阻尼振動和受迫振動（課堂PPT）

1、11.5 簡諧振動的能量簡諧振動的能量2 諧振子的阻尼振諧振子的阻尼振動動 無阻尼的自由振動無阻尼的自由振動 諧振子的阻尼振動諧振子的阻尼振動3 諧振子的受迫振動諧振子的受迫振動 共振共振 諧振子的受迫振動諧振子的受迫振動 共振共振 4 簡諧振動的合成簡諧振動的合成4.2 同方向、不同頻率的簡諧振動的合成同方向、不同頻率的簡諧振動的合成4.3 垂直方向、同頻率簡諧振動的合成垂直方向、同頻率簡諧振動的合成4.4 垂直方向、不同頻率簡諧振動的合成垂直方向、不同頻率簡諧振動的合成4.1 同方向、同頻率的簡諧振動的合成同方向、同頻率的簡諧振動的合成3/jpkc/ind

2、ex.aspx2)(sin21210022022 tmAmVEk 簡諧振動的勢能：簡諧振動的勢能： );(cos212100222tkAkxEp1.5 簡諧振動的能量簡諧振動的能量以水平的彈簧振子為例以水平的彈簧振子為例)(sin210022tkAkmoxX 簡諧振動的動能：簡諧振動的動能：)cos()(00tAtxmk /0dxdEkxfp彈性力32002002221)(cos)(sin21kAttkApkEEE 簡諧振動的總能量簡諧振動的總能量：彈性力是保守力總機(jī)械能守恒，彈性力是保守力總機(jī)械能守恒，即總能量不隨時間變化。即總能量不隨時間變化。AkEpE221kAEAo4222020041

3、cos2kAdxxTkA求出勢能的時間平均值求出勢能的時間平均值:TPdttkATE00022)(cos211求出動能的時間平均值求出動能的時間平均值:TkdttkATE00022)(sin211222020041sin2kAdxxTkA5222020041cos2kAdxxTkA 求出勢能的時間平均值求出勢能的時間平均值:* * 振幅不僅給出簡諧振動運(yùn)動的范圍，而且還振幅不僅給出簡諧振動運(yùn)動的范圍，而且還 反映了振動系統(tǒng)總能量的大小及振動的強(qiáng)度。反映了振動系統(tǒng)總能量的大小及振動的強(qiáng)度。TpdttkATE00022)(cos211* * 任一簡諧振動總能量與振幅的平方成正比任一簡諧振動總能量與

4、振幅的平方成正比* * 即彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且即彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且 等于總機(jī)械能的一半等于總機(jī)械能的一半 結(jié)論：61 1.6 6 相圖相圖坐標(biāo)和速度組成的坐標(biāo)系，稱為相空間。坐標(biāo)和速度組成的坐標(biāo)系，稱為相空間。在相空間中，用每一點(diǎn)表示運(yùn)動狀態(tài)，可得出相圖。在相空間中，用每一點(diǎn)表示運(yùn)動狀態(tài)，可得出相圖。)(sin2121002222 tAkmVEk);(cos212100222 tkAkxEp222212121kAkxmVE 12222 bxaV簡諧振動在相空間中的軌跡為橢圓。簡諧振動在相空間中的軌跡為橢圓。xVo72 諧振子的阻尼振動諧振子的阻尼振動KmT 2

5、202-2 諧振子的阻尼振動諧振子的阻尼振動2-1 無阻尼的自由振動無阻尼的自由振動實(shí)際振動過程存在著阻力，這種由彈性恢復(fù)力和實(shí)際振動過程存在著阻力，這種由彈性恢復(fù)力和阻力共同作用的振動叫阻尼振動振動系統(tǒng)受介質(zhì)阻力共同作用的振動叫阻尼振動振動系統(tǒng)受介質(zhì)的粘滯阻力與速度大小成正比，與其方向相反。的粘滯阻力與速度大小成正比，與其方向相反。當(dāng)物體低速運(yùn)動時，阻力當(dāng)物體低速運(yùn)動時，阻力cvf 當(dāng)物體高速運(yùn)動時，阻力當(dāng)物體高速運(yùn)動時，阻力2cvf 子彈運(yùn)動、衛(wèi)星發(fā)射過程，受到的阻力與速度平方正子彈運(yùn)動、衛(wèi)星發(fā)射過程，受到的阻力與速度平方正比反向。由于振動系統(tǒng)要不斷克服阻力作功，所以要比反向。由于振動系統(tǒng)

