《線性代數(shù)》題庫(kù)及答案

1、線性代數(shù)題庫(kù)及答案2.A. 6DB. 12DC. 24DD. 36D設(shè)A為n階方陣，R （A） =r<n,那么:A. A的解不可逆B.岡=0C. A中所有r階子式全不為零D. A中沒(méi)有不等于零的r階子式3.設(shè)n階方陣A與B相似，那么:P,使 P 'AP = BB.存在對(duì)角陣D,使A與B都相似于Da%2%3a2%23%1.如果D=a2a22a2,則行列式2a24a226八3的值應(yīng)他3為o31a _ _32他3偽6Q329o33aan如aa _ _32他存在可逆矩陣4.如果D =A.一、選擇題2AA2=3 則A. 62A22 A2他3B. -93Q3213A %32A22 _3色 2

2、AA23 32AA33%2%3C. -3D. -65.設(shè)矩陣人=（竹/）嘰,mvn,且 R (A)二 T,那么:B. r<nA. r<mC. A中r階子式不為零D. A的標(biāo)準(zhǔn)型為，其中E為r階單位陣。W丿6. A為n階可逆矩陣，2是A的一個(gè)特征根，則 A的伴隨矩陣4*的特征根之一是:A.刊 4 |" B. 2|A|D.2|A|"3x + 幼 + z = 07.貝! U應(yīng)為：kx-5y- z = 0如果< 4y + z = 0有非零解,oA. k =0B. k=lC. k =28.設(shè)人是n階方陣，且/?（ ）= 一2, A*是A的伴隨陣，那么:D? k =-

3、2oA. A* A0B.人(4*) = 0C. A* =|A|"' D. a(A*)<29.設(shè) A 為 mxn 矩陣，齊次線性方程組 AX=O 僅有零解的充要條件是：A. A 的列向量線性無(wú)關(guān)B. A 的列向量線性相關(guān)C. A 的行向量線性相關(guān)D. A 的行向量線性相關(guān)kx + z = Q10.如果 2x + ky+z = 0有非零解，則 k 應(yīng)為： 、kx 2y + z = 0A. k = Q B. k = 1C. k = 211. 下列命題正確的是B.若AAB則制工網(wǎng)D. A 2 -E 2 =(A+E)(A-E)A. （AB/ = A rBrC設(shè)A、B為三角形矩陣，

4、則 A+B為三角矩陣12. 矩陣 A、B 相似的充要條件是 A. A 與 B 有相同的特征值B. A 與 B 相似于同一矩陣C. A 與 B 有相同的特征向量D. 4* 形似于二、填空題1. 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式的值是 。2. 矩陣人沁”的 K 階子式共有 ；3. n階方陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是A有4. 行列式的某行 （ 列） 加上另一行 （ 列）的 k 倍，行列式的值 。1 2-2、5. 設(shè) 4= 4（3, B 為三階非零矩陣，且的 =0,貝 V 匸 。3 1 1J6. A、B為n階方陣，若存在可逆矩P,使 則稱A與B相似。0 ?- 入? ?. _ o2” ?- ?o1 23、8

5、.若矩陣 2 1 k 的 7?(A) = 2 ,則上= 0 1 1J加 1 +兀 2 +兀 3 =09若方程組兀1 +加2 +兀3 = 0僅有零解，則2應(yīng)滿足的條件是 兀 +兀？ + 加 3 - 0X 1110.等于,/的系數(shù)設(shè)多項(xiàng)式/(X)= 12兀兀則/(勸中十的系數(shù)等于11. 已知 a =3), 0 = (3, 2, 1),且 a 與 ka + /3 正交，則£=(1 212. 設(shè)A是'3階方陣，且| A|=-3,則行列式|34"|=(13.矩陣A =102,B =31-1 2一13440則AB的秩是(03丿<11(5 -11 0 0、14.設(shè) 4 =則

6、 A-'=(15若線性方程X3 + X4 = ci 3X + 'X2 = -Clxx, + x, = a.'-有解，則常量a,a7,a3,a4應(yīng)滿足條件X4 + X = Cl 416.設(shè)4階方陣AA(A,A2,A3,A4),BA(A,A2,A3,B4),其中 A, A2, A3, A4, B4 都是四元列向量，己知制=1,同=2,則行列式|4 + 2國(guó)=()DI17已知矩陣A=PQ,其中P二兀!-V. -1,2),貝U矩陣A100=(18.設(shè) A<11 2、 0 32(°0 -1J,B =<12 4 1、2 4 8 2 <3 6 2 0;，則

