華師大版數(shù)學九上第22章一元二次方程全章學案

1、23.1 一元二次方程 學案學習目標：1、會根據(jù)具體問題列出一元二次方程，體會方程的模型思想，提高歸納、分析的能力。2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；會把一個一元二次方程化為一般形式；會判斷一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。課堂研討：探究新知【例1】小明把一張邊長為10cm的正方形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子，如果要求長方體的底面積為81cm,那么剪去的正方形的邊長是多少？設剪去的正方形的邊長為xcm，你能列出滿足條件的方程嗎？你是如何建立方程模型的？合作交流動手實驗一下，并與同桌交流你的做法和想法。 列出的方程是 .自

2、主學習 【做一做】根據(jù)題意列出方程：1、一個正方形的面積的2倍等于50，這個正方形的邊長是多少？2、一個數(shù)比另一個數(shù)大3，且這兩個數(shù)之積為這個數(shù)，求這個數(shù)。3、一塊面積是150cm長方形鐵片，它的長比寬多5cm,則鐵片的長是多少？觀察上述四個方程結構特征，類比一元一次方程的定義，自己試著歸納出一元二次方程的定義?！疚覍W會了】1、只含有 個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 ，這樣的 方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式： ,其中 二次項， 是一次項， 是常數(shù)項， 二次項系數(shù) ， 一次項系數(shù)。展示反饋【挑戰(zhàn)自我】判斷下列方程是否為一元二次方程?！纠?】 將下列一元二次方程化為一般形式，

3、并分別指出它們的二次項、一次項和常數(shù)項及它們的系數(shù)。 （1） （2）【挑戰(zhàn)自我】1、將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并分別指出它們的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：（1）3x2x=2； （2）7x3=2x2;（3）(2x1)3x(x2)=0 （4）2x(x1)=3(x5)4.2、判斷下列方程后面所給出的數(shù)，那些是方程的解；（1） ±1 ±2；（2） ±2， ±43、要使是一元二次方程，則k=_.4、已知關于x的一元二次方程有一個解是0，求m的值。拓展提高1、已知關于x的方程。問（1）當k為何值時，方程為一元二次方程？（2）當k為何值時，方程為一元一

4、次方程？歸納小結1、本節(jié)課我們學習了哪些知識？2、學習過程中用了哪些數(shù)學方法？3、確定一元二次方程的項及系數(shù)時要注意什么？作業(yè)：課本第19頁習題23.1第1、2、3題。課后反思：一元二次方程的解法（一）教學目標1.會用直接開平方法解形如（a0,a0）的方程；2.靈活應用直接開平方法解一元二次方程。3.使學生了解轉化的思想在解方程中的應用。研討過程一、復習導學1.什么叫做平方根?2.平方根有哪些性質？二、探索新知試一試：解下列方程，并說明你所用的方法，與同伴交流。（1）x2=4 （2）x2-1=0解（1）x是4的平方根x 即原方程的根為： x1= ，x2 = （2）移向，得x2=1 x是1的平方

5、根x= 即原方程的根為： x1= ，x2 = 概括總結：就是把方程化為形如x2=a（a0）或（a0,a0）的形式，然后再根據(jù)平方根的意義求解的過程，叫做直接開平方法解一元二次方程。如：已知一元二次方程mx2+n=0(m0),若方程可以用直接開平方法求解，且有兩個實數(shù)根，則m、n必須滿足的條件是（ ）A.n=0 B.m、n異號 C.n是m的整數(shù)倍 D.m、n同號 例1解下列方程（1）x2-1.21=0 （2）4x2-1=0 解：（1）移項，得x2= （2）移項，得4x2= x是 的平方根 兩邊都除以4，得 x= x是 的平方根 即原方程的根為： x1= ，x2 = x= 即原方程的根為： x1=

