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1、路徑最值問題1、如圖,已知直線與軸交于點A,與軸交于點D,拋物線與直線交于A、E兩點,與軸交于B、C兩點,且B點坐標為 (1,0)。(1)求該拋物線的解析式;(2)動點P在軸上移動,當PAE是直角三角形時,求點P的坐標P。(3)在拋物線的對稱軸上找一點M,使的值最大,求出點M的坐標。2、 如圖,已知拋物線yax 2bxc與y軸交于點A(0,3),與x軸分別交于B(1,0)、C(5,0)兩點(1)求此拋物線的解析式;(2)若一個動點P自OA的中點M出發(fā),先到達x軸上的某點(設為點E),再到達拋物線的對稱軸上某點(設為點F),最后運動到點A求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標,并求出這個最短

2、總路徑的長OyxABC3、 已知,如圖11,二次函數(shù)圖象的頂點為,與軸交于、兩點(在點右側),點、關于直線:對稱.(1)求、兩點坐標,并證明點在直線上;(2)求二次函數(shù)解析式;(3)過點作直線交直線于點,、分別為直線和直線上的兩個動點,連接、,求和的最小值.圖11備用圖4、如圖13,拋物線y=ax2bxc(a0)的頂點為(1,4),交x軸于A、B,交y軸于D,其中B點的坐標為(3,0)(1)求拋物線的解析式(2)如圖14,過點A的直線與拋物線交于點E,交y軸于點F,其中E點的橫坐標為2,若直線PQ為拋物線的對稱軸,點G為PQ上一動點,則x軸上是否存在一點H,使D、G、F、H四點圍成的四邊形周長

3、最小.若存在,求出這個最小值及G、H的坐標;若不存在,請說明理由.(3)如圖15,拋物線上是否存在一點T,過點T作x的垂線,垂足為M,過點M作直線MNBD,交線段AD于點N,連接MD,使DNMBMD,若存在,求出點T的坐標;若不存在,說明理由.路徑最值問題1、如圖,已知直線與軸交于點A,與軸交于點D,拋物線與直線交于A、E兩點,與軸交于B、C兩點,且B點坐標為 (1,0)。(1)求該拋物線的解析式;(2)動點P在軸上移動,當PAE是直角三角形時,求點P的坐標P。(3)在拋物線的對稱軸上找一點M,使的值最大,求出點M的坐標。解:(1)將A(0,1)、B(1,0)坐標代入得,解得 拋物線的解折式為

4、;(2)設點E的橫坐標為m,則它的縱坐標為,即E點的坐標() 又點E在直線上解得(舍去),E的坐標為(4,3);()當A為直角頂點時,過A作AP1DE交x軸于P1點,設P1(a,0)易知D點坐標為(-2,0)由RtAODRtPOA得即,a=,P1(,0);()同理,當E為直角頂點時,P2點坐標為(,0);()當P為直角頂點時,過E作EFx軸于F,設P3(b、3)由OPA+FPE=90°,得OPA=FEP,RtAOPRtPFE由得,解得,此時的點P3的坐標為(1,0)或(3,0)綜上所述,滿足條件的點P的坐標為(,0)或(1,0)或(3,0)或(,0);()拋物線的對稱軸為,B、C關于

5、對稱,MC=MB,要使最大,即是使最大,由三角形兩邊之差小于第三邊得,當A、B、M在同一直線上時的值最大,易知直線AB的解折式為y=-x+1,由得, M。2、 如圖,已知拋物線yax 2bxc與y軸交于點A(0,3),與x軸分別交于B(1,0)、C(5,0)兩點(1)求此拋物線的解析式;(2)若一個動點P自OA的中點M出發(fā),先到達x軸上的某點(設為點E),再到達拋物線的對稱軸上某點(設為點F),最后運動到點A求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標,并求出這個最短總路徑的長OyxABC解:(1)根據(jù)題意,c=3所以 解得 所以拋物線解析式為。(3)如圖,由題意,可得M(0,)點M關于x軸的對

