壓軸題中路徑最值問題

1、路徑最值問題1、如圖，已知直線與軸交于點A，與軸交于點D，拋物線與直線交于A、E兩點，與軸交于B、C兩點，且B點坐標為 (1，0)。（1）求該拋物線的解析式；（2）動點P在軸上移動，當PAE是直角三角形時，求點P的坐標P。（3）在拋物線的對稱軸上找一點M，使的值最大，求出點M的坐標。2、 如圖，已知拋物線yax 2bxc與y軸交于點A(0，3)，與x軸分別交于B(1，0)、C(5，0)兩點（1）求此拋物線的解析式；（2）若一個動點P自OA的中點M出發(fā)，先到達x軸上的某點（設為點E），再到達拋物線的對稱軸上某點（設為點F），最后運動到點A求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短

2、總路徑的長OyxABC3、 已知,如圖11,二次函數(shù)圖象的頂點為,與軸交于、兩點(在點右側),點、關于直線:對稱.（1）求、兩點坐標,并證明點在直線上;（2）求二次函數(shù)解析式;（3）過點作直線交直線于點,、分別為直線和直線上的兩個動點,連接、,求和的最小值.圖11備用圖4、如圖13，拋物線y=ax2bxc(a0)的頂點為（1,4），交x軸于A、B，交y軸于D，其中B點的坐標為（3,0）（1）求拋物線的解析式（2）如圖14，過點A的直線與拋物線交于點E，交y軸于點F，其中E點的橫坐標為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為PQ上一動點，則x軸上是否存在一點H，使D、G、F、H四點圍成的四邊形周長

3、最小.若存在，求出這個最小值及G、H的坐標；若不存在，請說明理由.（3）如圖15，拋物線上是否存在一點T，過點T作x的垂線，垂足為M，過點M作直線MNBD，交線段AD于點N，連接MD，使DNMBMD，若存在，求出點T的坐標；若不存在，說明理由.路徑最值問題1、如圖，已知直線與軸交于點A，與軸交于點D，拋物線與直線交于A、E兩點，與軸交于B、C兩點，且B點坐標為 (1，0)。（1）求該拋物線的解析式；（2）動點P在軸上移動，當PAE是直角三角形時，求點P的坐標P。（3）在拋物線的對稱軸上找一點M，使的值最大，求出點M的坐標。解：（1）將A（0，1）、B（1，0）坐標代入得，解得 拋物線的解折式為

4、；（2）設點E的橫坐標為m，則它的縱坐標為，即E點的坐標（） 又點E在直線上解得（舍去），E的坐標為（4，3）；（）當A為直角頂點時，過A作AP1DE交x軸于P1點，設P1（a，0）易知D點坐標為（-2，0）由RtAODRtPOA得即，a=，P1（，0）；（）同理，當E為直角頂點時，P2點坐標為（，0）；（）當P為直角頂點時，過E作EFx軸于F，設P3（b、3）由OPA+FPE=90°，得OPA=FEP，RtAOPRtPFE由得，解得，此時的點P3的坐標為（1，0）或（3，0）綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）；（）拋物線的對稱軸為，B、C關于

5、對稱，MC=MB，要使最大，即是使最大，由三角形兩邊之差小于第三邊得，當A、B、M在同一直線上時的值最大，易知直線AB的解折式為y=-x+1，由得， M。2、 如圖，已知拋物線yax 2bxc與y軸交于點A(0，3)，與x軸分別交于B(1，0)、C(5，0)兩點（1）求此拋物線的解析式；（2）若一個動點P自OA的中點M出發(fā)，先到達x軸上的某點（設為點E），再到達拋物線的對稱軸上某點（設為點F），最后運動到點A求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長OyxABC解：（1）根據(jù)題意，c=3所以 解得 所以拋物線解析式為。（3）如圖，由題意，可得M（0，）點M關于x軸的對

