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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)講義1函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負間的關(guān)系設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),若f(x)>0則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增;若f(x)<0則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減;若f(x)0恒成立,則f(x)為常數(shù)函數(shù)。2一般地,如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的絕對值較大,說明函數(shù)在這個范圍內(nèi) ,這時,函數(shù)的圖象就比較“ ”;反之,函數(shù)的圖象就比較“ ”3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域; (2)求導(dǎo)函數(shù)f(x);(3)由f(x)>0(或f(x)<0),解出相應(yīng)的x的取值范圍當(dāng)f(x)>0時
2、,f(x)在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù);當(dāng)f(x)<0時,f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)(4)結(jié)合定義域?qū)懗鰡握{(diào)區(qū)間(2)在某個區(qū)間內(nèi)f(x)>0(f(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間內(nèi)為增(減)函數(shù)的充分條件,而不是必要條件如果出現(xiàn)個別點使f(x)0,不會影響函數(shù)f(x)在包含該點的某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性例如函數(shù)f(x)x3在定義域(,)上是增函數(shù),但由f(x)3x2知,f(0)0,即并不是在定義域內(nèi)的任意一點處都滿足f(x)>0.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是:對任意的x(a,b),都有f(x)0(f(x)0),且f(x)在(a,b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不
3、恒等于零利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意的問題(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,先要確定函數(shù)的定義域; (2)如果一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個,這些單調(diào)區(qū)間中間一般不能用“”連接【例1】 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (1)f(x)x3x;f(x)x2ln x;思路探索 先確定函數(shù)的定義域,再對函數(shù)求導(dǎo),然后求解不等式f(x)>0與f(x)<0,并與定義域求交集從而得相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間 則x(0,),令y<0,即ex1<0,則x(,0),yexx1的單調(diào)增區(qū)間(0,),單調(diào)減區(qū)間為(,0)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性【例2】 證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e)上是增函數(shù)f(x),又例3已知f(x
4、)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的圖象只可能是()解析從f(x)的圖象可以看出,在區(qū)間內(nèi),導(dǎo)數(shù)遞增;在區(qū)間內(nèi),導(dǎo)數(shù)遞減.即函數(shù)f(x)的圖象在內(nèi)越來越陡峭,在內(nèi)越來越平緩.題型三已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍【例4】 已知函數(shù)f(x)x2(x0,常數(shù)aR)若函數(shù)f(x)在x2,)上是單調(diào)遞增的,求a的取值范圍根,024×1×3a>0,a>0.a的取值范圍為(,0)題型四用單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系證不等式【例5】 (12分)當(dāng)x0時,證明不等式ln xxx2.則f(x)y<0,即y在(,0)內(nèi)是減函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)講義變式【變式1】 求函
5、數(shù)f(x)3x22ln x的單調(diào)區(qū)間解函數(shù)的定義域為(0,),f (2)f(x)2x(ex1)x2;f(x);f(x)sin x(1cos x)(0x<2). 【變式2】 試證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減證明f(x),又x,則cos x<0,xcos xsin x<0,f(x)<0,f(x)在上是減函數(shù)變式3 f(x)是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù),若yf(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)yf(x)的圖象可能是() 【變式4】 (1)已知函數(shù)f(x)x3bx2cxd的單調(diào)減區(qū)間為1,2,求b,c的值(2)設(shè)f(x)ax3x恰好有三個單調(diào)區(qū)間,求實數(shù)a的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)3x22bxc,由題設(shè)知1<x<2是不等式3x22bxc<0的解集【變式5】 當(dāng)0x時,求證:xsin xx3.證明設(shè)g(x)xsin xx3,x,g(x)1cos xx22.0,xin xx3.【6】 已知a>0,且a1,證明函數(shù)yaxxln a在(,0)內(nèi)是減函數(shù)x,0sin xx,解析由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,當(dāng)x<0時,f(x)>0,即函數(shù)f(x
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