6、要不斷克服阻力作功，所以要逐漸損耗振動的能量使振幅逐漸變小直至振動停止。逐漸損耗振動的能量使振幅逐漸變小直至振動停止。8以彈簧一維振動為例以彈簧一維振動為例xkxxm 彈性力或準(zhǔn)彈性力和上述阻力作用下的動力學(xué)方程：彈性力或準(zhǔn)彈性力和上述阻力作用下的動力學(xué)方程：dtdxvfr xof fF F,彈x xv vrfFF 彈彈ma 阻尼振動微分方程阻尼振動微分方程m2 ;20mk xkxxm 令：令：稱稱 為振動系統(tǒng)的固有角頻率，稱為振動系統(tǒng)的固有角頻率，稱 為阻尼系數(shù)為阻尼系數(shù)09022022 xdtdxdtxd（1）阻尼較小時阻尼較小時，202 )cos()(0 tAetxt為二階常系數(shù)齊次微分

7、方程。為二階常系數(shù)齊次微分方程。通解通解ttececx)(2)(1202202 為虛數(shù)，令為虛數(shù)，令220 )(21tititececex 10)cos( tAext振幅項(xiàng)振幅項(xiàng)tAe 隨時間周期性衰減。隨時間周期性衰減。txotAe周期因子周期因子)cos( t振動周期振動周期 2T2202 T無阻尼時無阻尼時002 T0TT有阻尼時，周期慢長。有阻尼時，周期慢長。220 這種情況稱為欠阻尼這種情況稱為欠阻尼阻力使周期增大阻力使周期增大11由初始條件決定由初始條件決定A和初相位和初相位 ,設(shè)設(shè)0000,)0(,0Vdtdxxxtt 即有即有： 00000cossincos AAVAx,)(2

8、20020 xVxA0000 xxVtg t欠阻尼欠阻尼)(tx12tteCeCtx)(2)(1202202)( 202（2）阻尼較大時阻尼較大時， 方程的解：21CC ，其中其中 是積分是積分常數(shù)，由初始條件常數(shù)，由初始條件來決定，這種情況來決定，這種情況稱為過阻尼。稱為過阻尼。t過阻尼過阻尼)(tx無振動發(fā)生。無振動發(fā)生。兩項(xiàng)都衰減，不是周期振動。兩項(xiàng)都衰減，不是周期振動。13t臨界阻尼臨界阻尼)(tx202稱之為臨界阻尼情況。它是振動系統(tǒng)稱之為臨界阻尼情況。它是振動系統(tǒng)剛剛不能作準(zhǔn)周期振動，而很快回到剛剛不能作準(zhǔn)周期振動，而很快回到平衡位置的情況，應(yīng)用在天平調(diào)衡中。平衡位置的情況，應(yīng)用在

9、天平調(diào)衡中。21,CC是由初始條件是由初始條件決定的積分常數(shù)決定的積分常數(shù)。tetCCtx)()(21（3）如果如果 方程的解：方程的解：202220是從有周期性因子是從有周期性因子 到無周期性的臨界點(diǎn)。到無周期性的臨界點(diǎn)。14otx過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼欠阻尼欠阻尼15mHhmmk；令2;203-1 諧振子的受迫振動諧振子的受迫振動3 3 諧振子的受迫振動諧振子的受迫振動 共振共振設(shè)強(qiáng)迫力設(shè)強(qiáng)迫力ptHfcosxvfr阻尼力：阻尼力：pthxdtdxdtxdcos22022是典型的常系數(shù)、二階、線性、非齊次微分方程。是典型的常系數(shù)、二階、線性、非齊次微分方程。由微分方程理論由微分方程理

