向量基礎知識及應用

1、向量基礎知識及應用基本知識：1. 向量加法的定義及向量加法法則（三角形法則、平行四邊形法則）；2. 向量減法的定義及向量減法法則（三角形法則、平行四邊形法則）；3. 實數(shù)與向量的積. 向量共線的充要條件 ：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù),使得=。4. 向量和的數(shù)量積：·=| |·|cos，其中為和的夾角。向量在上的投影：|cos，其中為和的夾角 ·=05. 向量的坐標表示: ; 若向量，則 |；若P1（，）、P2（，），則 ; |= 6. 向量的坐標運算及重要結論： 若 =（，）, =（，）, 則 +=0 cos= （為向量的夾角）7. 點P分有向

2、線段所成的比的： ，或 P內(nèi)分線段時, ; P外分線段時, .8. 定比分點坐標公式： ，中點坐標公式：9. 三角形重心公式及推導（見課本例2）： 三角形重心公式：10. 圖形平移：設F是坐標平面內(nèi)的一個圖形，將F上所有的點按照同一方向移動同樣長度(即按向量平移)，得到圖形F，我們把這一過程叫做圖形的平移。平移公式： 或 平移向量=（h，k）應用：1利用向量的坐標運算，解決兩直線的夾角，判定兩直線平行、垂直問題例1已知向量滿足條件，求證：是正三角形解：令O為坐標原點，可設由，即兩式平方和為，由此可知的最小正角為，即與的夾角為，同理可得與的夾角為，與的夾角為，這說明三點均勻分部在一個單位圓上，所

3、以為等腰三角形.例2 求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角 的度數(shù)解：如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為軸、軸建立直角坐標系，設，則，從而可求：,=. .2利用向量的坐標運算，解決有關線段的長度問題例3已知，AD為中線，求證證明：以B為坐標原點，以BC所在的直線為軸建立如圖2直角坐標系，設，則，.=，從而，.3利用向量的坐標運算，用已知向量表示未知向量例4 已知點是且試用解：以O為原點，OC，OB所在的直線為軸和軸建立如圖3所示的坐標系.由OA=2，所以，易求，設.例5 如圖，用表示解：以O為坐標原點，以OA所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，則，.4利用向量的數(shù)量積解決兩直

4、線垂直問題例6 求證：三角形的三條高交于同一點 分析如圖，已知中，由，要證明利用向量法證明，只要證得即可；證明中，要充分利用好，這兩個條件. 證明：在上，而 ，即 又，即 -得： ， 即從而， .5利用向量的數(shù)量積解決有關距離的問題，距離問題包括點到點的距離，點的線的距離，點到面的距離，線到線的距離，線到面的距離，面到面的距離.例7 求平面內(nèi)兩點間的距離公式 分析已知點求兩點間的距離這時，我們就可以構造出向量，那么而，根據(jù)向量模的公式得，從而求得平面內(nèi)兩點間的距離公式為. 解：設點 ， ,而 點與點之間的距離為：6.利用向量的數(shù)量積解決線與線的夾角及面與面的夾角問題.例8 證明: 分析如圖，在單位圓上任取兩點,以為始邊，為終邊的角分別為，設出兩點的坐標，即得到的坐標，則為向量的夾角；利用向量的夾角公式，即可得證. 證明：在單位圓上任取兩點，以為始邊，以為終邊的角分別為，則點坐標為點坐標為；則向量，它們的夾角為，,由向量夾角公式得：,從而得證.注：用同樣的方法可證明7.利用向量的數(shù)量積解決有關不等式、最值問題.例9 證明柯西不等式 證明：令（1） 當或時，結論顯然成立；（2） 當且