比和比例專題講義

1、比和比例講義比和比例知識(shí)點(diǎn)比比例意義兩個(gè)數(shù)相除,又叫做兩個(gè)數(shù)的比.如，90÷60=90:60(90比60)表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。如，90 ： 60 = 3 : 2各部分名稱比值后項(xiàng)比號(hào)前項(xiàng)90 ： 60 = 1.5（共有2個(gè)項(xiàng)）內(nèi)項(xiàng)外項(xiàng)90 ： 60 = 3 : 2（共有4個(gè)項(xiàng)）基本性質(zhì)比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都乘上或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。如，90:60=（90×5）:（60×5）=1.590:60=（90÷15）:（60÷15）=1.5在比例中，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。如，90 ： 60 = 3 : 2兩個(gè)外項(xiàng)的積兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積

2、90 × 2 = 60 × 3化簡(jiǎn)比的依據(jù)如，90:60=（90÷15）:（60÷15）=6:4解比例的依據(jù)如，5：x=1.6：3.21.6x=5×3.21.6x=16x=10化簡(jiǎn)比的方 法整數(shù)比比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)除以它們最大公因數(shù)（也可以一步一步的除）如，18:6=（18÷6）：（6÷6）=3:1 或18:6=（18÷2）：（6÷2）=9:3=（9÷3）：（3÷3）=3:1小數(shù)比先把比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以10、100，變成整數(shù)比；再把整數(shù)比化成最簡(jiǎn)比如， 0.25:1.5=（0.25

3、×100）：（1.5×100）=25:150=1:6分?jǐn)?shù)比先把比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以它們分母的最小公倍數(shù)，變成整數(shù)比；再把整數(shù)比化成最簡(jiǎn)比如，：=（×24）：（×24）=20:9混合比先把混合比變成小數(shù)比或分?jǐn)?shù)比（如果比中的分?jǐn)?shù)不能化成有限小數(shù)的，一般化為分?jǐn)?shù)比），再變成整數(shù)比，最后把整數(shù)比化成最簡(jiǎn)比如，：0.2=：=25:2或：0.2=2.5:0.2=25:2如，：0.3中的不能化成有限小數(shù) ，所以把：0.3先化為分?jǐn)?shù)比。：0.3=：=25:9判斷兩個(gè)比成不成比例的方法方法一?？催@兩個(gè)比的比值是否相等方法一?？磧蓚€(gè)外項(xiàng)的積是否會(huì)等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。意義方

4、法結(jié)果求比值比的前項(xiàng)除以比的后項(xiàng)所得的商叫做比值。前項(xiàng)除以后項(xiàng)結(jié)果是一個(gè)數(shù)（整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)），不能寫成比的一般形式。如，60:50=1.2不能寫成60:50=6:5化簡(jiǎn)比把兩個(gè)數(shù)的比化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比前項(xiàng)和后項(xiàng)都乘或除以相同的數(shù)（0除外）結(jié)果是一個(gè)比，不能寫成整數(shù)和小數(shù)。18:6=3:1不能寫成18:12=31、兩個(gè)數(shù)相除，又叫做這兩個(gè)數(shù)的比，“：”是比號(hào)，比號(hào)前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)，前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商叫做比值。比的后項(xiàng)不能為0。2、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或者除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。1的倒數(shù)是1，0沒(méi)有倒數(shù)

5、。3、商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或者同時(shí)縮小相同的倍（0除外），商不變。4、比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或者除以相同的數(shù)（0除外），它們的比值不變。5、小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。6、公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。最簡(jiǎn)整數(shù)比：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)是互質(zhì)數(shù)。7、比的化簡(jiǎn)：用商不變的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)或比的基本性質(zhì)來(lái)化簡(jiǎn)。8、比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。如：（3：4=9：12）。比例有四個(gè)項(xiàng)，分別是兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)和兩個(gè)外項(xiàng)。在3：4=9：12中，其中3與12叫做比例的外項(xiàng)，4與9叫做比例的內(nèi)項(xiàng)。比例的四個(gè)數(shù)均不能為0。9、比例的基本性質(zhì)：在一個(gè)

6、比例中，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。10、比、比例、比例尺、百分?jǐn)?shù)的后面不能帶單位。典型例題：-判斷兩個(gè)量是否成正比例、反比例或不成比例1、 寫（寫出數(shù)量關(guān)系式）1、根據(jù)數(shù)量間的關(guān)系或公式，寫出數(shù)量關(guān)系式。如，寬一定，長(zhǎng)方形的面積和長(zhǎng)是否成正比例。根據(jù)“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”得到“”，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積和長(zhǎng)是相關(guān)聯(lián)的量，寬一定，也就是它們的比值一定，所以“寬一定，長(zhǎng)方形的面積和長(zhǎng)是成正比例”。圓錐的體積一定，底面積和高是否成反比例。根據(jù)“底面積×高×=圓錐的體積”得到“底面積×高=圓錐的體積×3”，因?yàn)榈酌娣e和高是相關(guān)聯(lián)的量，圓錐的體積一定，“