10、論：非齊次微分方程的通解非齊次微分方程的通解= =齊次微分方程的解齊次微分方程的解+ +非齊次的一個特解。非齊次的一個特解。在阻尼振動中，要維持振動，外界需加一個周期的強(qiáng)在阻尼振動中，要維持振動，外界需加一個周期的強(qiáng)迫力迫力-策動力。這種在周期性處力作用下進(jìn)行的振策動力。這種在周期性處力作用下進(jìn)行的振動叫受迫振動。動叫受迫振動。16202，則其通解為：，則其通解為：)cos()cos()(00220ptAtAetxpt受迫振動可以看成是兩個振動合成的。受迫振動可以看成是兩個振動合成的。第一項(xiàng)為阻尼振動項(xiàng)，當(dāng)時間較長時衰減為第一項(xiàng)為阻尼振動項(xiàng)，當(dāng)時間較長時衰減為0。第二項(xiàng)為策動力產(chǎn)生的周期振動。

11、第二項(xiàng)為策動力產(chǎn)生的周期振動。開始時運(yùn)動比較復(fù)雜，當(dāng)?shù)谝豁?xiàng)衰減為開始時運(yùn)動比較復(fù)雜，當(dāng)?shù)谝豁?xiàng)衰減為 0 后，后， 只作只作受迫振動，振動頻率為策動力的頻率。受迫振動，振動頻率為策動力的頻率。17n經(jīng)過足夠長的時間，稱為定態(tài)解：經(jīng)過足夠長的時間，稱為定態(tài)解：)cos()(0ptAtxp該等幅振動的角頻率就是強(qiáng)迫力的頻率；該等幅振動的角頻率就是強(qiáng)迫力的頻率；穩(wěn)定態(tài)時的振幅及與強(qiáng)迫力的相位差分別為：穩(wěn)定態(tài)時的振幅及與強(qiáng)迫力的相位差分別為：2222204)(pphAp22002pparctg18 在受迫振動中，振子因外力對它作功而獲得能量，在受迫振動中，振子因外力對它作功而獲得能量，同時又因有阻尼而損

12、耗能量。受迫振動開始時，前同時又因有阻尼而損耗能量。受迫振動開始時，前者大于后者，從而振動逐漸加強(qiáng)，隨著振動加強(qiáng)，者大于后者，從而振動逐漸加強(qiáng)，隨著振動加強(qiáng)，損耗能量增多，直到獲得能量恰好補(bǔ)償損耗的能量損耗能量增多，直到獲得能量恰好補(bǔ)償損耗的能量時，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。時，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。強(qiáng)調(diào)：無阻尼的線性振子的振動與受迫穩(wěn)態(tài)振動，強(qiáng)調(diào)：無阻尼的線性振子的振動與受迫穩(wěn)態(tài)振動，從運(yùn)動學(xué)角度看，都是簡諧振動。但從動力學(xué)角度從運(yùn)動學(xué)角度看，都是簡諧振動。但從動力學(xué)角度看二者有本質(zhì)的區(qū)別：線性振子是保守的孤立系統(tǒng)，看二者有本質(zhì)的區(qū)別：線性振子是保守的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有其自身的固有頻率；而受迫穩(wěn)系統(tǒng)機(jī)

