同濟六版高數(shù)練習(xí)冊答案第九章重積分

1、第九章 重積分§1二重積分的概念與性質(zhì)1 根據(jù)重積分的性質(zhì)，比較下列積分的大小.與，其中積分區(qū)域是：(1)以，為頂點的三角形區(qū)域；解：在以，為頂點的三角形區(qū)域內(nèi)顯然有故在三角形區(qū)域內(nèi)即，351故(2)矩形區(qū)域：.解：矩形區(qū)域：內(nèi)顯然有故在矩形區(qū)域內(nèi)即，故2利用二重積分的性質(zhì)，估計下列積分的值.（1），其中是矩形區(qū)域：；解：在矩形區(qū)域：內(nèi)，故，即：得（2），其中.解：在中，即得2 設(shè)是平面上有界閉區(qū)域，在上連續(xù)。證明若在上非負(fù)，且，則在上證明：若不恒為零，則不妨設(shè)有內(nèi)點使得，由在連續(xù)得，故對，存在的某個領(lǐng)域，使得有即在上。故其中為的面積。這與矛盾，故在上§2 二重積分的計算1

2、畫出下列積分區(qū)域的草圖，并將區(qū)域分別用不等式表示為型區(qū)域以及型區(qū)域的形式.1-1（1）由直線：圍成；型區(qū)域2型區(qū)域（2）由曲線圍成；型區(qū)域1212型區(qū)域（3）由圍成；型區(qū)域,型區(qū)域（4）.X-型區(qū)域；Y-型區(qū)域，其中，2計算下列二重積分（1），由，所圍成；解：法一。法二11-11-1（2），；解：311-1（3），由曲線與所圍成；解：法二：關(guān)于軸對稱，函數(shù)即關(guān)于是偶函數(shù)。故，其中（4），.解：記住公式：（5），由，和所圍成；12解：；3化二重積分為兩種不同積分次序的二次積分，其中積分區(qū)域為：44（1）由所圍成的閉區(qū)域；型區(qū)域，故=型區(qū)域，故=（2）由軸及上半圓周所圍成的閉區(qū)域；型區(qū)域，故=型區(qū)

3、域，故=（3）環(huán)形閉區(qū)域：.型區(qū)域故=型區(qū)域故=11（的極坐標(biāo)為故）4計算下列二次積分（1）；解：設(shè)，則124（2）.解：設(shè)，則125改變下列二次積分的積分次序.（1）；解：設(shè)=（2）642解：設(shè)=6如果二重積分的被積函數(shù)能分解為的函數(shù)與的函數(shù)的乘積，即，且積分區(qū)域為矩形區(qū)域：，證明二重積分等于兩個定積分的乘積，即證明：.7把二重積分化為極坐標(biāo)系下的二次積分，其中積分區(qū)域分別為：4（1）；解：區(qū)域的極坐標(biāo)表示為：。故=（2）；1解：區(qū)域的極坐標(biāo)表示為：。故=（3）.解：區(qū)域的極坐標(biāo)表示為：。故=8計算下列二重積分(1)，其中是圓域在第一象限部分；分析用極坐標(biāo)表示簡單，且被積函數(shù)為的函數(shù)，選擇極

4、坐標(biāo)計算。解：，則(2)，由曲線所圍成的閉區(qū)域；分析：雖然積分區(qū)域是圓域，但這個圓域用極坐標(biāo)表示較為困難。故直接用極坐標(biāo)不方便。（采用換元法）解：令則，其中由曲線所圍成的閉區(qū)域。法一：利用對稱性法二：利用極坐標(biāo)(3)，其中是由圓周及直線所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.解：，則9選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計算下列各題：1212（1），其中是由直線及曲線所圍成的閉區(qū)域；解：將寫成型區(qū)域，則（2），由曲線以及直線圍成；解：關(guān)于軸對稱，且被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，故。（注意：若寫成極坐標(biāo)為1-122）（3），為矩形區(qū)域：；（提示考慮在定義域中添加輔助曲線，去除絕對值號）解：D1D2aa計算，令令故10設(shè)在上連續(xù)，證明：

5、（提示：利用積分的性質(zhì)和題6的結(jié)論）證明：其中是如圖的正方形區(qū)域，(最后一個等式是根據(jù)定積分與積分記號無關(guān))故（注：的證明設(shè)，同理：，故）11設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，且，證明：.（提示：利用定積分與積分變量的符號無關(guān)以及不等式）證明：由有其中，又（根據(jù)定積分與積分記號無關(guān)）則§3 三重積分的計算1 化三重積分為三次積分，其中積分區(qū)域分別是：（用求圍定頂法時，最好結(jié)合圖形）（1） 由雙曲拋物面及平面所圍成的閉區(qū)域.分析：（若用求圍定頂法）在面圍不成閉區(qū)域，又則在面圍成閉區(qū)域，故這個區(qū)域就是圍，自然頂為解故=（2） 由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域；分析：（若用求圍定頂法），在面圍成閉區(qū)域，故這個區(qū)