7、圓錐的體積×3"的結(jié)果也一定，就是底面積和高的積一定（底面積×高=圓錐的體積×3（一定），所以圓錐的體積一定，底面積和高是成反比例。2、注意：寫出的數(shù)量關(guān)系式，其中的一邊（左邊）只能有這兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，不能有多余的量和數(shù)字。如，“（長(zhǎng)寬）×2=長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)”的左邊就多了×2，應(yīng)變?yōu)椤埃ㄩL(zhǎng)寬）=”又如，梯形的上底和下底不變，面積和高?？梢赃@樣寫關(guān)系式：（ab）×h÷2=s（ab）×h÷2÷h=s÷h（ab）÷2 =s÷hs÷h=（ab）÷

8、2，因?yàn)樯系缀拖碌撞蛔儯╝b）÷2的結(jié)果也是一定的，所以梯形的上底和下底不變，面積和高成正比例。3、還有些數(shù)量之間是無(wú)法寫關(guān)系式的。如，“小明的身高和跳高的高度成正比例”是無(wú)法寫出關(guān)系式的。2、 看（1、看是否相關(guān)聯(lián)2、看是否能變化3、看是否商（積）一定）1、 看是否相關(guān)聯(lián)：也就是一個(gè)量變化了，另一個(gè)量是否也會(huì)隨著變化。如，長(zhǎng)方形的面積一定，長(zhǎng)和寬就是相關(guān)聯(lián)的量，因?yàn)殚L(zhǎng)變化了，寬也會(huì)隨著變化。又如，圓的周長(zhǎng)一定，和直徑就不是相關(guān)聯(lián)的量。因?yàn)椴还苤睆皆趺醋?，總是等?.14，不會(huì)隨直徑而改變。2、 看是否能變化：也就是這兩個(gè)量都是能變化的，不是固定的。如，上例的就不是能變化的量。如，

9、“邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)=正方形的面積（一定）”，因?yàn)檎叫蔚拿娣e（一定），所以邊長(zhǎng)也只能是固定的，不是變量。所以，正方形的面積（一定），邊長(zhǎng)和邊長(zhǎng)不成比例。3、 看是否商（積）一定：也就是這兩個(gè)量相除（或相乘）的結(jié)果是否固定不變的。如，圓的周長(zhǎng)和直徑成正比例。因?yàn)閳A的周長(zhǎng)和直徑的比值等于，是固定的數(shù)，即圓的周長(zhǎng)和直徑的比值一定的。三、列（列出幾組數(shù)據(jù)）列出幾組數(shù)據(jù)，然后看這兩個(gè)量是否相關(guān)聯(lián)，比值或積是否一定。（如果上面兩種方法能夠準(zhǔn)確判斷，可不必用這種方法。不好寫關(guān)系式、無(wú)法寫關(guān)系式、不好判斷的最好用這種方法。）如，“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定，長(zhǎng)和寬成是否正比例?！毕热我饬袛?shù)字，如周長(zhǎng)為18，寬是1，

10、長(zhǎng)就是8，寬是2，長(zhǎng)就是7長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)18181818長(zhǎng)8765寬1234然后看長(zhǎng)和寬是否相關(guān)聯(lián)，比值是否一定。最后得出結(jié)論：長(zhǎng)和寬是相關(guān)聯(lián)的量，但它們的比值不一定：8÷1=8，7÷2=3.5，6÷3=2，所以“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定，長(zhǎng)和寬不成是正比例。”練習(xí)：一 填空1、0.6=3：（ ）=（ ）÷15=（ ）成=（ ）2、1： 0.75的比值是（ ），把它化為最簡(jiǎn)的整數(shù)比是（ ）3、比例4：9=20：45寫成分?jǐn)?shù)形式是（ ），根據(jù)比例的基本性質(zhì)寫成乘法形式是（ ）4、18的因數(shù)有（ ），選出其中四個(gè)數(shù)組成一個(gè)比例是（ ）5、在比例尺1：2000000的地

