總結(jié)求線(xiàn)性方程組的方法

1、華 北 水 利 水 電 大 學(xué)總結(jié)求線(xiàn)性方程組的方法課 程 名 稱(chēng)： 線(xiàn)性代數(shù) 專(zhuān) 業(yè) 班 級(jí)： 成 員 組 成： 聯(lián) 系 方 式： 2014年 12月31日摘要： 線(xiàn)性方程組的求解是當(dāng)代代數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要組成部分。它廣泛應(yīng)用在數(shù)學(xué)以及其他領(lǐng)域。它與矩陣、線(xiàn)性變換、行列式、向量組的線(xiàn)性相關(guān)性，二次型，這些型之間有著相當(dāng)密切的聯(lián)系。線(xiàn)性方程組是線(xiàn)性代數(shù)中一個(gè)相當(dāng)基礎(chǔ)的內(nèi)容必須要學(xué)會(huì)以及熟悉內(nèi)容。本文章主要說(shuō)明和討論線(xiàn)性方程組的基本結(jié)構(gòu)，然后應(yīng)用克拉莫法則，高斯消元法來(lái)來(lái)求解。關(guān)鍵詞： 線(xiàn)性方程組、高斯消元法、克拉莫法則；Summary for the method of liner equati

2、onsAbstract: Solution of the system of linear equations is an important component part of algebra. It is widely used in mathematics and other areas. It and determinant, matrix, linear transformation, linear correlation vector group, quadratic form, has the close relation. System of linear equations

3、is a very basic content in linear algebra must grasp and familiar with the content. This article mainly explain and discuss the basic structure of system of linear equations, then apply law of kramer, gauss elimination method to solve.Key words: System of linear equations; Gauss elimination method ;

4、Kramer law 正文：1、引言線(xiàn)性代數(shù)和高等數(shù)學(xué)中線(xiàn)性方程組理論是的其中的的重要組成部分。線(xiàn)性方程組的求解特殊線(xiàn)性方程組和克拉默法則以及高斯消元法，在線(xiàn)性代數(shù)課本中以及高數(shù)課本中都有相當(dāng)詳細(xì)的介紹和解法。本文主要研究的對(duì)象是齊次線(xiàn)性方程組以及非齊次線(xiàn)性方程組的解法和基本構(gòu)成。和非齊次線(xiàn)性方程組和齊次線(xiàn)性方程組它們之間最主要求別就在于常數(shù)項(xiàng)全部為零齊次線(xiàn)性方程組：求其基礎(chǔ)解系的方法，一般是對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等變換然后使之成為行最簡(jiǎn)矩陣，從而得出與原方程組的同解方程組，然后再通過(guò)自由變量來(lái)得出原方程組的基礎(chǔ)解系。非齊次線(xiàn)性方程組：本文通過(guò)增廣齊次方程組和增廣齊次方程組的條件解的概念，然后求增廣

5、齊次線(xiàn)性方程的條件解，然后進(jìn)一步的求出一般線(xiàn)性方程組的通解2 正文內(nèi)容 2.1線(xiàn)性方程組的概念1.線(xiàn)性方程組一般形式為2. 線(xiàn)性方程組矩陣的一般形式： ，為系數(shù)矩陣，為常數(shù)項(xiàng)向量，為未知數(shù)向量3.為增廣矩陣 增廣矩陣：增廣矩陣記為 2.2線(xiàn)性方程組解的判斷平時(shí)在解某一些方程時(shí)要討論解的情況在解線(xiàn)性方程組中也一樣要討論線(xiàn)性方程組的解的情況。一般情況下我們?cè)谇缶€(xiàn)性方程組之前，一般我們先討論判斷線(xiàn)性方程組解的情況，線(xiàn)性方程組的解有可能只有一個(gè)。同時(shí)也有可能沒(méi)有解即無(wú)解。有可能有無(wú)窮多個(gè)解。這三種情況。這些情況必須討論不能有任何的疏忽。設(shè)；為非齊次線(xiàn)性方程組。其中為系數(shù)矩陣的秩，為增廣矩陣的秩。則有時(shí)

6、，方程有無(wú)窮多個(gè)解。時(shí)，方程有唯一的解。時(shí)，方程無(wú)解。 2.3 克拉默法則克拉默法則是線(xiàn)性代數(shù)方程組的一個(gè)很好的求解方法，是我們學(xué)習(xí)求解線(xiàn)性代數(shù)方程組的主要方法之一。對(duì)于齊次線(xiàn)性方程組方程組來(lái)說(shuō)，有一個(gè)零解。所以對(duì)齊次線(xiàn)性方程組的研究就是齊次線(xiàn)性方程組什么時(shí)候有非零解和非零解的形式是什么。 的系數(shù)矩陣 的行列式 那么線(xiàn)性方程組有解，而且它的解唯一其中是把矩陣中第列換成方程組的常數(shù)項(xiàng)，所成的行列式例題1：解線(xiàn)性方程組解：所以 則則原方程的解為2.4高斯消元法高斯消元法是很常見(jiàn)的一種解方程組的方法，在平常的方程組問(wèn)題求解中都有用得到。高斯消元法通過(guò)很多的加減運(yùn)算進(jìn)行消元運(yùn)算，是把方程變化成上三角矩