7、秩(AB) =(三、證明題5耳（）舟,的一切線性組合心 +切1+心 2+?*”其中XX i ,是方程組（*）的全部解 7=0 四、計(jì)算題1已知 n 階方陣 A、B,其中 A = （aAa2a”）, B =（久旳.an）, |A| =1,|B| =-3,求A + 3耳o（12_3）2.矩陣A =32-4求,2-1 0A"3.設(shè)三階方陣A = ?.的每行元素之和均為3,且 AB = 0,其中 B= 01 21-2 0ab0000ab ?00a ?4.計(jì)算n階行列式£ > =00000000bb000a（1） A能否與對(duì)角矩陣相似 ？（2）求A。235.矩陣4 =21-10

8、-121求4 "o1 a -36.已知矩陣4= -14-3的特征多項(xiàng)式有重根，問(wèn)：參數(shù)a取何值時(shí)，A能與對(duì)角矩陣相似？1-251111107.計(jì)算1010110111'2 18.矩陣4= 210求獷I -19. 設(shè)三階方陣 A 滿足 Aa =0, Aa2= 2a + a2,Aa3 -ax +3?2 -a3,其中：ocx 1,1,0,tz2 = o,l,lr,a31,0,if(1) 證明：A能與對(duì)角矩陣相似。(2) 求岀A及相似對(duì)角矩陣 Ap >廣、1求向翩1二12 > a2 -0t O£ 1 =22的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，并將其I丿Li10.設(shè)三階行列式滿

9、足|3A+2牛0, |A-E|=0, |4E_2沖=0,計(jì)算國(guó)。16、計(jì)算題-1-a若A不能與對(duì)角矩陣相似，求參數(shù)ao1'1 -1 -j -1 1 -1 -212.設(shè) 4= -a a-1 213計(jì)算n階行列式2 1 ? 113? 1D,一：11? ? n14計(jì)算題Xj + X 2 - 3X4 -求齊次線性方程%X 5 = 0 2 +2X3 - X 4=0=0 - 2X2 + 6X3 + 3X4 - 4X52x 1 + 4X2 - 2X3 + 4X4 -7X5 = 0的基礎(chǔ)解系及通15、計(jì)算n階行列-% a2a x 2D”,其中 Xj 工 a “l(fā)<i<n求矩陣X ,使得X0

10、 22=1 101 -102 11、 選擇題 線性代數(shù)作業(yè)參考答案1. D2. B3. A7. B8. B9 . A填空題4.D5. B6. C10.C11. D12. B相等23. n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量4. 不變5. t 二-36. P1AP = Bn(n-l)7. ( 1尸也2”8. k 19. 2 工 1 且兄鼻 210. 2, -25II. k 二12. % + 色 + 02 013. -9 ;14.3 :15.0 3-01 3丿16. 81;17. 2" 4 -18.2 4(2 -1 2)2 ；12 -1 2 ;三、證明題1證：由題設(shè)a是三階方陣，2.證：由 A?-3A

11、-4E = 0,即：A2-3A = 4Ei313A (A-3E )A ( -a -E)=E即A可逆，且 Aa1 =-A=4EE。3.證：由題設(shè)：AAt Aae4444所以 A + B = BB tA + BArA| = B= ( BT = Ar) A| = |fi| ? | (B + A) T |A| = -|A|2 |A +即：(I + |a|2 ) |a+b| = O 只有 |a+b|=o 證畢。4.因A/o=b,A” =0,z = 1,2,?,?r，則Aq =b，因此，久,是方程組(*)的線性無(wú)關(guān)解。=0,兩邊設(shè) + A71 + 初 2 + + 5-r'H n-r= °

12、，貝 0( A) + 入 + -r )7o + A/1 + A2 丫 2 H +<-rY n-r左乘A得，(2o + Aj H a” _r) b = 0,有2°+人A_= 0,于是幾1耳1 +幾2耳2幾” 一刀”= 0,可得線性無(wú)關(guān)。5. 顯然切0 +働+切2 +心一，刀”一r是解；另一方面，設(shè) ?/為任一7? = % + 31 + k2 + + kn-rYn-r = 1 - g + + * ”.)% + 心 771 + 切 2 + + K-a|n-r四、計(jì)算題1.解:|A+3B| =|?+3/7j,4cr2,4昂|=4"T 閩 + 30i, a?,aj = 4,1_

13、1 (a,a2,% | + 3憾,a?% |)=4n-1 (i_9) = -2n+1 o12-32.解：國(guó)=3 2- A的代數(shù)余子4=1,2-10T411 = 4, Ai2 二一8, A13 = 7, A21 = 3, 6,= 5, A32 = 5, A33 = 43解：（1）令.0i由題設(shè)AB = O,既有AA1人21 企4 3 -2、1 1 1、A'1 =占"二 A* 二Al2短2人32-8 6 -5lAl、綣人23人33 >-7 5 -4卩、=,則2 2（01,02 ），40 = 0, A/32 = 0,這表示0,民是A的屬于特征值 0的特征向量。取角 =（1,1

