四年級(jí)奧數(shù)2簡(jiǎn)單的數(shù)列求和

1、教學(xué)內(nèi)容：簡(jiǎn)單的數(shù)列問題（一） 世界著名的數(shù)學(xué)家高斯（1777年1855年），幼年時(shí)代聰明過人。上小學(xué)時(shí)，有一天數(shù)學(xué)老師出了一道題讓全班同學(xué)計(jì)算：123499100？老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計(jì)算，小高斯卻很快地說出了正確答案5050。那些正忙著把這100個(gè)數(shù)一個(gè)一個(gè)相加求和的同學(xué)大吃一驚!小高斯有什么竅門呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察，發(fā)現(xiàn)1100這一串?dāng)?shù)中，110029939849525051101。即：與這串?dāng)?shù)首末兩端距離相等的每?jī)蓚€(gè)數(shù)的和，都等于首末兩數(shù)的和，這樣的和為101的數(shù)共有100÷250對(duì)。于是小高斯就把這道題巧算為：12399100（1100）×

2、;100÷25050像1，2，3，99，100這樣的一串?dāng)?shù)我們稱為“等差數(shù)列”，下面介紹有關(guān)等差數(shù)列的概念。若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。從第一項(xiàng)開始，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差都相等的數(shù)稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差稱為公差，數(shù)列中數(shù)的個(gè)數(shù)稱為項(xiàng)數(shù)。例如：（1）5，6，7，8，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）4，12，20，28，804；（4）1，4，8，16，256。其中（1）是首項(xiàng)為5，末項(xiàng)為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項(xiàng)為4，末項(xiàng)為804，公差為8的等差數(shù)列

3、；（4）中前后兩項(xiàng)的差都不相等，它不是等差數(shù)列。從高斯的故事我們知道，要想求出像1，2，3，99，100這一等差數(shù)列的和，只要用第一個(gè)數(shù)1與最后一個(gè)數(shù)100相加求和，再乘以這串?dāng)?shù)的個(gè)數(shù)100，最后除以2。由此，我們得到等差數(shù)列的求和公式為：數(shù)列和（首項(xiàng)末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2 例1 計(jì)算1231999分析與解 這串加數(shù)組成的數(shù)列1，2，3，1999是等差數(shù)列，公差是1，首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是1999，項(xiàng)數(shù)是1999。根據(jù)等差數(shù)列求和公式可解得：原式（11999）×1999÷21999000 例2 求首項(xiàng)是5，公差是3的等差數(shù)列的前1999項(xiàng)的和。分

4、析 等差數(shù)列中首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差的關(guān)系是：末項(xiàng)首項(xiàng)公差×（項(xiàng)數(shù)1）解 末項(xiàng)53×（19991）5999和（55999）×1999÷26000998 例3 計(jì)算371199分析 這串加數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，公差是4，首項(xiàng)是3，末項(xiàng)是99，但是我們發(fā)現(xiàn)項(xiàng)數(shù)從題中看不出來，這時(shí)就需要先求出項(xiàng)數(shù)。根據(jù)上例中介紹的等差數(shù)列中首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差的關(guān)系，可以得到：項(xiàng)數(shù)（末項(xiàng)首項(xiàng)）÷公差1解 項(xiàng)數(shù)（993）÷4125原式（399）×25÷21275 例4 計(jì)算（1）20003695154（2）（246969810

5、0）（135959799）（3）199119981985198211852分析與解 （1）利用第一講中的知識(shí)，“某數(shù)連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，等于減去這幾個(gè)數(shù)的和”，可將原式轉(zhuǎn)化為：2000（3695154），所以，此題關(guān)鍵是求3695154的和。3695154（354）×（543）÷31÷257×9513從而，原式20005131487。（2）同學(xué)們可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)和式2498100，1359799中的項(xiàng)成等差數(shù)列，從而可能想到先求和，再做減法。這樣做，很自然，也比較簡(jiǎn)便。有其他更為簡(jiǎn)單的解法嗎？再看題，你會(huì)冒出一個(gè)好想法：運(yùn)用加減法性質(zhì)，先做減法：21，43，65

6、，10099，它們的差都等于1，然后計(jì)算等于1的差數(shù)有多少個(gè)。由于題中1至100的全部偶數(shù)之和作為被減數(shù)，奇數(shù)之和為減數(shù)，所以，相鄰的奇偶數(shù)相減（以大減小），共得50個(gè)差數(shù)1，從而，原式（21）（43）（9897）×（10099）50（3）利用求解題（2）的經(jīng)驗(yàn)，容易發(fā)現(xiàn)199119883，198519823，523這樣，此題就歸結(jié)為計(jì)算上述差的個(gè)數(shù)?？梢赃@樣計(jì)算，由于此數(shù)列為等差數(shù)列，公差是3，由求項(xiàng)數(shù)公式可求得項(xiàng)數(shù)為：（19912）÷31664（個(gè)）這664個(gè)數(shù)兩兩配對(duì)做減法運(yùn)算，共得到664÷2332個(gè)差數(shù)，因而3×332996思考 還可以怎樣計(jì)算