6、 ，x2 = 例2解下列方程： （x1）2= 2 （x1）24 = 0 12（32x）23 = 0 練一練：1.解下列方程：（1）x2-0.81=0 （2）9x2=4 2.解下列方程：（1）（x+2）2 =3 （2）（2x+3）2-5=0（3）（2x-1）2 =（3-x）2 4、一個正方形的面積是100cm2， 求這正方形的邊長是多少？課堂小結：1. 能用直接開平方法解的一元二次方程有什么特點？ 2.任意一個一元二次方程都能用直接開平方法求解嗎？請舉例說明。課后反思：一元二次方程的解法（二）教學目標1、 會用直接開平方法解形如（a0,a0）的方程；2、 靈活應用因式分解法解一元二次方程。3、

7、使學生了解轉化的思想在解方程中的應用，滲透換遠方法。研討過程一 、 復習練習：1、 什么是直接開平方法？請舉例說明。2、 你能解以下方程嗎？（1）8x2= 1 （2)3y218=0 （3) x(x-1)+4x=0 （4）3x2 27=0二、例題講解與練習你是怎樣解方程的？解：1、直接開平方，得x+1= 所以原方程的解是x1 ，x2 2、原方程可變形為方程左邊分解因式，得（x+1+16） =0即可（x+17） =0所以x17=0， =0原方程的蟹 x1 ，x2 練習： 解下列方程 （1）（x1）240； （2）12（2x）290.（3）（x2）2160； （4）(x1)2180；（5）(13x)

8、21； （6）(2x3)2250.三、讀一讀小張和小林一起解方程 x（3x2）6(3x2)0.小張將方程左邊分解因式，得(3x2)(x6)0,所以 3x20,或x60.方程的兩個解為x1， x26.小林的解法是這樣的：移項，得 x(3x2)6(3x2),方程兩邊都除以（3x+2），得 x6.小林說:“我的方法多簡便！”可另一個解x1哪里去了？小林的解法對嗎？你能解開這個謎嗎？四、討論、探索：解下列方程 （1）(x+2)2=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2)2 -x+2 =0 （4）(2x+1)2=(x-1)2 （5）。練習：解下列方程1) 2 (x+3)2=6(x

9、+3) 2) (2x+3)2=(4-2x)2 3) x(3x+1)=9x+3本課小結這節(jié)課你學到了什么？你認為應該注意哪些？布置作業(yè)：習題1（5、6）習題2（1、2）課后反思：23.2.2一元二次方程的解法（因式分解法）隨堂檢測1. 一元二次方程的解是_.A. B. C. D. 2. 方程的根是_.A. B. C. D. 3. 當_時，是關于的完全平方式.4. 下列方程中，不適合用因式分解法的是_.A. B. C. D. 典例分析 用因式分解法解方程：解：，則，所以。拓展提高1. 用因式分解法解下列一元二次方程 （1）（2）（3）（4）2. 已知方程的一個根為-1，那么方程的根為_A. B.

10、C. D. 以上答案都不對3. 如果，則的值為_.4. 以1和3為兩根的一元二次方程是_.5. 用因式分解法解下列方程。（1）（2）6. 已知，求的值。一元二次方程的解法（三）配方法學習目標：1、熟練掌握完全平方公式，會將一個二次三項式配成一個完全平方2、理解配方法的根據(jù)就是直接開平方。3、會用配方法解一元二次方程。注意變形形式的求解學習過程：一、 復習回顧：12999 . c o m1、若x2=a(a0)，則x =_.若（x+1）2=a(a0)，則x =_，即 x1_，x2_.直接開平方法解一元二次方程要求方程左邊是一個含有未知數(shù)的 ，右邊是一個 。2、解方程：（1）、 （2）、 3、思考下

