二重積分的計算(習題課)（課堂PPT）

1、二重積分的計算二重積分的計算習題課習題課 二重積分的計算方法是累次積分法，化二重二重積分的計算方法是累次積分法，化二重積分為累次積分的步驟是：積分為累次積分的步驟是：作出積分區(qū)域的草圖作出積分區(qū)域的草圖選擇適當的坐標系選擇適當的坐標系選定積分次序，定出積分限選定積分次序，定出積分限1. 關于坐標系的選擇關于坐標系的選擇 這要從積分區(qū)域的形狀和被積函數的特點這要從積分區(qū)域的形狀和被積函數的特點兩個方面來考慮兩個方面來考慮一、主要內容一、主要內容被積函數呈被積函數呈 )(),(22xyfyxf 常用極坐標常用極坐標其它以直角坐標為宜其它以直角坐標為宜2. 關于積分次序的選擇關于積分次序的選擇選序原

2、則選序原則能積分，能積分，少分片，少分片，計算簡計算簡3. 關于積分限的確定關于積分限的確定二重積分的面積元二重積分的面積元 )( rdrdddxdyd 為正為正確定積分限時一定要保證下限小于上限確定積分限時一定要保證下限小于上限積分區(qū)域為積分區(qū)域為圓形、扇形、圓環(huán)形圓形、扇形、圓環(huán)形看圖定限看圖定限 穿越法定限穿越法定限 和和不等式定限不等式定限先選序，后定限先選序，后定限直角坐標系直角坐標系.先先 y 后后 x ，過任一過任一x a , b ,作平行于作平行于 y 軸的直線軸的直線穿過穿過D的內部的內部從從D的下邊界曲線的下邊界曲線)(1xy 穿入穿入 內層積分的下限內層積分的下限從上邊界

3、曲線從上邊界曲線)(2xy 穿出穿出內層積分的上限內層積分的上限.先先 x 后后 y過任一過任一 y c , d 作平行于作平行于 x 軸的直線軸的直線定限定限左邊界左邊界 )(1yx 內層積分的下限內層積分的下限右邊界右邊界 )(2yx 內層積分的上限內層積分的上限則將則將D分成若干個簡單區(qū)域分成若干個簡單區(qū)域再按上述方法確定每一部分的上下限再按上述方法確定每一部分的上下限分片計算，結果相加分片計算，結果相加極坐標系極坐標系積分次序一般是積分次序一般是 后先r過極點過極點O作任一極角為作任一極角為 ),( 的射線的射線從從D的邊界曲線的邊界曲線 )(1 r穿入穿入,從從 )(2 r穿出穿出.

4、如如D須分片須分片)(1 r內下限內下限)(2 r內上限內上限具體可分為三種情況具體可分為三種情況)()(,21 rrr 極點在極點在D的邊界上的邊界上)()(,21 rrr 是邊界在極點處的切線的極角是邊界在極點處的切線的極角 ,)(1 r絕大多數情況下為絕大多數情況下為0極點在極點在D的內部的內部)(0 ,20 rr 化累次積分后化累次積分后外限是常數外限是常數內限是外層積分變量的函數或常數內限是外層積分變量的函數或常數極坐標系下勿忘極坐標系下勿忘 r極點在極點在D的外部的外部4. 關于對稱性關于對稱性 利用對稱性來簡化重積分的計算是十分有效的，利用對稱性來簡化重積分的計算是十分有效的，它

5、與利用奇偶性來簡化定積分的計算是一樣的，不它與利用奇偶性來簡化定積分的計算是一樣的，不過重積分的情況比較復雜，在運用對稱性是過重積分的情況比較復雜，在運用對稱性是要兼顧要兼顧被積分函數和積分區(qū)域兩個方面，被積分函數和積分區(qū)域兩個方面，不可誤用不可誤用對對 DdxdyyxfI),(若若D關于關于 x 軸對稱軸對稱時時當當),(),() 1 (yxfyxf 0 I時時當當),(),() 2(yxfyxf 2),(2DdxdyyxfI 0,),(2 yDyxD若若D關于關于 y 軸對稱軸對稱時時當當),(),() 1 (yxfyxf 0 I時時當當),(),()2(yxfyxf 1),(2Ddxdy