7、出差的個(gè)數(shù)？（還可根據(jù)每個(gè)括號(hào)中被減數(shù)所組成的等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。） 例5 2000×19991999×19981998×19971997×19964×33×22×1解原式1999×（20001998）1997×（19981996）3×（42）2×1（1999199731）×2（19991）×（19991）÷21÷2×22000×10002000000 小結(jié) 解簡(jiǎn)單的數(shù)列問題，首先要判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列，再

8、找出首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等相關(guān)量，最后運(yùn)用相應(yīng)公式正確求解。 【能力訓(xùn)練】1計(jì)算：（1）123767778  （2）135959799  （3）261014202206210  （4）4710292295298  2求首項(xiàng)是5，末項(xiàng)是93，公差是4的等差數(shù)列的和。  3求首項(xiàng)是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項(xiàng)的和。  4計(jì)算：（1）4000123767778  （2）560557554551500497  （3）20419819

9、21862418126  *5計(jì)算：（1）（1351999）（2461998）  （2）12345678910111225262728 參考答案【能力訓(xùn)練】1（1）（178）×78÷23081（2）（199）×50÷22500（提示：1到100這一百個(gè)自然數(shù)中奇、偶數(shù)各一半）（3）（2210）×（2102）÷41÷25618（4）（4298）×（2984）÷31÷2149492（593）×（935）÷41÷21127

10、3末項(xiàng)13（301）×5158和（13158）×30÷225654（1）4000（12378）4000（178）×78÷240003081919（2）3×1133（等差數(shù)列560，557，554，551，500，497，共有（560497）÷3122項(xiàng)）（3）6×17102（等差數(shù)列204，198，192，12，6，共有（2046）÷6134項(xiàng)）*5（1）1（32）（54）（76）（19991998）1999×11000（2）（123425262728）2×（482428）（128）&

11、#215;28÷22×（428）×（284）÷41÷229×1416×1413×14182 教學(xué)內(nèi)容：簡(jiǎn)單的數(shù)列問題（二）  上一講中，我們學(xué)習(xí)了什么是等差數(shù)列，等差數(shù)列的求和公式，以及求項(xiàng)數(shù)、末項(xiàng)的公式。這一講，我們介紹如何利用這些公式，解決與等差數(shù)列有關(guān)的問題。 例1 求所有被2除余數(shù)是1的三位數(shù)的和。分析 首先應(yīng)分析一下被2除余數(shù)是1的三位數(shù)是哪些數(shù)。能被2整除的三位數(shù)中最小的是100，所以被2除余數(shù)是1的三位數(shù)中最小的是101。采用同樣的辦法可知，三位數(shù)中最大的被2除

12、余1的數(shù)是999，而且這樣的三位數(shù)前后兩數(shù)都差2，因此它們構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，故可以利用等差數(shù)列求和公式求和。解 所求的三位數(shù)的和是101103105999項(xiàng)數(shù)（999101）÷21898÷21450和 （101999）×450÷2247500答：所有被2除余數(shù)是1的三位數(shù)的和是247500由例1可以看出，解這種類型題目的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確地找出滿足條件的數(shù)列，然后求和。 例2 1至100內(nèi)所有不能被5或9整除的數(shù)的和是多少？分析與解 如果要直接找出1至100內(nèi)所有不能被5或9整除的數(shù)比較麻煩，因此我們采用間接的辦法來解?？梢韵确謩e找出能被5或9

13、整除的數(shù)，并求出它們的和，然后再?gòu)?23100的和中減去它們的和，即為所求的解。1至100內(nèi)所有能被5整除的數(shù)是5，10，15，100，這個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)（1005）÷5195÷5120，因此51015100（5100）×20÷2105×20÷210501至100內(nèi)所有能被9整除的數(shù)是9，18，27，99，這個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)（999）÷9111，因此，9182799（999）×11÷2108×11÷2594應(yīng)該注意到，1至100內(nèi)45，90這兩個(gè)數(shù)既能被5整除，又能被9整除，因此在上面

14、兩個(gè)數(shù)列的求和中都有45、90這兩個(gè)數(shù)。所以，1至100內(nèi)所有不能被5或9整除的數(shù)的和是：（123100）（51015100）（9182799）（4590）505010505941353541由例2可以看出，解這種類型的題目時(shí)，如果直接找數(shù)列比較困難，那么可以采用間接的方法求解。另外，解題時(shí)分析思考要周密細(xì)致，列算式時(shí)不要重復(fù)，也不要遺漏。 例3 用3根等長(zhǎng)的火柴棍擺成一個(gè)等邊三角形，用這樣的等邊三角形，按圖41所示鋪滿一個(gè)大的等邊三角形，如果這個(gè)大的等邊三角形的底邊放10根火柴，那么這個(gè)大的等邊三角形中一共要放多少根火柴？分析與解 如果把圖中最上端的一個(gè)三角形看作第一層，與第一層緊

