命題與簡易邏輯

1、簡易邏輯知識梳理命題與邏輯連接詞；1用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假、的陳述句稱為命題 其中判斷為真的語句稱為真命題，判斷為假的語句稱為假命題2邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”與集合中的并集、交集、補集有著密切的關(guān)系，解題時注意類比；3不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題稱為_；有時一個命題的敘述方式比較的簡略，此時應(yīng)先分清條件和結(jié)論，該寫成“若，則”的形式；4含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題稱為_，復(fù)合命題有三種形式_, , 符號表示_, _, _通常復(fù)合命題的否定“或”的否定為“且”、 “且”的否定為“或”、 “全為”的否定是“不全為”、 “都是”的否定為“不都是”等等5三種復(fù)合命題的真值表：（1）“p且q”： 一

2、假即假（2）“p或q”： 一真即真（3）“非p”： 真假相反 6短語“_對所有的”、“對任意一個” 邏輯中稱為全稱量詞，并用符號“_” 表示。 7短語“存在一個”、“_至少有一個” 邏輯中稱為存在量詞，并用符號“” 表示。 8含有全稱量詞的命題稱為全稱命題_；含有存在量詞的命題稱為_特稱命題_.9全稱命題形式：；特稱命題形式：。 其中M為給定的集合， 特別提醒：全稱命題p：的否定p：；全稱命題的否定為特稱命題特稱命題p：的否定p：；特稱命題的否定為全稱命題其中p(x)是一個關(guān)于的命題。10、四種命題及關(guān)系；（1）如果第一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論_和條件_，那么這兩個命題叫互逆命

3、題. （2）如果第一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定 和結(jié)論的否定，那么這兩個命題叫互否命題. （3）如果第一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定_ 和_條件的否定_，那么這兩個命題叫互否命題. 特別提醒：可以發(fā)現(xiàn)：（1）原命題、逆命題、否命題、逆否命題的關(guān)系如下圖所示：原命題若p則q逆命題若q則p否命題若非p則非q逆否命題若非q則非p 互逆 互 互 互 為 為 互 否 逆 逆 否否 否 互逆（2）互為逆否命題的真假性是一致的, 互逆命題或互否命題真假性沒有關(guān)系.一般地，把條件的否定和結(jié)論的否定，分別記為“”和“”，則命題的四種形式可寫為： 原命題： “若若” 逆命題：

4、 “若若” 否命題： “若 是 ” 逆否命題： “若 是 ”11充要條件；判斷方法：（1）定義法： p是q的充分不必要條件 p是q的必要不充分條件 p是q的充要條件 p是q的既不充分也不必要條件如果“若則”為真, 記為, 如果“若則”為假, 記為.若則是的充分, 是的必要_ （2）集合法： 設(shè)P=p, Q=q, 若_ PQ, 則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件. 若_ P=Q _，則p是q的充要條件（q也是p的充要條件）. 若_ P Q且Q P _， 則p是q的既不充分也不必要條件. 12. 用反證法證明的一般步驟是： (1) 反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；(

5、2) 歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；(3) 結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.特別提醒：1、適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題：(1) 結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)的命題.(2)關(guān)于唯一性、存在性的的命題.(3)結(jié)論以“至多”，“至少”等形式出現(xiàn)的命題.(4)結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體或更易于研究的命題.2. 用反證法證明引出矛盾的四種常見形式: (1)與定義、公理、定理矛盾. (2)與已知條件矛盾.(3)與假設(shè)矛盾.(4)自相矛盾. （三）例題分析：考點一。邏輯聯(lián)結(jié)詞與四種命題題型1。判斷簡單命題及真假例1下列語句中哪些是命題？其中哪些是真命題？ 等腰直角三角形難道不是直角三角

6、形嗎？”；“平行于同一平面的兩條直線必平行嗎？”；“一個數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)”；“今天的天氣多好?。　?；“為有理數(shù)，則、也都是有理數(shù)”； “作”.一般地, 陳述句、反問句都是命題，而疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題.例2下列四個命題中，真命題的個數(shù)為（ ）A（1）若兩平面有三個公共點，則這兩個平面重合；（2）兩條直線可以確定一個平面；（3）若；（4）空間中，相交與同一點的三條直線在同一平面內(nèi)。A.1 B.2 C.3 D.4例3你能將把下列命題寫成“若若”的形式，并判斷其真假嗎?(1) 實數(shù)的平方是非負(fù)數(shù). (2) 等底等高的兩個三角形是全等三角形.(3) 能被6整除的數(shù)既能被3整除也能被2整除.