6、yxfI 0,),( ),(1 xDyxyxD若若D關于關于原點原點對稱對稱時時當當),(),() 1(yxfyxf 0 I時時當當),(),() 2(yxfyxf 3),(2DdxdyyxfI 0, 0,),(3 yxDyxD 奇函數關于對稱域的積分等于奇函數關于對稱域的積分等于0 0，偶函，偶函數關于對稱域的積分等于對稱的部分區(qū)域數關于對稱域的積分等于對稱的部分區(qū)域上積分的兩倍，完全類似于對稱區(qū)間上奇上積分的兩倍，完全類似于對稱區(qū)間上奇偶函數的定積分的性質偶函數的定積分的性質. .對于變量對于變量x,yx,y來說，可以簡述為來說，可以簡述為 “你你對稱，我對稱，我奇偶奇偶”、簡單地說就是：

7、簡單地說就是： 1. 設積分區(qū)域設積分區(qū)域 D 關于關于 x 軸對稱，軸對稱，D1 是是 D 中對應于中對應于 y 0 的部分。的部分。(1) ( , ) f x yy若被積函數關于是偶函數，即( ,)( , ).f xyf x y1 ( , ) 2( , ) .DDf x y df x y d則(2) ( , ) f x yy若被積函數關于是奇函數，即( ,)( , ).f xyf x y ( , ) 0.Df x y d則對稱性的證明則則證證（1）積分區(qū)域如圖：）積分區(qū)域如圖： ).()(,:21xyyxybxaD由積分區(qū)域由積分區(qū)域 D 關于關于 x 軸對稱性軸對稱性).()(21xyx

8、y oxyab)(1xyy )(2xyy 1D21( )( )( , ) ( , ) byxayxDf x y ddxf x y dy22( )( ) ( , )byxayxf x y dydx222( )( )( )0 ( , ) 2( , ) yxyxyxfyf x y dyf x y dy關于是偶函數于是于是 dyxfD ),( 22( )( ) ( , )byxayxf x y dydx2( )02 ( , )byxaf x y dydx dyxfD ),(2 1 （2）積分區(qū)域如圖：）積分區(qū)域如圖： ).()(,:21xyyxybxaD由積分區(qū)域由積分區(qū)域 D 關于關于 x 軸對稱性

9、軸對稱性).()(21xyxy 21( )( ) ( , ) ( , )byxayxDf x y ddxf x y dyoxyab)(1xyy )(2xyy 1D22( )( ) ( , )byxayxf x y dydx22( )( ) ( , ) 0 yxyxfyf x y dy關于是奇函數于是于是 dyxfD ),( 22( )( ) ( , )byxayxf x y dydx2 00badx二、例題分析二、例題分析例例. 交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo2

10、1D221xy 222280:22xxyD21DDD將:D視為Y型區(qū)域 , 則282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy解解axy2 22xaxy 22yaax 原式原式= ayaaaydxyxfdy02222),( aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdya2aa2a例例 計算計算 DxyyxyDdxdyxy1, 2,:,22解解D 211yyxyY型型I = 21122yydxxydy 若先若先 y 后后 x 由于由于D的下邊界曲線在的下邊界曲線在 x 的不同范的不同范圍內有不同的表達式，圍內有不同的表達式， 須分

11、片積分，計算較麻煩。須分片積分，計算較麻煩。 213249)(dyyyy212121解解 dxexy不能用初等函數表示不能用初等函數表示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI22112xy xy 121)(dxeexx.2183ee 例例 計算計算 DxyxyDdxdyxxy2,:,1) 1sin(2解解根據積分區(qū)域的特點根據積分區(qū)域的特點14-12應先對應先對 x 后對后對 y 積分積分dxxxydyIyy 21221) 1sin(但由于但由于 1) 1sin( xx對對 x 的積分求不出，無法計算，的積分求不出，無法計算，須改變積分次序。須改變積分次序。先先 x 后后

12、 y 有有dyxxydxxx 4121) 1sin(dxxxxx1)1sin()2(210241 dxxxxx 4121)1sin()45(21 41)1sin()4(21dxxx)3sin3(21 dyxxydxIxx 101) 1sin(奇函數奇函數解解03 xy32 yyx422 sin4 r03 yx61 yyx222 sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 例例 計算計算 Ddyx )(222242:xyxxD 解解積分區(qū)域由不等式給出積分區(qū)域由不等式給出在不等式中取等號所得的曲線是兩個半圓在不等式中取等號所得的曲線是兩個半圓但它們圍不成區(qū)