6、稱點為M'(0,-)點A關于拋物線對稱軸x=3的對稱點為A'(6,3),連結A'M'根據(jù)軸對稱性及兩點間線段最短可知,A'M'的長就是所求點P運動的最短總路徑的長所以A'M'與x軸的交點為所求E點,與直線x=3的交點為所求F點可求得直線A'M'的解析式為y=可得E點坐標為(2,0),F(xiàn)點坐標為(3,)由勾股定理可求出A'M'=所以點P運動的最短總路徑(ME+EF+FA)的長為。3、 已知,如圖11,二次函數(shù)圖象的頂點為,與軸交于、兩點(在點右側),點、關于直線:對稱.(1)求、兩點坐標,并證明點在直

7、線上;(2)求二次函數(shù)解析式;(3)過點作直線交直線于點,、分別為直線和直線上的兩個動點,連接、,求和的最小值.圖11備用圖解:(1)依題意,得ax2+2ax-3a=0(a0),解得x1=3,x2=1,B點在A點右側,A點坐標為(3,0),B點坐標為(1,0),證明:直線l:,當x=3時,  點A在直線l上;(2)點H、B關于過A點的直線l:對稱,AH=AB=4,過頂點H作HCAB交AB于C點,則, 頂點,代入二次函數(shù)解析式,解得, 二次函數(shù)解析式為,(3)直線AH的解析式為,直線BK的解析式為,由,解得,即,則BK=4,點H、B關于直線AK對稱, HN

8、+MN的最小值是MB,過點K作直線AH的對稱點Q,連接QK,交直線AH于E,則QM=MK,AEQK, BM+MK的最小值是BQ,即BQ的長是HN+NM+MK的最小值, BKAH, BKQ=HEQ=90°,由勾股定理得QB=8, HN+NM+MK的最小值為8,4、如圖13,拋物線y=ax2bxc(a0)的頂點為(1,4),交x軸于A、B,交y軸于D,其中B點的坐標為(3,0)。(1)求拋物線的解析式(2)如圖14,過點A的直線與拋物線交于點E,交y軸于點F,其中E點的橫坐標為2,若直線PQ為拋物線的對稱軸,點G為PQ上一動點,則x軸上是否存在一點

9、H,使D、G、F、H四點圍成的四邊形周長最小.若存在,求出這個最小值及G、H的坐標;若不存在,請說明理由.(3)如圖15,拋物線上是否存在一點T,過點T作x的垂線,垂足為M,過點M作直線MNBD,交線段AD于點N,連接MD,使DNMBMD,若存在,求出點T的坐標;若不存在,說明理由.解:(1)設所求拋物線的解析式為:,依題意,將點B(3,0)代入,得:解得:a1所求拋物線的解析式為:(2)如圖6,在y軸的負半軸上取一點I,使得點F與點I關于x軸對稱,在x軸上取一點H,連接HF、HI、HG、GD、GE,則HFHI設過A、E兩點的一次函數(shù)解析式為:ykxb(k0),點E在拋物線上且點E的橫坐標為2

10、,將x2代入拋物線,得點E坐標為(2,3)又拋物線圖像分別與x軸、y軸交于點A、B、D當y0時,x1或x3當x0時,y143,點A(1,0),點B(3,0),點D(0,3) 又拋物線的對稱軸為:直線x1,   點D與點E關于PQ對稱,GDGE  分別將點A(1,0)、點E(2,3)代入ykxb,得:     解得: 過A、E兩點的一次函數(shù)解析式為:yx1 當x0時,y1  點F坐標為(0,1)=2   又點F與點I關于x軸對稱

11、,  點I坐標為(0,1)   又要使四邊形DFHG的周長最小,由于DF是一個定值,只要使DGGHHI最小即可由圖形的對稱性和、,可知,DGGHHFEGGHHI只有當EI為一條直線時,EGGHHI最小設過E(2,3)、I(0,1)兩點的函數(shù)解析式為:,分別將點E(2,3)、點I(0,1)代入,得:  解得:過A、E兩點的一次函數(shù)解析式為:y2x1當x1時,y1;當y0時,x;  點G坐標為(1,1),點H坐標為(,0)四邊形DFHG的周長最小為:DFDGGHHFDFEI由和,可知: DFEI 四邊形DFHG的周長最小為。 

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