15、相連的3個(gè)三角形（向上的三角形2個(gè)；向下的三角形1個(gè)）看作第二層，那么這個(gè)圖中一共有10層三角形。這10層三角形每層所需火柴根數(shù)，自上而下依次為：3，6，9，3×10。它們成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為3，公差為3，項(xiàng)數(shù)為10。求火柴的總根數(shù)，也就是求這個(gè)等差數(shù)列各項(xiàng)的和，即36930 （330）×10÷233×5165（根）所以，一共要放165根火柴。 例4 15個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是1995，其中最大的奇數(shù)是多少？分析與解 我們先來看一個(gè)簡(jiǎn)單的五個(gè)連續(xù)奇數(shù)求和的情況。例如，35791135可以看出，用這五個(gè)連續(xù)奇數(shù)的中間一項(xiàng)7乘以項(xiàng)數(shù)5也可以得到和為35。

16、反過來，用和35除以項(xiàng)數(shù)5就可以得到它們的中間項(xiàng)7。根據(jù)這一經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于例4，已知15個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是1995，可求得這個(gè)等差數(shù)列的中間一項(xiàng)是1995÷15133。現(xiàn)在如果把中間一項(xiàng)看作是第1項(xiàng)，那么原來的末項(xiàng)，即第15項(xiàng)就是現(xiàn)在的第8項(xiàng)。這一項(xiàng)，也就是最大的奇數(shù)為：133（81）×213314147思考 仿照此例題的解法，求這15個(gè)連續(xù)奇數(shù)中最小的奇數(shù)。 例5 盒子里放有1只球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里將這1只球拿出，變成4只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出2只球，將每只球各變成4只球后放回盒子里第十次從盒子里拿出10只球，將每只球各變成4只球后放回到盒子里。

17、這時(shí)盒子里共有多少只球？分析與解 一只球變成4只球，實(shí)際上多了3只球。第一次多了3×1只球，第二次多了3×2只球第十次多了3×10只球。因此拿了10次后，多了3×13×23×103×（1210）3×55165（只）加上原有的1只球，盒子里共有球1651166（只）。 例6 有10個(gè)朋友聚會(huì)，見面時(shí)如果每人和其余的每個(gè)人只握一次手，那么10個(gè)人共握手多少次？分析 設(shè)10個(gè)人分別為，我們從開始按順序分析：這9個(gè)人的每個(gè)人握手1次，共握手9次；由于已和握過手，所以只能和這8個(gè)人的每個(gè)人握手1次，共握手8次；由于

18、已和握過手，所以只能和這7個(gè)人的每個(gè)人握手1次，共握手7次；以此類推只能和握手1次。將以上的握手次數(shù)求和即可。解 這10個(gè)人總共握手的次數(shù)為12389 （19）×9÷245（次）這題我們采用按順序逐個(gè)分析，從中找出規(guī)律的思考方法，這是個(gè)重要的方法。小結(jié) 我們通過這一講的學(xué)習(xí)知道，解與等差數(shù)列有關(guān)的問題關(guān)鍵是根據(jù)題意正確地找出滿足條件的數(shù)列，解題時(shí)分析思考要仔細(xì)，多算一項(xiàng)、少算一項(xiàng)都將造成結(jié)果的錯(cuò)誤。  【能力訓(xùn)練】1求所有的除以4后余1的兩位數(shù)的和。  2在1100這100個(gè)數(shù)中，所有不能被9整除的奇數(shù)的和是多少？ 

19、0;3用相同的立方體擺成如圖42的形式，如果共擺成10層，那么最下面一層有多少個(gè)立方體？  4有一個(gè)六邊形點(diǎn)陣如圖43，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算做第一層，第二層每邊兩個(gè)點(diǎn)，第三層每邊三個(gè)點(diǎn)這個(gè)六邊形點(diǎn)陣共100層，求這個(gè)點(diǎn)陣共有多少個(gè)點(diǎn)？  524個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是1992，其中最大的一個(gè)偶數(shù)是幾？  6時(shí)鐘在每個(gè)整點(diǎn)敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)也敲一下。求時(shí)鐘一晝夜總共敲打多少次？  7平面上共有10個(gè)點(diǎn)，沒有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上，求過這些點(diǎn)最多可以畫出多少條直線？  8在北京與上海之間開行的火車，除起點(diǎn)站和終點(diǎn)站外，還要?？?個(gè)火車站，問一共要準(zhǔn)備多少種火車票？  9小明計(jì)算從1開始若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，結(jié)果不小心把1當(dāng)作10來計(jì)算，得出的錯(cuò)誤結(jié)果恰好是100，你知道小明算的是哪些自然數(shù)的和嗎？正確的結(jié)果應(yīng)該是多少？  *10一次朋友聚會(huì)，大家見面時(shí)總共握手28次，如果參加聚會(huì)的每個(gè)人和其余的每個(gè)人只握手一次，問參加聚會(huì)的共有多少人？ 【能力訓(xùn)