13、械能守恒，有其自身的固有頻率；而受迫穩(wěn)態(tài)振動是開放的耗散系統(tǒng)，它不斷從策動力源吸收態(tài)振動是開放的耗散系統(tǒng)，它不斷從策動力源吸收能量，同時又由于阻尼而耗散能量，它只按外力的能量，同時又由于阻尼而耗散能量，它只按外力的頻率振動。并且受迫振動的振幅、初位相只由振動頻率振動。并且受迫振動的振幅、初位相只由振動系統(tǒng)和外力性質(zhì)決定，而與初始條件無關(guān)。系統(tǒng)和外力性質(zhì)決定，而與初始條件無關(guān)。19討論：討論：220/,phpmHApp較小較小kHmHApp200/,002/,mHApp若若 很小，很小， 很大。很大。pA求振幅求振幅 對頻率的極值，對頻率的極值，得出得出2222204)(pphAp2202rp共

14、振的角頻率。共振的角頻率。 2202hAr共振的振幅。共振的振幅。振幅有極大值：振幅有極大值：3-2 共振共振20當(dāng)強(qiáng)迫力的頻率為某一值時，穩(wěn)定受迫振動的當(dāng)強(qiáng)迫力的頻率為某一值時，穩(wěn)定受迫振動的位移振幅出現(xiàn)最大值的現(xiàn)象，叫做位移共振，位移振幅出現(xiàn)最大值的現(xiàn)象，叫做位移共振，簡稱共振（簡稱共振（resonanceresonance) )。22002pparctg2202rp共振的角頻率。共振的角頻率。 代入代入2200 arctgr共振時的初相位共振時的初相位,0rp,rA0當(dāng)當(dāng) 弱阻尼時弱阻尼時共振發(fā)生在固有頻率處，稱為尖銳共振。共振發(fā)生在固有頻率處，稱為尖銳共振。20r21受迫振動相位落后于

15、強(qiáng)迫力相位受迫振動相位落后于強(qiáng)迫力相位 ，即振動速度，即振動速度與強(qiáng)迫力同相位，即外力始終對系統(tǒng)作正功，對與強(qiáng)迫力同相位，即外力始終對系統(tǒng)作正功，對速度的增大有最大的效率。這正是振動振幅急劇速度的增大有最大的效率。這正是振動振幅急劇增大的原因。增大的原因。2但是，隨著振幅的增大，阻力的功率也不但是，隨著振幅的增大，阻力的功率也不斷增大，最后與強(qiáng)迫力的功率相抵，從而斷增大，最后與強(qiáng)迫力的功率相抵，從而使振幅保持恒定。從能量觀點(diǎn)看在共振時，使振幅保持恒定。從能量觀點(diǎn)看在共振時，這能量轉(zhuǎn)變?yōu)楣舱褓|(zhì)點(diǎn)的能量，也叫共振這能量轉(zhuǎn)變?yōu)楣舱褓|(zhì)點(diǎn)的能量，也叫共振吸收。吸收。陸果一書討論阻尼彈簧振子的相圖。陸果一

16、書討論阻尼彈簧振子的相圖。p16822通常稱通常稱 的關(guān)系曲線為頻率響應(yīng)曲線。的關(guān)系曲線為頻率響應(yīng)曲線。pAp與2/)max(ppAA當(dāng)當(dāng) 時，即相對振幅為時，即相對振幅為 0.707(即相對強(qiáng)度為即相對強(qiáng)度為1/2) 處曲線寬度，定義為共振處曲線寬度，定義為共振峰的寬度峰的寬度 或共振帶寬?？勺C明在弱阻尼的情或共振帶寬。可證明在弱阻尼的情況下，共振帶寬為：況下，共振帶寬為：2pp定義振動系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)：定義振動系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)：Q 02p頻率響應(yīng)曲線頻率響應(yīng)曲線pppA2/pA23p頻率響應(yīng)曲線頻率響應(yīng)曲線pppA2/pAQQ 值的意義，不僅表征了受迫阻尼振動系統(tǒng)值的意義，不僅表征了受迫阻尼振

