微分法在幾何上的應(yīng)用

1、第六節(jié) 微分法在幾何上的應(yīng)用要求：會(huì)求空間曲線的切線及法平面方程，會(huì)求空間曲面的且平面及法線方程。重點(diǎn)：空間曲線的切線及法平面方程，曲面切平面及法線方程的求法。難點(diǎn)：空間曲線的方程組形式給出的情況，求其切線及法平面方程。作業(yè)：習(xí)題86（）一空間曲線的切線與法平面1空間曲線由參數(shù)方程給出設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為，且三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo) 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)曲線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)曲線上的點(diǎn)，曲線的割線的方程為 當(dāng)沿曲線趨于時(shí)，割線的極限位置就是曲線在點(diǎn)處的切線，其切線方程如何？ 令(這時(shí))，上式取極限，即得曲線在點(diǎn)處切線方程為 說(shuō)明（1）不能同時(shí)為零，如果個(gè)別為零，按空間解析幾何中有關(guān)直線對(duì)稱式方程的說(shuō)明理解；（2

2、）切線的方向向量稱曲線切向量切向量的方向余弦為 ， 曲線的法平面通過(guò)點(diǎn)而與切線垂直的平面稱為曲線在點(diǎn)處的法平面，方程為例1求螺旋線，對(duì)應(yīng)于處的切線和法平面方程解 曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)，即 ，切向量，因此切線方程為 ，法平面方程為 切向量的方向余弦為 可見曲線的切線與軸的夾角(母線的夾角)為定值2空間曲線的方程由，給出取為參數(shù)，它就可表示為參數(shù)方程的形式， 若在處可導(dǎo)，曲線在點(diǎn)處的切向量 ，切線方程 法平面方程 例2求曲線，在點(diǎn)處的切線及法平面方程解 因?yàn)?， ，所以切向量 ，切線方程 ，法平面方程 3空間曲線的方程由給出設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，又設(shè)對(duì)各變量的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且，此時(shí)方程組在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)唯一確

3、定一組函數(shù)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程及法平面方程只要求出，得切向量，為此方程， 兩邊對(duì)求全導(dǎo)數(shù)得 因?yàn)樗钥山獾?， ，于是切向量 例3求曲線在點(diǎn)處的切線及法平面方程 解 下面我們依照推導(dǎo)公式的方法來(lái)解，將所給方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得 解方程組，得 ，于是 ，從而 因此，所求切線方程 ，即法平面方程為 ， 即 練習(xí)：求曲線在對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的切線及法平面方程二曲面的切平面與法線1曲面方程由隱式方程給出設(shè)曲面方程為，點(diǎn)為曲面上的一點(diǎn)，又設(shè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零討論曲面在點(diǎn)處的切平面，那么曲面在點(diǎn)處切平面指什么？為此首先考慮這樣一個(gè)事實(shí)：在曲面上過(guò)點(diǎn)的任何曲線在的切線位于同一平面上，下面證明這個(gè)事實(shí)

4、在曲面上過(guò)點(diǎn)任意引一條曲線，其參數(shù)方程為，且不全為零，由于曲線位于曲面上，滿足，又因?yàn)樵邳c(diǎn)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且存在，上式的復(fù)合函數(shù)在的全導(dǎo)數(shù)存在，于是即 引入向量.上式表明，曲線在點(diǎn)處的切線向量與一個(gè)確定向量垂直因?yàn)榍€是曲面上過(guò)點(diǎn)的任一條曲線，它們?cè)诘那芯€都與同一個(gè)向量垂直，所以曲面上過(guò)點(diǎn)的一切曲線在點(diǎn)的切線都在同一個(gè)平面上，這個(gè)平面稱為曲面在點(diǎn)的切平面，切平面方程為，曲面在點(diǎn)的切平面的法向量簡(jiǎn)稱為曲面的法向量過(guò)點(diǎn)且垂直于切平面的直線稱為曲面在點(diǎn)的法線，其方程為 例4求曲面在點(diǎn)處的切平面方程及法線方程 解 令，則 ，即有，在點(diǎn)處切平面方程為 ， 即 法線方程為 ，即2曲面方程由顯式方程給出求曲

5、面在點(diǎn)處切平面及法線方程令，可見，則曲面在點(diǎn)處法向量為，于是切平面方程為 ，法線方程為 說(shuō)明 （1）函數(shù)在點(diǎn)的全微分為，因此切平面方程表示全微分的幾何意義，即曲面在點(diǎn)處切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量（正象一元函數(shù)表切線的縱坐標(biāo)增量） i ，（2）若曲面的切平面的法向量的方向角為，并假定向量的方向是向上的(即使得它與軸的正向所成的角是銳角)，則法向量的方向余弦如何求？ 若曲面方程為，則 ，若曲面方程為，則 ，增量例5.求旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)處的切平面及法線方程解 因?yàn)?，所?，即有 ，于是過(guò)點(diǎn)的切平面方程為 ， 即法線方程為 例6.求橢球面上平行于平面的切平面方程解 因?yàn)榍衅矫娴姆ㄏ蛄繛椋矫娣ㄏ蛄繛?又因?yàn)?，所以，將代入方程中，?從中解出于是， 所求點(diǎn)為 及，切平面方程為 ，或 ，即 .例7.設(shè)曲面方程，求曲面上任一點(diǎn)處切平面方程，并證明曲面的所有切平面與坐標(biāo)面形成的四面體的體積為定值. 解 設(shè)，則，所以在點(diǎn)的切平面方程為 即 將其化為截距式 截距