13、域但它們圍不成區(qū)域224,2xxx 要要使使都有意義都有意義必須限制必須限制 2 , 0 x因此因此D只能在只能在x=0 ， x=2 之間之間確定了積分區(qū)域后，再看被積函數結合積分區(qū)域的確定了積分區(qū)域后，再看被積函數結合積分區(qū)域的特點，化成極坐標計算較為簡單特點，化成極坐標計算較為簡單20 顯然顯然 r 呢？呢？極點在極點在D的邊界上，所以的邊界上，所以20 r 那就錯了那就錯了不能以為極點不能以為極點O在區(qū)域的邊界上在區(qū)域的邊界上就誤以為對就誤以為對 r 積分的下限為積分的下限為0定定 r 的積分限，應先固定的積分限，應先固定2, 0 以原點為起點作射線以原點為起點作射線這射線和兩個半圓相交

14、這射線和兩個半圓相交 cos2 r穿入穿入;從從從從2 r穿出穿出.積分限如何確定積分限如何確定盡管極點在盡管極點在D的邊界上的邊界上但極角為但極角為 )2, 0( 的射線并不是從極點穿入的射線并不是從極點穿入2cos2 ,20 r 而不是而不是20 ,20 r 202cos22rdrrdI45)221432(4204)cos1616(41d域域D的極坐標表示為的極坐標表示為 Ddxdyyx)cos(2020: yxD解解例例 計算計算2 yxD1D2 12)cos()cos(DDdxdyyxdxdyyxI 2020)cos( xdyyxdx 2022)cos( xdyyxdx 20202si

15、ncossin2sin dxxdxx2 Ddxdyyx 2)sin( yxD0 ,0:三、對稱性的應用例舉例例. . (1)22:1.cos0.DD xyxyd則 222(2) , : 4 .Dxy dDxyy及軸圍成的右半閉區(qū)域xyo22224xy1D解解D 區(qū)域關于區(qū)域關于 x 軸對稱，且軸對稱，且2 ( , ).f x yxy設( ,)( , ),f xyf x y1222DDxy dxy d而而2104,:02.xyDy1222DDxy dxy d而而2104,:02.xyDy1222DDxy dxy d因此，因此，64.152242002ydyxy dx2220(4)yydy(3)

16、, : 1.x yDedDxy解：能否用對稱性？解：能否用對稱性？x yDed12x yx yDDeded01111101xxxyxyxxdxe e dydxe e dy 012112110()()xxeedxeedx1.eexyo111 1 xy 11 xyxy 11 xy2D1Do（4） 計算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(2

17、24(5) 計算計算 Ddyxyfx )(1 221, 1,:3 xyxyDD2D1解解 DDdyxxyfxdI )(22 Ddyxxyf0)(22 DDxdxd1 52 I 0133xxdyxdx52 Ddyxx )232(2222:ayxD 解解D關于關于 x , y 軸及原點對稱軸及原點對稱故故 Ddyx0)32( Ddyx )(2122 DDdydx 22 20043421aadrrd Dad222 故故 Ddyxx ) 232(22424aa （6） 計算計算1)(81)(2)()(),(1, 0,),(),(,),(. 12xyDxyCxyBxyAyxfxxyyDdudvvufxy

18、yxfyxfD等于所圍區(qū)域，則是由其中且連續(xù)設習題解析習題解析0)()sincos(4)(2)(sincos2)()sincos() 1, 1() 1 , 1(),1 , 1 (. 21111DdxdyyxxyCxydxdyBydxdyxAdxdyyxxyDDxOyDDDDD在第一象限的部分，則是為頂點的三角形區(qū)域，和平面上以是設3.arctandDyx圍成的第一象限的區(qū)域0, 4122yxyyx2222sin4.dDxyxy4122yx5.交換積分次序:2202022002),(),(xxdyyxfdxdyyxfdx1)(81)(2)()(),(1, 0,),(),(,),(. 12xyDxyCxyBxyAyxfxxyyDdudvvufxyyxfyxfD等于所圍區(qū)域，則是由其中且連續(xù)設習題解答習