7、(4) 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心, 并平分弦所對的弧.題型2 （1）邏輯聯(lián)結(jié)詞 “非”的含義 例4寫出下列命題p的非(否定)。（1）p：100既能被4整除又能被5整除（2）p：三條直線兩兩相交（3）p：一元二次方程至多有兩個解（4）p：（5） “矩形的對角線相等”的否定是_ 寫出命題的非（否定），需要對其正面敘述的詞語進(jìn)行否定，常用正面敘述詞語及它的否定列舉如下：正面詞語且小于（<）都是都不是至少n個至多n個否定詞語或不小于（）不都是至少有一個是至多n1個至少n+1個正面詞語任意的所有的有無窮多個存在唯一的對任意p，使恒成立否定詞語某個某些只有有限多個不存在或至少存在兩個至少有一個p，使不

8、成立（2）命題的否定與命題的否命題的區(qū)別例5 寫出命題：“若，則”的否定與否命題，并加以區(qū)別。（3）全稱量詞與存在量詞例6：寫出命題“若，則”的否定題型3. 指出復(fù)合命題的形式及構(gòu)成它的簡單命題，反之能寫出“p或q”“p且q”“非p”形式的復(fù)合命題，判斷復(fù)合命題的真假例7 分別指出下列復(fù)合命題的形式及構(gòu)成它的簡單命題: （1）3是質(zhì)數(shù)或合數(shù). （2）他是運動員兼教練員. （3）相似三角形不一定是全等三角形. 例8 分別寫出下列各組命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”“非p”形式的復(fù)合命題： （1）p：連續(xù)的三個整數(shù)的乘積能被2整除， q：連續(xù)的三個整數(shù)的乘積能被3整除.（2）p：對角線互相垂直的四邊

9、形是菱形， q：對角線互相平分的四邊形是菱形. 例9 寫出由下述各命題構(gòu)成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題，并指出所構(gòu)成的這些復(fù)合命題的真假。（1）p：5是17的約數(shù)，q：5是15的約數(shù).（2）p：方程x21=0的解是x=1, q：方程x21=0的解是x=1,（3）p：不等式的解集為R，q：不等式的解集為題型4: 判斷命題是全稱命題還是特稱命題。判斷全稱命題或特稱命題的真假 例10 判斷下列語句是不是命題，如果k，是，說明是全稱命題還是特稱命題. (1) 任何一個實數(shù)除以1，仍等于這個數(shù)； (2) 三角函數(shù)都是周期函數(shù)嗎？(3) 有一個實數(shù)，不能取倒數(shù)；(4) 有的三角形內(nèi)角和

10、不等于 例11 設(shè)A、B為兩個集合.下列四個命題： AB對任意xA，有xB； ABAB=； ABAB； AB存在xA，使得xB.其中真命題的序號是_.（把符合要求的命題序號都填上）題型5。寫出一個命題的逆命題、否命題、逆否命題例12 寫出下述命題逆命題、否命題、逆否命題.（1）若，則全為0 .（2）若是偶數(shù)，則都是偶數(shù).（3）若，則題型6。四種命題間的關(guān)系，命題真假的判斷例13若a、b、cR，寫出命題“若ac0，則ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷這三個命題的真假例14下列四個命題中真命題有哪幾個?“若xy=1，則x、y互為倒數(shù)”的逆命題 “面積相等的