11、圖上，圖上1厘米表示實(shí)際距離（ ）千米。6、在一個(gè)比例中，兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)互為倒數(shù)，一個(gè)外項(xiàng)是 ，另一個(gè)外項(xiàng)是（ ）7.甲數(shù)除以乙數(shù)的商是4，甲數(shù)與乙數(shù)的最簡(jiǎn)整數(shù)比是（ ）8、我國(guó)<<國(guó)旗法>>規(guī)定，國(guó)旗的長(zhǎng)和寬的比是3：2，學(xué)校的國(guó)旗寬是128厘米，長(zhǎng)應(yīng)該是( )厘米。9、三角形底一定，它的高和面積成（ ）比例。10、用0.2 、 6、 30、 1這四個(gè)數(shù)組成兩個(gè)比例式是（ ）和（ ）11、某廠男職工人數(shù)是女職工的，女職工與男職工的人數(shù)比是（ ）12、兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng)比是3：4，它們的體積比是（ ）13、如果3a=2b，那么a：b=（ ）：（ ）14、從A地到B地，甲用12分

12、鐘，乙用8分鐘，甲乙的速度比是( )15、小圓的半徑是2厘米，大圓的半徑是3厘米，小圓和大圓的周長(zhǎng)比是（ ），面積比是（ ）16、甲乙兩數(shù)之比是3：4，它們的和是1.4，則甲數(shù)是（ ），乙數(shù)是（ ）17、一個(gè)比8：15，如果后項(xiàng)增加60，要使比值不變，比的前項(xiàng)應(yīng)該增加（ ）18、在比例尺是的學(xué)校平面圖上，量得教室的長(zhǎng)8厘米，寬6厘米，教室實(shí)際面積是（ ）19、男生人數(shù)比女生人數(shù)少20，男生人數(shù)與女生人數(shù)的比是（ ）：（ ）20、甲數(shù)的等于乙數(shù)的，甲數(shù)與乙數(shù)的比是（ ）二、判斷1、圓柱的底面積一定，它的高與體積成正比例 。 （ ）2、圓周率是圓的直徑與周長(zhǎng)的比值。 （ ）3、把16：2化作最簡(jiǎn)的

13、整數(shù)比是8。 （ ）4、如果Y=5X，則x與y成正比例。 （ ）5、一個(gè)非0的自然數(shù)與它的倒數(shù)成反比。 （ ）三、選擇題、能與.：.組成比例的是 （）、.：.、：.、：、一克的鹽放入49克的水中，鹽和鹽水的比是 （）、1:49、1：48、1：50、x ×y×時(shí)，x：y（）、：、5：3、3：5、一本書已看總頁(yè)數(shù)的，沒(méi)看頁(yè)數(shù)與總頁(yè)數(shù)的比是 （ ）、2：3、3：5、2：5、花生的出油率一定，花生的質(zhì)量和榨出的油的質(zhì)量（）、成正比例、成反比例、不成比例四、計(jì)算、化簡(jiǎn)比5：. ：. 分：.小時(shí)、求出比值.： .：.：、解比例 ：.：. ：五、解決問(wèn)題1、房產(chǎn)博覽會(huì)上，某樓盤的模型是按

14、照1：500的比例尺制作的，該樓盤1號(hào)樓模型高7厘米，它的實(shí)際高度是多少？2、蘭州到烏魯木齊的鐵路長(zhǎng)約1900千米，在比例尺是1：4的地圖上，它的長(zhǎng)是多少？3、修一條長(zhǎng)12千米的公路，開工3天修了1.5千米。照這樣計(jì)算，修完這條路還要多少天？4、專業(yè)戶劉大伯家養(yǎng)雞、鴨、鵝共1800只，這三種家禽的只數(shù)比是5：3：1。劉大伯家養(yǎng)雞、鴨、鵝各多少只 ？5、把一批書按4：5：6的比例分給甲、乙、丙三個(gè)班，已知甲班比丙班少分到24本，三個(gè)班各分到多少本書？6、亮亮家造了新房，準(zhǔn)備用邊長(zhǎng)是0.4米的正方形地磚裝飾客廳地面，這樣需要180塊，裝修老師建議改用邊長(zhǎng)0.6米的正方形地磚鋪地。請(qǐng)你算一算需要多少

15、塊？六、數(shù)學(xué)思考一艘輪船以每小時(shí)40千米的速度從甲港開往乙港，行了全程的20 %后，又行駛了1小時(shí)，這時(shí)未行路程與已行路程的比是3：1。甲乙兩港相距多少千米？作業(yè):1根據(jù)提供信息，求出這幅圖的比例尺。2、籃球場(chǎng)長(zhǎng)20米，寬15米，請(qǐng)你用去的比例尺畫出這個(gè)籃球場(chǎng)的平面圖3、一個(gè)圓形花壇的直徑是10米，請(qǐng)你用1：250的比例尺畫出這個(gè)圓，并求出這個(gè)花壇的實(shí)際的長(zhǎng)( )米，面積( )平方米4、下圖是用1:400的比例尺畫出的圖形先作出平行四邊形的高，并量出有關(guān)的數(shù)據(jù)，(取整厘米數(shù))，再計(jì)算出這個(gè)平行四邊形的實(shí)際面積5、一個(gè)學(xué)校操場(chǎng)是長(zhǎng)200米寬80米的長(zhǎng)方形 (1)按l：4 000的比例尺畫操場(chǎng)平面