11、面方程如何求解，并思考它們之間的聯(lián)系 （1）、 （2）、 二、 新課研討：1、 象上面的方程求解，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方法是為了 ，把一個一元二次方程轉化為兩個 來解。2、配方法是將方程左邊變成含有未知數(shù)的 ，右邊是 ，再用直接開平方法求解。3、例1、在空格處填上適當?shù)臄?shù)字，使式子成為完全平方。（1）、+ = ）； （2）、+ +25= ）（3）、+ =3 ） （4）、+ =2 ）練習1、填空配方代數(shù)式寫成形式寫成形式+ 4 總結：（1）、 要配成完全平方，橫線上只需加上 ，就可以配成完全平方 ）（2）、對于二次項系數(shù)不為1的情況，可以先將系數(shù)變?yōu)?，再進

12、行配方。例2、解下列方程（1）、 （2）、 （3）、練習2、（1）、 （2）、（3）、 （4）、（5）、 （6）、作業(yè)：課后反思：23.2.3一元二次方程的解法（配方法）練習隨堂檢測1.將一元二次方程化成的形式，則等于_.A.-4 B. 4 C.-14 D. 142. .3. 二次三項式的最小值為_.4. 若方程可化為，則=_，=_.5. 方程配方后得=_.課下作業(yè)6. 當=_時，有最大值，這個最大值是_.7. 如果、是ABC的三邊，且滿足式子，請指出ABC的形狀，并給出論證過程.8. 說明代數(shù)式總大于.9. 用配方法解下列方程（1） （2）（3）體驗中考1.（2009年山西太原）用配方法解方

13、程時，原方程應變形為（ ）A BCD 2.（2009年湖北仙桃）解方程：3.（2008杭州）已知方程可以配成的形式，那么可以配成下列的_A. B. C. D. 23.2 .4一元二次方程的解法(四)教學目標1、使學生熟練地應用求根公式解一元二次方程。2、使學生經(jīng)歷探索求根公式的過程，培養(yǎng)學生抽象思維能力。3、在探索和應用求根公式中，使學生進一步認識特殊與一般的關系，滲透辯證唯物廣義觀點。研討過程一、復習舊知，提出問題1.用配方法解下列方程： （1） (2)2.用配方解一元二次方程的步驟是什么？3.用直接開平方法和配方法解一元二次方程，計算比較麻煩，能否研究出一種更好的方法，迅速求得一元二次方程

14、的實數(shù)根呢？二、探索解法問題1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程轉化為嗎？ 因為，方程兩邊都除以，得 移項，得 配方，得 即 問題2：當，且時，大于等于零嗎？得出結論：當時，因為，所以，從而。問題3：在研究問題1和問題2中，你能得出什么結論？ 得出結論，當時，一般形式的一元二次方程的根為，即。 由以上研究的結果，得到了一元二次方程的求根公式： （） 這個公式說明方程的根是由方程的系數(shù)、所確定的，利用這個公式，我們可以由一元二次方程中系數(shù)、的值，直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。 思考：當時，方程有實數(shù)根嗎？三、例題例1、解下列方程： 1、； 2、； 3、； 4、 例2、解方程

15、解：這里， 因為負數(shù)不能開平方，所以原方程無實數(shù)根。如：不解方程，判斷下列方程根的情況：（1） （2）隨堂檢測1.若關于的方程有實數(shù)解，則得取值范圍是_A. B. C. D. 2. 方程的根是_A. B. C.無實根 D. 3. 如果關于的方程有兩個相等的實數(shù)根，那么=_4. 若關于的方程沒有實數(shù)根，則得取值范圍是_5. 下列方程中，沒有實數(shù)根的是_A. B. C. D. 6. 已知兩數(shù)的積是12，兩數(shù)的平方和是25，則這兩個數(shù)的和為_7. 用公式法解一元二次方程。（1） （2）課堂小結：當時，方程有兩個 的實數(shù)根；當時，方程有兩個 的實數(shù)根；當時，方程 實數(shù)根。課堂作業(yè)：課本28頁練習題課后