11、三角形全等”的否命題 “若m1，則方程x22x+m=0有實根”的逆否命題 “若AB=B，則AB”的逆否命題例15你能判斷下列命題的真假嗎?（1）已知若（2）若無實數(shù)根。題型7。由命題真假確定參數(shù)范圍例16 已知設(shè)命題P：函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減.；命題Q：不等式的解集為R，若P或Q是真命題，“P且Q”是假命題，求實數(shù)c的取值范圍.考點二充要條件及其判定題型1:利用定義作判斷例1在中，“”是“”的 A充分而不必要條件 B 必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件例2(1)已知h>0，設(shè)命題甲為：兩個實數(shù)a、b滿足，命題乙為：兩個實數(shù)a、b滿足且，那么 A甲是乙的充分但不必要

12、條件 B甲是乙的必要但不充分條件C甲是乙的充要條件 D甲是乙的既不充分也不必要條件(2)已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q成立的 ( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件題型2: 從集合思想或利用逆否命題判定例3 “成立”是“成立”的( ) A充分不必要條件 B.必要不充分條件 C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 例4指出下列各組命題中，是的什么條件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中選一種作答） （1）對于實數(shù)，或（2）在中，（3）已知，（4） “” “” 例5若，則成立的一個充分不必

13、要的條件是（ ）A.B. C. D.課后作業(yè)練習(xí)（1）1. 下列語句中命題的個數(shù)是( ) 地球是太陽系的一顆行星； ； 這是一顆大樹； ； 老年人組成一個集合； A1 B2 C3 D42以下命題： 二直線平行的充要條件是它們的斜率相等； 過圓上的點與圓相切的直線方程是； 平面內(nèi)到兩定點的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓； 拋物線上任意一點到焦點的距離都等于點到其準(zhǔn)線的距離。其中正確命題的標(biāo)號是 。3.命題“若0，則”的逆命題是 4命題“”的否命題是 （ ） A. B. C. D.5命題：“設(shè)、，若則”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為（ ）A0 B1 C2 D36命題：“若，則

14、”的逆否命題是（ ）A若，則 B.若，則C.若，則 D. .若，則7判斷下列語句是不是命題，如果k，是，說明是全稱命題還是特稱命題.(1) 中國的所有江河都流入太平洋； (2) 不能作除數(shù)；(3) 有一個實數(shù)，不能取對數(shù)；(4) 每一個向量都有方向嗎？8設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，有下列三個命題：若存在常數(shù)M，使得對任意xR，有f（x）M，則M是函數(shù)f（x）的最大值； 若存在x0R，使得對任意xR，且xx0，有f（x）f（x0），則f（x0）是函數(shù)f（x）的最大值；若存在x0R，使得對任意xR，有f（x）f（x0），則f（x0）是函數(shù)f（x）的最大值.這些命題中，真命題的個數(shù)是A.0 B.1

15、C.2 D.39下列全稱命題中真命題為( ) A. 一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù) B. 是有理數(shù) C. 任何一條直線都有斜率 D. 10下列特稱命題中假命題為( ) A. 空間中過直線外一點有且僅有一條直線與該直線垂直 B. 僅存在一個實數(shù),使得成等比數(shù)列 C. 存在實數(shù)滿足,使得的最小值是6 D. 恒成立11用反證法證明：“已知x、yR，x+y2，求 證x、y中至少有一個大于1”. 則所作的反設(shè)是 12寫出命題“乘積為奇數(shù)的兩個整數(shù)都不是偶數(shù)”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷真假.課后作業(yè)練習(xí)（2）1函數(shù)f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)的充要條件是( )A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a

16、2+b2=02. “a=1”是函數(shù)y=cos2axsin2ax的最小正周期為“”的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既非充分條件也不是必要條件3 “a+b4且ab4”是“a2且b2”的 （ ）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4若是常數(shù), 則“且”是“對任意,有”的 （ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件，條件：在內(nèi)是增函數(shù)，則是的A充要條件 B充分不必要條件 C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件6ABC中“”是“ABC為鈍角三角形”的（ ）A必要不充分條件 B充分不必要條件 C充要條件D既不充分也不必要7函數(shù)有極值的充要條件是 （ ）A B C D8“” 是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的 （ ） A充分條件不必要 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件9設(shè)集合，那么“”是“”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件10設(shè)、是方程的兩個實根。那么“且”是“兩根、均大于”的（ ） A充分但不必要條件 B必要但不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件11.一元二次方程有一個正根和一個