二次函數(shù)專題一：角度問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上二次函數(shù)專題一：角度一、有關(guān)角相等1、已知拋物線的圖象與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，直線經(jīng)過、兩點(diǎn).（1） 求此拋物線的解析式；（2）連接、，試比較和的大小，并說明你的理由.思路點(diǎn)撥：對于第（1）問，需要注意的是CD和x軸平行（過點(diǎn)作軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)）對于第（2）問，比較角的大小a、 如果是特殊角，也就是我們能分別計算出這兩個角的大小，那么他們之間的大小關(guān)系就清楚了b、 如果這兩個角可以轉(zhuǎn)化成某個三角形的一個外角和一個不相鄰的內(nèi)角，那么大小關(guān)系就確定了c、 如果稍難一點(diǎn)，這兩個角轉(zhuǎn)化成某個三角形的兩

2、個內(nèi)角，根據(jù)大邊對大角來判斷角的大小d、 除了上述情況外，那只有可能兩個角相等，那么證明角相等的方法我們學(xué)過什么呢，全等三角形、相似三角形和簡單三角函數(shù)，從這個題來看，很明顯沒有全等三角形，剩下的就是相似三角形和簡單三角函數(shù)了，其實(shí)簡單三角函數(shù)證明角相等和相似三角形證明角相等的本質(zhì)是一樣的，都是對應(yīng)邊的比相等e、 可能還有人會問，這么想我不習(xí)慣，太復(fù)雜了，那么我再說一個最簡單的方法，如何快速的找出題目的結(jié)論問題，在本題中，需要用到的點(diǎn)只有M、C、A、B這四個點(diǎn)，而這四個點(diǎn)的坐標(biāo)是很容易求出來的，那么請你把這四個點(diǎn)規(guī)范的在直角坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出來，再用量角器去量這兩個角大大小，你就能得出結(jié)論了，得出結(jié)

3、論以后你再看d這一條解：（1）CDx軸且點(diǎn)C（0，3），設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，3) 直線y= x+5經(jīng)過D點(diǎn)，3= x+5x=2即點(diǎn)D(2，3) 根據(jù)拋物線的對稱性，設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為M（1，y），又直線y= x+5經(jīng)過M點(diǎn)，y =1+5，y =4即M（1，4）設(shè)拋物線的解析式為點(diǎn)C（0，3）在拋物線上，a=1即拋物線的解析式為3分（2）作BPAC于點(diǎn)P，MNAB于點(diǎn)N由（1）中拋物線可得點(diǎn)A（3，0），B（1，0），AB=4，AO=CO=3，AC=PAB45°ABP=45°，PA=PB=PC=ACPA=在RtBPC中，tanBCP=2在RtANM中，M（-1，4），MN=4AN

4、=2tanNAM=2BCPNAM即ACBMAB后記：對于幾何題來說，因?yàn)榻M成平面圖形的最基本的元素就是線段和角（圓分開再說），所以幾何的證明無非就是線段之間的關(guān)系，角之間的關(guān)系，在二次函數(shù)綜合題里，我主張首先要想到的是利用角之間的關(guān)系來解題，其次才是利用線段之間的關(guān)系來解題，除非你很快就能看出利用線段之間的關(guān)系來解題很簡單，因?yàn)樵谥苯亲鴺?biāo)系里要求兩點(diǎn)之間的距離是很麻煩的，尤其是不知道某個點(diǎn)的確切坐標(biāo)時，那么這個題給了我們一個如果判斷角之間關(guān)系的基本思路2、（2012朝陽一模第24題8分）24. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)N（2,5），過點(diǎn)N作x軸的平行線交此拋物線左側(cè)于點(diǎn)M，MN=

5、6.（1）求此拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P（x,y）為此拋物線上一動點(diǎn)，連接MP交此拋物線的對稱軸于點(diǎn)D，當(dāng)DMN為直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)此拋物線與y軸交于點(diǎn)C，在此拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使QMN=CNM ？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.24. 解：（1）過點(diǎn)M、N（2，5），由題意，得M（，）. 解得 此拋物線的解析式為. 2分（2）設(shè)拋物線的對稱軸交MN于點(diǎn)G，若DMN為直角三角形，則.D1（，），（，）. 4分直線MD1為，直線為.將P（x，）分別代入直線MD1，的解析式，得，.解得 ，（舍），（1,0）. 5分解得 ，（舍），（3,12）. 6分（3）設(shè)存在點(diǎn)