6、稱點為M'（0，-）點A關于拋物線對稱軸x=3的對稱點為A'（6，3），連結A'M'根據(jù)軸對稱性及兩點間線段最短可知，A'M'的長就是所求點P運動的最短總路徑的長所以A'M'與x軸的交點為所求E點，與直線x=3的交點為所求F點可求得直線A'M'的解析式為y=可得E點坐標為（2，0），F(xiàn)點坐標為（3，）由勾股定理可求出A'M'=所以點P運動的最短總路徑（ME+EF+FA）的長為。3、 已知,如圖11,二次函數(shù)圖象的頂點為,與軸交于、兩點(在點右側),點、關于直線:對稱.（1）求、兩點坐標,并證明點在直

7、線上;（2）求二次函數(shù)解析式;（3）過點作直線交直線于點,、分別為直線和直線上的兩個動點,連接、,求和的最小值.圖11備用圖解：（1）依題意，得ax2+2ax-3a=0（a0），解得x1=3，x2=1，B點在A點右側，A點坐標為（3，0），B點坐標為（1，0），證明：直線l：，當x=3時，  點A在直線l上；（2）點H、B關于過A點的直線l：對稱，AH=AB=4，過頂點H作HCAB交AB于C點，則， 頂點，代入二次函數(shù)解析式，解得， 二次函數(shù)解析式為，（3）直線AH的解析式為，直線BK的解析式為，由，解得，即，則BK=4，點H、B關于直線AK對稱， HN

8、+MN的最小值是MB，過點K作直線AH的對稱點Q，連接QK，交直線AH于E，則QM=MK，AEQK， BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值， BKAH， BKQ=HEQ=90°，由勾股定理得QB=8， HN+NM+MK的最小值為8，4、如圖13，拋物線y=ax2bxc(a0)的頂點為（1,4），交x軸于A、B，交y軸于D，其中B點的坐標為（3,0）。（1）求拋物線的解析式（2）如圖14，過點A的直線與拋物線交于點E，交y軸于點F，其中E點的橫坐標為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為PQ上一動點，則x軸上是否存在一點

9、H，使D、G、F、H四點圍成的四邊形周長最小.若存在，求出這個最小值及G、H的坐標；若不存在，請說明理由.（3）如圖15，拋物線上是否存在一點T，過點T作x的垂線，垂足為M，過點M作直線MNBD，交線段AD于點N，連接MD，使DNMBMD，若存在，求出點T的坐標；若不存在，說明理由.解：（1）設所求拋物線的解析式為：，依題意，將點B（3，0）代入，得：解得：a1所求拋物線的解析式為：（2）如圖6，在y軸的負半軸上取一點I，使得點F與點I關于x軸對稱，在x軸上取一點H，連接HF、HI、HG、GD、GE，則HFHI設過A、E兩點的一次函數(shù)解析式為：ykxb（k0），點E在拋物線上且點E的橫坐標為2

10、，將x2代入拋物線，得點E坐標為（2，3）又拋物線圖像分別與x軸、y軸交于點A、B、D當y0時，x1或x3當x0時，y143,點A（1，0），點B（3，0），點D（0，3） 又拋物線的對稱軸為：直線x1，   點D與點E關于PQ對稱，GDGE  分別將點A（1，0）、點E（2，3）代入ykxb，得：     解得： 過A、E兩點的一次函數(shù)解析式為：yx1 當x0時，y1  點F坐標為（0，1）=2   又點F與點I關于x軸對稱

11、，  點I坐標為（0，1）   又要使四邊形DFHG的周長最小，由于DF是一個定值，只要使DGGHHI最小即可由圖形的對稱性和、，可知，DGGHHFEGGHHI只有當EI為一條直線時，EGGHHI最小設過E（2，3）、I（0，1）兩點的函數(shù)解析式為：，分別將點E（2，3）、點I（0，1）代入，得：  解得：過A、E兩點的一次函數(shù)解析式為：y2x1當x1時，y1；當y0時，x；  點G坐標為（1，1），點H坐標為（，0）四邊形DFHG的周長最小為：DFDGGHHFDFEI由和，可知： DFEI 四邊形DFHG的周長最小為。