14、,1）r ；由題設(shè)A的每行元素之和為3,則A% = 3慶即角是A的特征值為3的特征向量，又1 2 101 1 =-1A0，故肉，02, 03線性無(wú)關(guān)。這表示 3階方陣有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量-2 0 1所以A能與對(duì)角矩陣相似。 0 0、由（1）令 P = （0,02，03），P 可逆，且 PlAP= 0 0 00 0 3 丿°0 p1 =3丿10<-2lYo0 （-10 23、-36-6<-1212124.解：D = a"+（ 1）"+/"（按第一列展開(kāi)）2235.解：|A|=1-10=-1-121求伴隨矩陣A* A的代數(shù)余子式：A】=1,A

15、2 = 1,A3 = 1, A 21 = 4, A22 = 5, A23 = 6, A31 = 3, A 32 = 3, A 33 = 4-4 _3、-5 -364 ,6.解：計(jì)算A的特征多項(xiàng)式0 -17.解：°0 -1-10-11 101=-41A 1 a 3/(A) = AE - A| =12-43=(2-2)(A 2 -82+ 10 +a)-122-5由題設(shè)/(刃=0有重根，故分兩種情況：(1) 2 = 2 是重根，則 g(2) = 22-82 + 10+tz 含有(2-2)因子，g(2) = 0/(2) = (2-2) 2(2-6)得 a=2,此時(shí)可得岀R(2E-A) = 1

16、,所以屬于(2-2)的特征向量的重?cái)?shù)3-1=2,加之特征根2 = 6的特征向量，A有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故此時(shí)A能與對(duì)角矩陣相似。2 = 2不是重根，則才一82 + 10+a是完全平方項(xiàng)，由此得a=6,此時(shí)/(刃=(2-2)(2-4尸 即對(duì)應(yīng)2 = 4的無(wú)關(guān)向量個(gè)數(shù)為 3-2=1,故此時(shí)，A不能與對(duì)角矩陣相似。11100 111-10 =3,求A的伴隨矩陣"的元素。-1兩邊同時(shí)左乘P"有2 =2PiAP = B即A? B。而相似矩陣有相同的特征A -2從而 AE-A =AE-B =9. (1)證：令 P = (6Zj,6Z,6Z0 2-1A33 1-32 +An1人32

17、人22人23人33丿=2(2-1)(2 + !)f 13_ 2_ 3-1丄32_30AP-(O2?, +a 0 21)(Q 2 -1、0 1 Z 3記豪0 13,0 0 -1110 2 -1,既有AP = PB 而P可逆7?Z| + 3c(-,)-11-2121-2-100對(duì)角陣人(2) A =,pBP'2_E| = 0,10.由已知得：A + E = 0, = 0,可以看岀三階方陣 A的三個(gè)特征值為:=-,22 =1,23 =2,故A與對(duì)角矩陣相似，且A| = 22223 = c11.解：令A(yù) = (a 1砂心砂)可求岀R(A) = 3可知最大線性無(wú)關(guān)組的向量個(gè)數(shù)為3,因0,&

18、;2 ,劃工0所以?,? 2,? 3即為一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。'8-2TT7274'4、1正交化：取0=V(4/03'02?02-2921 2X 1_141432 7廠2B =a “3 0i. B A 302-01, 02, 03兩量正交？12.解：A的特征多項(xiàng)式為：2-12fw = aA-aa = 2(2-2)(2-a)1-2 2-1所以A的特征值為：入=0,人=2,希 =a(1)當(dāng)a 乂 0且a工2時(shí)，與題設(shè)矛盾11、89丿-1當(dāng)a =0 時(shí) OE-A =0 、Or3 +RlV101 -2n00丿2 = 2的特征向量，則 A可與對(duì)角陣相似，與題設(shè)矛盾。(3)當(dāng)a = 2時(shí)，R(2E-A) = 2則屬于二重根 2 = 2的線性無(wú)關(guān)特征向量，個(gè)數(shù)為3-2=1故此時(shí)A不能與對(duì)角矩陣相似，符合題意，即a = 2.(X16、兀d |a2"A2 d 2?.* ? 0aa?-ax - Xx0?+ (XI -)T1aX,.-?,)(、總a:X+ (X1 aj5?a”i=2兀一a,0X2 a2 ? 000 .? x ”一 a”13nl(2 + - + -+ ?