6、Q（x，），使得QMN=CNM. 若點(diǎn)Q在MN上方，過點(diǎn)Q作QHMN，交MN于點(diǎn)H，則.即.解得，（舍）.（，3）. 7分 若點(diǎn)Q在MN下方，同理可得（6，）. 8分3、（2012西城一模25題8分）25平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn) A的坐標(biāo)為(1, 0)，OB=OC，拋物線的頂點(diǎn)為D (1) 求此拋物線的解析式； (2) 若此拋物線的對稱軸上的點(diǎn)P滿足APB=ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3) Q為線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于AQB的平分線的對稱點(diǎn)為，若，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和此時的面積 圖925解：（1） ， 拋物線的對稱軸為直線 拋物線與x軸交于 點(diǎn)A、

7、點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為， 點(diǎn)B的坐標(biāo)為，OB3 1分可得該拋物線的解析式為 OB=OC，拋物線與y軸的正半軸交于點(diǎn)C， OC=3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入該解析式，解得a=12分 此拋物線的解析式為（如圖9） 3分 （2）作ABC的外接圓E，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)E與拋物線的對稱軸位于x軸上方的部分的交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)均為所求點(diǎn).（如圖10） 可知圓心E必在AB邊的垂直平分線即拋物線的對稱軸直線上 、都是弧AB所對的圓周角， ，且射線FE上的其它點(diǎn)P都不滿足由（1）可知 OBC=45°，AB=2，OF=2可得圓心E也在BC邊的垂直平分線即直線上

8、點(diǎn)E的坐標(biāo)為 4分 由勾股定理得 點(diǎn)的坐標(biāo)為 5分由對稱性得點(diǎn)的坐標(biāo)為 6分符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為、.（3） 點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別為、，可得直線BD的解析式為，直線BD與x軸所夾的銳角為45° 點(diǎn)A關(guān)于AQB的平分線的對稱點(diǎn)為，（如圖11）若設(shè)與AQB的平分線的交點(diǎn)為M，則有 ，Q，B，三點(diǎn)在一條直線上 ， 作x軸于點(diǎn)N 點(diǎn)Q在線段BD上， Q，B，三點(diǎn)在一條直線上， ， 點(diǎn)的坐標(biāo)為 點(diǎn)Q在線段BD上， 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，其中 ， 由勾股定理得 解得經(jīng)檢驗(yàn)，在的范圍內(nèi) 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 7分此時 8分二、特殊角（一）、450角1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)A的坐

9、標(biāo)為（4,2），若點(diǎn)P使AOP450，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。2、二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3,0）、B（1,8）、C（0,6），直線與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P為二次函數(shù)圖象上一動點(diǎn)，若PAD450，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。3、（20092010海淀初三上期末）已知，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（2,0）、B（8,0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4）。直線y=x+m與拋物線交于點(diǎn)D、E（D在E的左側(cè)），與拋物線的對稱點(diǎn)交于點(diǎn)F。（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)m=2時，求DCF的大?。唬?）若在直線y=x+m下方的拋物線上存在點(diǎn)P，使DPF450，且滿足條件的點(diǎn)P只有兩個，則m的值為_.（第（3）問不要求寫解答過程）解：（1）依題意

10、，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-8），拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-4），-4=a（0+2）（0-8）解得a=拋物線的解析式為y=(x+2)(x-8)，即y=x2-x-4；（2）由（1）可得拋物線的對稱軸為x=3，m=2，直線的解析式為y=x+2，直線y=x+2與拋物線交于點(diǎn)D、E，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)F，F(xiàn)、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F（3，5），D（-2，0）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為M，可得CM=FM=MD=5，F(xiàn)、D、C三點(diǎn)在以M為圓心，半徑為5的圓上DCF=DMF=45°（3）由拋物線解析式可知，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為G（3，-）設(shè)F（3，3+m），則FG=m+3+，設(shè)D關(guān)

