中考數(shù)學(xué)提升講義-共頂點旋轉(zhuǎn)模型及其延伸

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上中考數(shù)學(xué)共頂點旋轉(zhuǎn)模型一、題源分析（人教版八年級上冊第55頁）如圖， ,求證 （人教版九年級上冊第63頁）如圖，都是等邊三角形，BE與DC有什么關(guān)系？你能用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明上述關(guān)系成立的理由嗎？二、共頂點旋轉(zhuǎn)模型簡要概述共頂點模型，是指兩個等腰或者等邊三角形的頂點重合，兩個三角形的兩條腰分別構(gòu)成的兩個三角形全等或者相似。例如上題中的三角形ADC和三角形ABE。尋找共頂點旋轉(zhuǎn)模型的步驟如下：（1）尋找公共的頂點（2）列出兩組相等的邊或者對應(yīng)成比例的邊（3）將兩組相等的邊分別分散到兩個三角形中去，證明全等或相似即可。典例分析1：（2014年河南）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，ACB

2、和DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE填空：（1）AEB的度數(shù)為 ； （2）線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是 。（2）拓展探究如圖2，ACB和DCE均為等腰三角形，ACB=DCE=900, 點A、D、E在同一直線上，CM為DCE中DE邊上的高，連接BE。請判斷AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。思路點撥：（1）第一問，考慮到兩個等邊三角形有一個公共頂點C，在點C處可以找到兩組相等的邊，列出來即可表示為：，觀察邊的形式，就可以得到全等的兩個三角形是：.（2）類比第一問，可以得到，故而全等的三角形為，之后再做計算即可。典例分析2：（2015年安徽）如圖1

3、，在四邊形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，過點E作AB的垂線，過點F作CD的垂線，兩垂線交于點G，連接AG、BG、CG、DG，且AGDBGC（1）求證：ADBC；（2）求證：AGDEGF；（3）如圖2，若AD、BC所在直線互相垂直，求的值思路點撥：（1）第一問，結(jié)合共頂點旋轉(zhuǎn)全等模型即可（2）類比第一問，全等模型的延伸，相似模型。根據(jù)，類比全等證明相似。（3）結(jié)合前兩問的相似即可得到即為相似比，亦即求解的值即可。典例分析3：（2011年廣州中考）如圖1，O中AB是直徑，C是O上一點，ABC=45，等腰直角三角形DCE中DCE是直角，點D在線段AC上（1）證明：B、C、E三點共線；（

4、2）若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：。思路點撥：（1）第一問，共頂點旋轉(zhuǎn)模型（2）根據(jù)第一問的全等證明即可構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型求解。三、共頂點旋轉(zhuǎn)模型的應(yīng)用1半角模型：所謂半角模型，是指在從角的頂點向角內(nèi)部引出兩條直線，這兩條直線形成的夾角恰好等于原角的一半大小。典例分析1：（2014年四川綿陽）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，EAF=45，ECF的周長為4，則正方形ABCD的邊長為 思路點撥：將三角形ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90即可。典例分析2：（2016南崗區(qū)模擬）已知ABC是等邊三角形，點D在ABC外，連接BD、CD，且BDC=120，BD=DC，點M，N

5、分別在邊AB，AC上，連接DM、DN、MN，MDN=60，探究：AMN的周長Q與等邊ABC的周長L的關(guān)系（1）如圖1，當DM=DN時，=；（2）如圖2，當DMDN時，猜想=；并加以證明思路點撥：典型的半角模型，將三角形DCN繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120即可?？偨Y(jié)：（1）半角模型的基本形式：大角包小角，小角得一半（2）半角模型的解題方法：將被兩條直線分開的兩個角中任意一個旋轉(zhuǎn)全角大小即可。延伸例題：（2016春黃島區(qū)期中）問題：如圖（1），點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，EAF=45，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90至ADG，從而發(fā)現(xiàn)EF=

6、BE+FD，請你利用圖（1）證明上述結(jié)論【類比引申】如圖（2），四邊形ABCD中，BAD90，AB=AD，B+D=180，點E、F分別在邊BC、CD上，則當EAF與BAD滿足關(guān)系時，仍有EF=BE+FD【探究應(yīng)用】如圖（3），在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD已知AB=AD=80米，B=60，ADC=120，BAD=150，道路BC、CD上分別有景點E、F，且AEAD，DF=（4040）米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長為米2K字模型：所謂K字模型，與半角模型類似，實則是指構(gòu)成的圖形類似于“K”字。題源：人教版課本新課標八年級下冊第30頁，勾股定理的證明。典

7、例分析1：（2014年四川南充）如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標系中，O是原點，A的坐標為（1，），則點C的坐標為（）A（，1）B（1，）C（，1）D（，1）思路點撥：過點C作x軸的垂線即可。典例分析2：（2015山東省德州市）（1）問題：如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，DPC=A=B=90.求證：ADBC=APBP.（2）探究：如圖2，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當DPC=A=B=時，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由.（3）應(yīng)用請利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗解決問題：如圖3，在ABD中，AB=6，AD=BD=5.點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出發(fā)，沿邊AB向點B運動，且滿足DPC=A.設(shè)點P的運動時間為t（秒），當以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，求t的值.總結(jié)：K字形模型解題基本思路是：利用角的和相等的原理，證明K的兩邊的三角形相似或全等。在不相似或者全等時，構(gòu)造三角形使兩個三角形全等相似。例如：（2016洛陽模擬）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】小明遇到這樣一個問題：如圖1，ABC是等邊三角形，點D為BC的中點，且滿足ADE=60，DE交等邊三角形外角平分線CE所在直線于點E，試探究AD與DE的數(shù)量關(guān)系小明發(fā)現(xiàn)，過點D作DFAC，交AC于點F，通過構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理論證，能夠使問題得到解決，請直接寫出AD與DE的數(shù)量關(guān)系：；（2）【類比