16、圖，長(zhǎng)應(yīng)該畫_厘米，寬應(yīng)該畫_厘米 (2)請(qǐng)?jiān)谙旅娈嫵霾賵?chǎng)的平面圖6、右圖是用比例尺1：100畫的沙坑平面圖，圖中的腳印是劉鵬跳遠(yuǎn)時(shí)留下的請(qǐng)你畫出他的圖上距離，并量量其長(zhǎng)度，然后算算他跳的實(shí)際距離(5分)7、某縣人民政府門前的廣場(chǎng)是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)180米，寬100米。請(qǐng)你選擇一個(gè)合適的比例尺，在下邊的圖紙內(nèi)畫出廣場(chǎng)的平面圖，并在圖上注明長(zhǎng)和寬。我設(shè)計(jì)的比例尺是( )。8、把下面左邊的圖形放大為原來(lái)面積的4倍，形狀不變，并畫在右邊的方格紙中。(4分)9、如圖，小芳家在學(xué)校( )方向上；小星家在學(xué)校( )方向上。10、竹子是世界上生長(zhǎng)最快的植物，據(jù)觀察，24小時(shí)可以生長(zhǎng)72厘米。如果竹子照這樣的速

17、度生長(zhǎng)，請(qǐng)你完成下面的表格。時(shí)間(小時(shí))12315高度(厘米)3693611、圖示是光明小學(xué)長(zhǎng)方形操場(chǎng)的平面圖。請(qǐng)你量出圖中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，在圖上標(biāo)出來(lái)，并計(jì)算出操場(chǎng)的實(shí)際面積。(量度時(shí)取整厘米)12、填空與操作。1下圖是某城市一處平面示意圖。 (1)圖上l厘米表示實(shí)際距離( )千米。(2)學(xué)校位于中心廣場(chǎng)( )面大約( )千米處。(3)中心廣場(chǎng)西面1千米處有一條商業(yè)街與人民路平行，在圖中畫線表示商業(yè)街。 13、以世紀(jì)廣場(chǎng)為觀察點(diǎn)，根據(jù)下面提供的信息，在平面圖上標(biāo)出各個(gè)場(chǎng)所的位置。(3分) (1)市一小在世紀(jì)廣場(chǎng)南偏東20。方向250米處； (2)榆中在世紀(jì)廣場(chǎng)東200米處； (3)市二小在世

18、紀(jì)廣場(chǎng)北偏東3O。方向1000米處。14、量一量下圖中，小明家到中心廣場(chǎng)的圖上距離，再根據(jù)比例尺算出它們的實(shí)際距離。(測(cè)量圖上距離時(shí)，精確到厘米。) 15、A、C兩個(gè)村子，L是一條小河，現(xiàn)在要在小河邊修一個(gè)供水站，向A、C兩村供水，在河邊( )點(diǎn)修供水站到A、C兩村的供水管道會(huì)最短。如果這幅圖的比例尺是1:20000，到A、C兩村的供水管道和最短要( )米。16、公園在學(xué)校正北200m，書店在學(xué)校正東，動(dòng)物園在學(xué)校正西400m處。請(qǐng)你在圖上標(biāo)出比例尺，并畫出動(dòng)物園的位置。17、某市區(qū)主要街道分布情況如下圖：動(dòng)手測(cè)量出有關(guān)數(shù)，并標(biāo)示出來(lái)。（1）文明路長(zhǎng)l800米，這幅圖的比例尺是多少?（2）光明路在文明路的南邊，距文明路600米，平行于文明路，請(qǐng)你畫在圖上。18、量量、算算、畫畫。量出你正在做的這份數(shù)學(xué)試卷(完全展 開的試卷)的長(zhǎng)和寬(取整厘米數(shù))，并在括號(hào)中選擇一個(gè)合適的比例尺，再把它畫在方框內(nèi)。(可選擇的比例尺為1：2 1：1010：1 1：500)量得試卷長(zhǎng)( )厘米，寬是( )厘米 比例尺：( )19、埃和的金字塔是著名奇觀，它給后人留下很多難解之謎，你能根據(jù)下面的信息算出金字塔的實(shí)際高度嗎? 你能想辦法知道