17、動系統(tǒng)頻率選擇性能的好壞，而且系統(tǒng)頻率選擇性能的好壞，而且系統(tǒng) 值越低，值越低，則系統(tǒng)的阻尼損耗越大，能量衰減越快。則系統(tǒng)的阻尼損耗越大，能量衰減越快。定義振動系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)：定義振動系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)：Q 02244 簡諧振動的合成簡諧振動的合成4.2 同方向、不同頻率的簡諧振動的合成同方向、不同頻率的簡諧振動的合成4.3 垂直方向、同頻率簡諧振動的合成垂直方向、同頻率簡諧振動的合成4.4 垂直方向、不同頻率簡諧振動的合成垂直方向、不同頻率簡諧振動的合成4.1 同方向、同頻率的簡諧振動的合成同方向、同頻率的簡諧振動的合成本講提綱本講提綱25 代數(shù)方法：設(shè)兩個振動具有相同頻率，代數(shù)方法：設(shè)兩個振動

18、具有相同頻率，同一直線上運(yùn)動，有不同的振幅和初相位同一直線上運(yùn)動，有不同的振幅和初相位4 4 簡諧振動的合成簡諧振動的合成4.1 同方向、同頻率的簡諧振動的合成同方向、同頻率的簡諧振動的合成)cos()(111 tAtx)cos()(222 tAtx)()()(21txtxtxtAAcos)coscos(2211tAAsin)sinsin(2211tAtAsinsincoscos)cos(tA 結(jié)論：仍然是同頻率仍然是同頻率的簡諧振動。的簡諧振動。合振幅合振幅26)cos(122122212 AAAAA式中：式中：22112211 coscossinsinAAAAarctg 可見：可見：,21

19、0212 kk 21AAA 合振幅最大。合振幅最大。2AA1A272AA1A21XY11cosA22cosA11sinA22sinA 幾何方法幾何方法)cos(122122212 AAAAA22112211 coscossinsinAAAAarctg 28)cos(212212221AAAAA上面得到：上面得到：22112211coscossinsinAAAAarctg討論一：討論一：, 2, 1, 0212kk21AAA合振幅最大。合振幅最大。2AA1A當(dāng)當(dāng) 稱為干涉相長。稱為干涉相長。 21AA 12AA 29討論二：討論二：|21AAA當(dāng)當(dāng) 時，時， 稱為干涉相消。稱為干涉相消。21AA

20、 0A2AA1A討論三：討論三：1A2AA,)(2101212 kk |2121AAAAA k 12一般情況：一般情況：304.2 同方向、不同頻率的簡諧振動的合成同方向、不同頻率的簡諧振動的合成利用三角函數(shù)關(guān)系式：利用三角函數(shù)關(guān)系式：合成振動表達(dá)式合成振動表達(dá)式：為了簡單起見，先討論兩個振幅相同，為了簡單起見，先討論兩個振幅相同，初相位也相同，在同方向上以不同頻初相位也相同，在同方向上以不同頻率振動的合成。其振動表達(dá)式分別為：率振動的合成。其振動表達(dá)式分別為：222 coscoscoscos)cos()cos()( tAtAtx21)cos()( tAtx22)cos()( tAtx1131

21、coscos)cos1 (21)cos1 (21)cos1 (21)cos1 (2124)2sin2sin2cos2(cos24)2sin2sin2cos2)(cos2sin2sin2cos2(cos242cos2cos2422223221與當(dāng)當(dāng) 都很大，且相差甚微時，可將都很大，且相差甚微時，可將 視為振幅變化部分，視為振幅變化部分，合成振動是以合成振動是以 為角頻率的諧振動。為角頻率的諧振動。2/ )(12| 2/)cos(2|12tA其振幅變化的周期是由振幅絕對值變化來決定其振幅變化的周期是由振幅絕對值變化來決定，即振動忽強(qiáng)忽弱，所以它是近似的諧振動這種即振動忽強(qiáng)忽弱，所以它是近似的諧振