11、于對稱軸的對稱點(diǎn)為D1，當(dāng)四邊形DGD1F為正方形時，滿足題意，此時P點(diǎn)與頂點(diǎn)G重合，或者與D1重合，故DD1=FG，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x=-（FG-3）=-，縱坐標(biāo)為-（FG-3-m）=，將D點(diǎn)坐標(biāo)拋物線解析式，解得m=-（二）、900角1、如圖，拋物線，與軸交于點(diǎn)，且（I）求拋物線的解析式；（II）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由； （III）直線交軸于點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)若，的值思路點(diǎn)撥：（II）問題的關(guān)鍵是直角，已知的是AC邊，那么AC邊可能為直角邊，可能為斜邊，當(dāng)AC為斜邊的時，可知P點(diǎn)是已AC為直徑的圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，且不

12、能與A、C重合，明顯只有O點(diǎn)；當(dāng)AC為直角邊時，又有兩種情況，即A、C分別為直角頂點(diǎn)，這時候我們要知道無論是A或者C為直角頂點(diǎn)，總有一個銳角等于OCA（或RtPAC和RtOAC相似），利用這點(diǎn)就可以求出OP的長度了（III）從題目的已知條件看，除了ABC=45°外沒有知道其他角的度數(shù)，那么這兩個角要么全是特殊角（30°，45°，60°，90°），在這種情況下，他們的差才有可能不是特殊的角，很明顯，這兩個角不是特殊角，那只有一種可能（在沒有學(xué)反三角函數(shù)的前提下），就是他們的差是特殊角，再聯(lián)系到ABC=45°，可知，這兩個角的差就是45&

13、#176;，那么我們需要證明的就是ABD=CBE，再想想上一題所說的，就明白是利用相似三角形來證明了，即證明BCE是一個直角三角形且與BAD相似解：（I），且代入，得（II）當(dāng)可證 同理: 如圖當(dāng)當(dāng)綜上，坐標(biāo)軸上存在三個點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，分別是，（III） 又2、（2012房山一模24題7分）24如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax28ax16a6經(jīng)過點(diǎn)B（0，4）.求拋物線的解析式；設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，過點(diǎn)D、B作直線交x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)C在拋物線的對稱軸上，且C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4，聯(lián)結(jié)BC、AC.求證：ABC是等腰直角三角形；在的條件下，將直線DB沿y軸向

14、下平移，平移后的直線記為l ，直線l 與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，是否存在直線l，使ABC是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，請說明理由 圖 備用圖 24 解：由題意知： 解得： 拋物線的解析式為：-1分證明 ：由拋物線的解析式知:頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（4,6） 點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，且在拋物線的對稱軸上C點(diǎn)坐標(biāo)為(4，4)設(shè)直線BD解析式為： 有：，BD解析式為直線BD與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8,0）過點(diǎn)C作CE軸于點(diǎn)E，則CE=4，BE=8又OB=4，OA=8, CE=OB,BE=OA,CEB=BOA=90°CEBBOA(SAS)-2分CB=AB, 1=22+3=90°

15、;，2+3=90°1+3=90°，即ABC=90°ABC是等腰直角三角形-3分存在.當(dāng)CAB=90°時，如圖1所示， ABABOAB=BAO易證:ECA=OAB圖1ECA=BAOtanBAO=tanECA=EA=2A坐標(biāo)為(2,0)直線l解析式為-5分當(dāng)ACB=90°時，如圖2所示，圖2過點(diǎn)C作CE軸于點(diǎn)E，易證AFCBECAF=BE由tanBAO=設(shè)B坐標(biāo)為（0，n）有B坐標(biāo)為（0，）直線l解析式為-7分3、（2012石景山二模25題8分）25已知：拋物線yx22xm-2交y軸于點(diǎn)A（0，2m-7）與直線yx交于點(diǎn)B、C（B在右、C在左）（1）求拋物線的解析式； （2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為E，在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)F，使得，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；（3）射線OC上有兩個動點(diǎn)P、Q同時從原點(diǎn)出發(fā)，分別以每秒個單位長度、每秒2個單位長度的速度沿射線OC運(yùn)動，以PQ為斜邊在直線BC的上方作直角三角形PMQ（直角邊分別平行于坐標(biāo)軸），設(shè)運(yùn)動時間為t秒，若PMQ與拋物線yx22xm-2有公共點(diǎn)，求t的取值范圍解：25.解：（1）點(diǎn)A（0，2m-7）代入yx22xm-2，得m=5拋物線的解析式為yx22x3 2分（2）由得，B（），C（）B（）關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為可得直線的解析式為，由