限、有效數(shù)字2、 基函數(shù)、拉格朗日插值多項(xiàng)式、差商、牛頓插值多項(xiàng)式、截?cái)嗾`差3、 曲線擬合的最小二乘法（最小二乘法則、法方程組）4、 插值型數(shù)值積分（公式、積分系數(shù)）a) N-C求積公式（梯形公式、Simpson公式、Cotes公式-系數(shù)、代數(shù)精度、截?cái)嗾`差）b) 復(fù)合N-C公式（復(fù)合梯形公式、復(fù)合Simpson公式、收斂階、截?cái)嗾`差）c) 龍貝格算法的計(jì)算公式5、 非線性方程求根的

3、迭代法收斂性定理牛頓切線法、下山法、正割法（迭代公式、收斂階）6、 高斯消去法、列主元素高斯消去法、LU分解法解線性方程組Jacobi迭代法、S-R迭代法（迭代公式、迭代矩陣、收斂的充要條件、充分條件）矩陣的范數(shù)、譜半徑、條件數(shù)、病態(tài)方程組7、 歐拉方法（歐拉公式、向后歐拉公式、改進(jìn)的歐拉公式）四、課程的實(shí)際應(yīng)用計(jì)算方法主要介紹了兩種數(shù)值計(jì)算方法即：數(shù)值逼近與數(shù)值代數(shù)。前面幾章講的關(guān)于插值和擬合是屬于數(shù)值逼近，而后面幾章則介紹了非線性方程、解線性方程組、以及最后一章的常微分方程則屬于數(shù)值代數(shù)的部分。不管是哪一種方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用都是很廣泛的，下面就以最小二乘擬合方法為例說明其在實(shí)際的應(yīng)用。

4、(一) 曲線擬合就是擬合測量數(shù)據(jù)曲線。所選擇的曲線有時(shí)通過數(shù)據(jù)點(diǎn)，但在其他點(diǎn)上，曲線接近它們而不必通過它們，在大多數(shù)情況下，選擇曲線使得數(shù)據(jù)點(diǎn)的平方誤差和最小。這種選擇就是最小二乘曲線擬合。下面介紹一下最小二乘法擬合的基本原理。設(shè)已知 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn) )(i=0，1， 一1)，求(m一1) 次最小二乘擬合多項(xiàng)式：其中設(shè)擬合多項(xiàng)式為各正交多項(xiàng)式：的線性組合：則繼續(xù)往向下推導(dǎo)得：繼續(xù)推導(dǎo)最后可得最后可得一般形式的m一1次多項(xiàng)式：即為最小二乘擬合多項(xiàng)式其擬合精度由下式來評(píng)定：應(yīng)用實(shí)例：某建筑物176 d水平位移測量數(shù)據(jù)如下表所示，在程序編制過程中，為了防止運(yùn)算溢出，用來代替，其中，。此時(shí)，擬合多項(xiàng)式的形式

5、為：運(yùn)用最小二乘多項(xiàng)式擬合時(shí)，擬合多項(xiàng)式的次數(shù)越高，其擬合精度未必越高 。以擬合最高次數(shù)l9次為例，擬合系數(shù)如表2，擬合的精度評(píng)定見表3。根據(jù)水平位移的觀測數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)了累計(jì)觀測時(shí)間與水平位移的曲線擬合，在有限的測量數(shù)據(jù)條件下，表述了時(shí)間與該建筑物水平位移之間的函數(shù)關(guān)系。曲線擬合的最小二乘法在解決這類問題的數(shù)據(jù)處理和誤差分析中應(yīng)用非常廣泛，提高了數(shù)據(jù)處理的效率和精確度，最小二乘曲線擬合實(shí)現(xiàn)方法簡明、適用，可應(yīng)用于類似的測量數(shù)據(jù)處理和實(shí)驗(yàn)研究。(二) 水流量是水文特征值的一個(gè)重要指標(biāo)，而水文特征值對(duì)于水資源的合理利用，防洪以及抗旱具有指導(dǎo)性的作用，因此贛江水流量估計(jì)對(duì)于湘江流域的社會(huì)經(jīng)濟(jì)和人民生活

6、具有重大的影響。如根據(jù)實(shí)際測量得到贛江某處河寬700m，其橫截面不同位置某一時(shí)刻的水深如表1所示。若此刻贛江的流速為0.5m/s，試估計(jì)贛江此刻的流量。要計(jì)算贛江水流量就需要知道其橫截面面積，如果知道此處江的水深曲線函數(shù)，則其橫截面面積為 。但是在實(shí)際中是不可能精確得到的，那么怎樣求出足夠高精度的橫截面面積的近似值。x050100150200250300350400450500550600650700h(x)4.25.95.85.24.55.755.54.85.94.15.14.65.7,4.7與上述問題類似的如計(jì)算不規(guī)則平面的面積，礦藏的儲(chǔ)量等可以通過數(shù)值積分的方法解決。五：總結(jié) 通過計(jì)算方法課程的學(xué)習(xí)其實(shí)用性非常大。如拉格朗日和牛頓插值法，最小二乘擬合法等算法。因?yàn)樵谖覀儸F(xiàn)實(shí)生活中，需要通過已有的數(shù)據(jù)來發(fā)掘事物本身的內(nèi)在規(guī)律，或者模擬出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來解決。所以這就需要應(yīng)用計(jì)算方法課程的相關(guān)知識(shí)來完成?？梢哉f計(jì)算