22、動這種合振動忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象稱為合振動忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象稱為拍拍。)cos()cos()( tAtAtx21)(cos(cos 2221212ttA）33單位時間內(nèi)振動加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫拍頻單位時間內(nèi)振動加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫拍頻Wave顯然，拍頻是振動顯然，拍頻是振動 的頻率的兩倍。的頻率的兩倍。即拍頻為：即拍頻為：)cos(t212 )(txt12122212 )()2(212 344.3 垂直方向、同頻率簡諧振動的合成垂直方向、同頻率簡諧振動的合成設(shè)一個質(zhì)點(diǎn)同時參與了兩個振動方向相互設(shè)一個質(zhì)點(diǎn)同時參與了兩個振動方向相互垂直的同頻率簡諧振動，即垂直的同頻率簡諧振動，即 );cos(101 tAx)c

23、os(202 tAy10101 sinsincoscos ttAx20202 sinsincoscos ttAy)sin(sincoscos1020102201 tAyAx35)sin(sincoscos1020102201 tAyAx)sin(cossinsin1020102201 tAyAx 2212222122sincos AAxyAyAx)(1020上式是個橢圓方程，具體形狀由上式是個橢圓方程，具體形狀由 相位差決定。相位差決定。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方向與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方向與 有關(guān)。當(dāng)有關(guān)。當(dāng) 時，時，質(zhì)點(diǎn)沿順時針方向運(yùn)動；當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿順時針方向運(yùn)動；當(dāng) 時，時，質(zhì)點(diǎn)沿逆時針方向運(yùn)動。質(zhì)點(diǎn)沿逆時針方向運(yùn)

24、動。2021AA 當(dāng)當(dāng) 時，正橢圓退化為圓時，正橢圓退化為圓。36討論討論1 01020 )( 0221222212 AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直線上的運(yùn)動。直線上的運(yùn)動。yx 2212222122sincos AAxyAyAxZD_7hech37討論討論2 )(10200221222212 AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直線上的振動。直線上的振動。討論討論321020 )(1222212 AyAx所以是在所以是在X軸半軸長為軸半軸長為 ， Y軸半軸長為軸半軸長為 的橢圓方程，且順時針旋轉(zhuǎn)。的橢圓方程，且順時針旋轉(zhuǎn)。1A2Ayx38質(zhì)點(diǎn)的軌道是圓。質(zhì)點(diǎn)的軌道

25、是圓。X和和Y方向的相位差決定旋轉(zhuǎn)方向方向的相位差決定旋轉(zhuǎn)方向。21AA 討論討論5討論討論4所以是在所以是在X軸半軸長為軸半軸長為 ， Y軸半軸長為軸半軸長為 的橢圓方程，且逆時針旋轉(zhuǎn)。的橢圓方程，且逆時針旋轉(zhuǎn)。1A2A1222212 AyAx231020 )(39討論討論6 k21020 則為任一橢圓方程。則為任一橢圓方程。32102121020， kk 綜上所述：兩個頻率相同的互相綜上所述：兩個頻率相同的互相垂直的簡諧振動合成后，合振動垂直的簡諧振動合成后，合振動在一直線上或者在橢圓上進(jìn)行在一直線上或者在橢圓上進(jìn)行(直線是退化了的橢圓直線是退化了的橢圓)當(dāng)兩個當(dāng)兩個分振動的振幅相等時，橢圓軌分振動的振幅相等時，橢圓軌道就成為圓。道就成為圓。ZD_7hech404.4 垂直方向、不同頻率簡諧振動的合成垂直方向、不同頻率簡諧振動的合成一般是復(fù)雜的運(yùn)動軌道不是封閉曲線，一般是復(fù)雜的運(yùn)動軌道不是封閉曲線，即合成運(yùn)動不是周期性的運(yùn)動。即合成運(yùn)動不是周期性的運(yùn)動。下面就兩種情況討論下面就兩種情況討論 視為同頻率的合成，不視為同頻率的合成，不過兩個振動的相位差在緩慢地變化，過兩個振動的相位差在緩慢地變化，所以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的