北京市海淀區(qū)高三第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理科）

1、北京市海淀區(qū)高三年級第一學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.（1）已知全集，那么下列結(jié)論中可能不成立的是（ ）（A）（B）（C）（D）（2）拋物線的準(zhǔn)線方程為 （ ）（A） （B）（C） （D）（3）將函數(shù)的圖象按向量平移后得到函數(shù)的圖象，那么（ ）（A） （B）（C） （D）（4）在中，角、所對的邊分別為、，如果，那么角等于（ ）（A）（B）（C）（D）（5）位于北緯度的、兩地經(jīng)度相差，且、兩地間的球面距離為（為地球半徑），那么等于 （ ）（A）30 （B） 45 （C） 60 （D）75（6）已知定義域

2、為的函數(shù)，對任意的都有恒成立，且，則 等于（ ）（A）1 （B） 62 （C） 64 （D）83（7）已知，那么使得的數(shù)對共有（ ）(A) 9個 (B) 11個 (C) 12個 (D) 13個（8）如果對于空間任意條直線總存在一個平面，使得這條直線與平面所成的角均相等，那么這樣的 （ ）（A）最大值為3（B）最大值為4（C）最大值為5（D）不存在最大值二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.把答案填在題中橫線上.（9）= .（10）如果 那么；不等式的解集是.（11）已知點、分別是雙曲線的兩個焦點，為該雙曲線上一點，若為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率為_.（12）若實數(shù)、滿足且的

3、最小值為3，則實數(shù)的值為.（13）已知直線與圓交于不同的兩點、，是坐標(biāo)原點，那么實數(shù)的取值范圍是.（14）已知：對于給定的及映射若集合，且中所有元素對應(yīng)的象之和大于或等于，則稱為集合A的好子集 對于，映射，那么集合A的所有好子集的個數(shù)為； 對于給定的，映射的對應(yīng)關(guān)系如下表：12345611111若當(dāng)且僅當(dāng)中含有和至少A中2個整數(shù)或者中至少含有A中5個整數(shù)時，為集合A的好子集寫出所有滿足條件的數(shù)組：三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明, 演算步驟或證明過程.(15)（本小題共12分）已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（）求函數(shù)在上的最大值和最小值并指出此時相應(yīng)的

4、的值.（16）（本小題共12分）已知函數(shù)是的反函數(shù)，點、分別是、圖象上的點，、分別是函數(shù)、的圖象在兩點處的切線，且（）求、兩點的坐標(biāo)；（）求經(jīng)過原點及、的圓的方程（17）（本小題共14分）已知正三棱柱中，點是棱的中點，.（）求證：平面；（）求到平面的距離；（）求二面角的大小.（18）（本小題共14分）某種家用電器每臺的銷售利潤與該電器的無故障使用時間（單位：年）有關(guān). 若，則銷售利潤為0元；若，則銷售利潤為100元；若，則銷售利潤為200元. 設(shè)每臺該種電器的無故障使用時間，及這三種情況發(fā)生的概率分別為，又知是方程的兩個根，且.（）求的值；（）記表示銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和，求的分布

5、列；（）求銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和的平均值.（19）（本小題共14分）已知點、，是一個動點，且直線、的斜率之積為.（）求動點的軌跡的方程；（）設(shè)，過點的直線交于、兩點，的面積記為，若對滿足條件的任意直線，不等式恒成立，求的最小值.（20）（本小題共14分）如果正數(shù)數(shù)列滿足：對任意的正數(shù)M，都存在正整數(shù)，使得，則稱數(shù)列是一個無界正數(shù)列（）若，分別判斷數(shù)列、是否為無界正數(shù)列，并說明理由； （）若，是否存在正整數(shù)，使得對于一切，有成立；（）若數(shù)列是單調(diào)遞增的無界正數(shù)列，求證：存在正整數(shù)，使得海淀區(qū)高三年級第一學(xué)期期末練習(xí) 數(shù)學(xué)（理科） 參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2009.01一、選擇題（本大題共

6、8小題,每小題5分,共40分）CABAB DDA二、填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）（9）1 （10）1，（11）（12）（13）（14） ，三、解答題（本大題共6小題,共80分）(15)（本小題共12分）解：（）4分 所以. 5分 由得所以函數(shù)的最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為. 7分（）由（）有. 因為， 所以. 因為，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值；當(dāng)時，函數(shù)取得最大值2.12分（16）（本小題共12分）解：（）因為，所以. 從而. 3分 所以切線的斜率分別為. 又，所以. 4分 因為兩切線平行，所以. 5分從而.因為，所以. 所以兩點的坐標(biāo)分別

7、為. 7分（）設(shè)過、三點的圓的方程為：.因為圓過原點，所以.因為、關(guān)于直線對稱，所以圓心在直線上.所以.又因為在圓上， 所以.所以過、三點的圓的方程為：. 12分（17）（本小題共14分）（）證明：連結(jié)交于點，連結(jié).在正三棱柱中，四邊形是平行四邊形，.，. 2分平面，平面， 平面. 4分解法一：（）連結(jié)，設(shè)到平面的距離為.四邊形是平行四邊形，.，. 6分在等邊三角形中，為的中點，.是在平面內(nèi)的射影，. 8分. 9分（）過點作交于，過點作交于，連結(jié).平面平面，平面，平面平面，平面.是在平面內(nèi)的射影. .是二面角的平面角.12分在直角三角形中，.同理可求：.，. 14分解法二：過點作交于，過點作交

8、于.因為平面平面，所以平面.分別以所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.因為，是等邊三角形，所以為的中點.則，. 6分（）設(shè)平面的法向量為，則，取，得平面的一個法向量為. 8分到平面的距離為：. 10分 ()解：同（）可求平面的一個法向量為. 12分設(shè)二面角的大小為，則.，. 14分（18）（本小題共14分）解：（）由已知得., .是方程的兩個根,.,. 3分（）的可能取值為0，100，200，300，400. 4分=,=,=,=,=. 9分隨機(jī)變量的分布列為：010020030040011分（）銷售利潤總和的平均值為=240.銷售兩臺這種家用電器的利潤總和的平均值為240元.

9、14分注：只求出，沒有說明平均值為240元，扣1分.（19）（本小題共14分）解：（）設(shè)動點的坐標(biāo)為，則直線的斜率分別是.由條件得.即.所以動點的軌跡的方程為. 5分注：無扣1分. （）設(shè)點的坐標(biāo)分別是.當(dāng)直線l垂直于x軸時，.所以.所以. 7分當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線l的方程為,由得.所以. 9分所以.因為，所以.綜上所述的最大值是. 11分因為恒成立, 即恒成立.由于.所以.所以恒成立. 13分所以的最小值為. 14分注：沒有判斷為銳角，扣1分.（20）（本小題共14分）解：（）不是無界正數(shù)列理由如下：取M = 5，顯然，不存在正整數(shù)滿足；是無界正數(shù)列理由如下：對任意的正數(shù)M，取為大于2M的一個偶數(shù)，有，所以是無界正數(shù)列 4分（）存在滿足題意的正整數(shù).理由如下：當(dāng)時，因為，即取，對于一切，有成立. 9分注：k為大于