16、反思：一元二次方程的解法(五)教學目標1、使學生能根據(jù)量之間的關系，列出一元二次方程的應用題。2、提高學生分析問題、解決問題的能力。3、培養(yǎng)學生數(shù)學應用的意識。研討過程一、復習舊知，提出問題1、敘述列一元一次方程解應用題的步驟。2、用多種方法解方程二、解決問題請同學們先看看18頁問題1，要想解決§23.1的問題1，首先要解方程，同學誰能解這個方程嗎？口答結果：x1= x2= , 提問：1、所求、都是所列方程的解嗎？2、所求、都符合題意嗎？說明了什么問題？我們應把實際問題轉化為數(shù)學問題來解決，求得的方程的解，不一定是原問題的解答，因此，要注意是檢驗解是否符合題意。（作為應用題，還應作答

17、）。三、例題例1如圖，一塊長和寬分別為60厘米和40厘米的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體水槽，使它的底面積為800平方米.求截去正方形的邊長。分析：設截去正方形的邊長x厘米，底面（圖中虛線線部分）長等于 厘米，寬等于 厘米，底面= 。解：設截去正方形的邊長為x厘米，根據(jù)題意，得 解方程得 經(jīng)檢驗， 不符合題意，應舍去，符合題意的解是 答：截去正方形的邊長為 厘米。合作交流：列一元二次方程解應用題的步驟： 。三、課堂練習1.學校生物小組有一塊長32m，寬20m的矩形試驗田，為了管理方便，準備沿平行于兩邊的方向縱、橫各開辟一條等寬的小道要使種植面積為540，小

18、道的寬應是多少？2.用一塊長80cm、寬60cm的薄鋼片，在四個角上截去四個相同的邊長為xcm的小正方形，然后做成底面積為1500cm的無蓋長方體盒子。為求出x，根據(jù)題意，列方程并整理得（ ）A、x-70x+825=0 B、x+70x-825=0C、x-70x-825=0 D、x+70x+825=03.要用一條長為24cm的鐵絲圍成一個斜邊長為10cm的直角三角形，則兩條直角邊的長分別為（ ）A、4cm，8cm B、6cm，8cm C、4cm，10cm D、7cm，7cm課后延伸：（典型習題）1、臺門中學為美化校園，準備在長32米，寬20米的長方形場地上，修筑若干條道路，余下部分作草坪，并請全

19、校學生參與圖紙設計現(xiàn)有三位學生各設計了一種方案（圖紙如下所示），問三種設計方案中道路的寬分別為多少米？甲方案圖紙為圖1，設計草坪總面積540平方米解：設道路寬為米，根據(jù)題意，得答：本方案的道路寬為 米乙方案圖紙為圖2，設計草坪總面積540平方米解：設道路寬為米，根據(jù)題意，得答：本方案的道路寬為 米圖丙方案圖紙為圖3，設計草坪總面積570平方米解：設道路寬為米，根據(jù)題意，得答：本方案的道路寬為 米四、小結讓學生反思、歸納、總結，應用一元二次方程解實際問題，要認真審題，要分析題意，找出數(shù)量關系，列出方程，把實際問題轉化為數(shù)學問題來解決。求得方程的解之后，要注意檢驗是否任命題意，然后得到原問題的解答。五、作業(yè)：練習1、2課后反思:一元二次方程的解法(六)教學目標1、使學生會列出一元二次方程解有關變化率的問題。2、培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，提高數(shù)學應用的意識。研討過程一、創(chuàng)設問題情境百分數(shù)的概念在生活中常常見到，而量的變化率更是經(jīng)濟活動中經(jīng)常接觸，下面，我們就來研究這樣的問題。問題：某商品經(jīng)兩次降價，零售價降為原來的一半，已知兩次降價的百分率一樣。求每次降價的百分率。（精確到0.1%）二、探索解決問題 分析：“兩次降價的百分率一樣”，指的是第一次和第