7、陣或者下三角矩陣，然后逐個(gè)往回代求解出方程組。例題2：解線(xiàn)性方程組 解：，增廣矩陣 2.5解齊次線(xiàn)性方程組定理1：設(shè)則文獻(xiàn) 定義1：設(shè)有是齊次線(xiàn)性方程組的解向量，如果與線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而且方程的任意一個(gè)解都可以由的線(xiàn)性表示，那么就稱(chēng)是齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。根據(jù)定義1如果找到了基礎(chǔ)解系，那么方程組的所有解都可以表示為，且得維數(shù)，其中為任意實(shí)數(shù)。這樣齊次線(xiàn)性方程組的求解問(wèn)題就歸結(jié)為其基礎(chǔ)解系問(wèn)題。文獻(xiàn) 定理2：設(shè)的秩，則齊次線(xiàn)性方程組存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系含個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解向量，即 文獻(xiàn) 定理3：齊次線(xiàn)性方程組只有零解的充分必要條件為；有非零解的充分必要條件為。文獻(xiàn) 當(dāng)齊次線(xiàn)性方程有非零解時(shí)需要注意三

8、點(diǎn)。（1) 化矩陣為行階梯形矩陣時(shí)，只能實(shí)施初等變換；（2) 個(gè)自由元的確定不是唯一的，但無(wú)論如何選擇，必須保證非自由元構(gòu)成的保留方程組的系數(shù)矩陣的秩為（3) 既然自由元選擇不是唯一的，也就決定了齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系是不唯一的。但不同的基礎(chǔ)解系是同等的 那么我們根據(jù)根據(jù)定理2，如果齊次線(xiàn)性方程組與齊次線(xiàn)性方程組有相同的解，那么,但是反過(guò)來(lái)說(shuō)是不成立的例題：求解齊次線(xiàn)性方程組解：把系數(shù)矩陣進(jìn)行初等變換，變?yōu)樾须A梯形矩陣解得通解，為任意常數(shù)2.6解非齊次線(xiàn)性方程組非齊次線(xiàn)性方程組的向量表示式為其中是系數(shù)矩陣的列向量，所以，方程組有解的充分必要條件是向量可以由系數(shù)矩陣列的列向量線(xiàn)性表示，從而有那

9、么系數(shù)矩陣的秩：于是就有下列定理定理1：對(duì)于非齊次線(xiàn)性方程組 文獻(xiàn) （1） 有解；（2） 可以由系數(shù)矩陣的列向量組線(xiàn)性表示；（3） 系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，即由于可由的列向量線(xiàn)性表示，且表示法唯一的從分必要條件是線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以我們有下述定理。定理2：非齊次線(xiàn)性方程組有唯一解的充分必要條件是 文獻(xiàn) 定理:3：設(shè)，則。文獻(xiàn) 定理4：非齊次線(xiàn)性方程組的一般解的表達(dá)式為，其中是的一個(gè)特解，是的一般解。文獻(xiàn) 例題：求非齊次線(xiàn)性方程組的一般解 ,解：，方程組有無(wú)窮多個(gè)解一般解為為任意常數(shù)總結(jié)本文是我對(duì)線(xiàn)性方程組的解法研究和總結(jié)。我們可以通過(guò)對(duì)線(xiàn)性方程組的解法的研究得出，線(xiàn)性方程組的解法和矩陣的相關(guān)理

10、論和方法有著一種“你中有我，我中有你”的關(guān)系，這種關(guān)系是息息相關(guān)的。對(duì)于解決矩陣的一些問(wèn)題有著很重要的作用。我們一般想要解決線(xiàn)性方程組的問(wèn)題，那么就必須要學(xué)好矩陣的相關(guān)知識(shí)。只有扎實(shí)的基礎(chǔ)理論知識(shí)和豐厚的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)才能讓我們更好的掌握我們所學(xué)的線(xiàn)性帶出知識(shí)和高等數(shù)學(xué)知識(shí)。 與此同時(shí)我們還要通過(guò)大量的練習(xí)才能總結(jié)出相對(duì)于別人更適合自己的解題方法，我們才能更好的學(xué)習(xí)線(xiàn)性方程組和矩陣。有些特殊的題目不一定使用通用的解法。但是大部問(wèn)題目可以用這些解法來(lái)解決問(wèn)題。只有不斷學(xué)習(xí)才能進(jìn)步更上一層樓。本著通俗易懂，大家一學(xué)就會(huì)的想法才總結(jié)出這幾個(gè)方法。文獻(xiàn)1：線(xiàn)性代數(shù)M.北京：科學(xué)出版社 王天澤 主編2013年8月 第一版 第77頁(yè)2：線(xiàn)性代數(shù)M.北京：科學(xué)出版社 王天澤 主編2013年8月 第一版 第77頁(yè)3：線(xiàn)性代數(shù)M.北京：科學(xué)出版社 王天澤 主編2013年8月 第一版 第77頁(yè)4：線(xiàn)性代數(shù)M.北京：科學(xué)出版社 王天澤 主編2013年8月