6、域就是圍，自然頂為。是上半圓錐解故=（3） 由曲面及所圍成的閉區(qū)域；分析：（若用求圍定頂法），在面橢圓圍成閉區(qū)域，故這個區(qū)域就是圍，在時，故頂為。解故（4） 由曲面，所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域.分析，在面圍成閉區(qū)域，故這個區(qū)域在第一卦限的區(qū)域就是圍，自然頂為解故2 計算下列三重積分：（1），是以（0，0，0），（1，0，0），（0，2，0），（0，0，3）為頂點的四面體；解：點（1，0，0），（0，2，0），（0，0，3）確定的平面為（2），是由曲面與平面和所圍成的閉區(qū)域；分析：在面不圍成閉區(qū)域，又，則在面圍成閉區(qū)域，它就是圍。顯然為頂解：，故（3），為第一卦限內(nèi)的球面及三個坐標(biāo)面所圍成的閉

7、區(qū)域；分析：若采用球坐標(biāo)被積函數(shù)在球坐標(biāo)下表達式復(fù)雜，由與區(qū)域朝投影的投影區(qū)域用極坐標(biāo)表示簡單，故對三重積分可采用柱坐標(biāo)。由，故極坐標(biāo)為解：的采用柱坐標(biāo)為，又故（4），是由平面以及拋物柱面所圍成的閉區(qū)域；（提示：此題積分區(qū)域不易畫出，可根據(jù)給定區(qū)域的邊界曲面方程，直接確定積分變量的上、下限.若先對變量積分，與有關(guān)的曲面為和，故，其它變量類似.）分析：，在在面圍成閉區(qū)域，故該閉區(qū)域是圍，顯然為頂解：，故：（最后一個等號利用定積分的對稱性）（5），是由錐面與平面所圍成的閉區(qū)域.分析：被積函數(shù)僅是的函數(shù)，且是圓域。故采用先二后一的方法。解：是型，其中是圓域的面積3如果三重積分的被積函數(shù)能分解為的函數(shù)

8、、的函數(shù)以及的函數(shù)的乘積，即，且積分區(qū)域為長方體：，證明三重積分等于三個定積分的乘積，即 證明：由為長方體：，4利用柱面坐標(biāo)計算下列三重積分：（1），是由曲面及所圍成的閉區(qū)域；分析：由，即圍成的區(qū)域是圍，頂為由：可得的柱坐標(biāo)：。解：的柱坐標(biāo)：，又由得=（2），是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域.分析：由，即圍成的區(qū)域是圍，頂為由：可得的柱坐標(biāo)：解：的柱坐標(biāo)：，又得5利用球面坐標(biāo)計算下列三重積分（1），是由曲面所圍成的閉區(qū)域；解：由，的球坐標(biāo)為，得（2），是由和，所圍成的閉區(qū)域.解：由，的球坐標(biāo)為，得6選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計算下列三重積分（1），為柱面及平面所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域；解：的柱坐標(biāo)：，由：

9、得故：（2），是由與所圍成的閉區(qū)域；解：（3）；（提示：可考慮利用三重積分的對稱性）接：關(guān)于面對稱，被積函數(shù)，即關(guān)于是奇函數(shù)。故§4 重積分的應(yīng)用1 利用三重積分，計算下列曲面所圍成的立體的體積：（1）及；解：由得，即，故在面投影為：，故（2）及；解：由得，即，故在面投影為：故（3）及；解：由得，即，故在面投影為：，故（4），及.解：是以為頂以為底的曲頂柱體。2：在半徑為的球上打一半徑為的圓柱形穿心孔，孔中心軸為球直徑，求穿孔后球體剩余部分的體積.設(shè)孔壁高為，證明此體積僅與的值有關(guān).（提示：先建立空間直角坐標(biāo)系.）解：以球心為原點，三條相互垂直的直徑所在直線為坐標(biāo)軸。設(shè)挖掉部分的體積

10、為，記，則又，故， 所以剩余部分體積，僅與高度有關(guān)。3求下列曲面的面積.（1） 球面含在柱面內(nèi)部的曲面面積；解：設(shè)球面含在柱面在上面部分為，則，其中是面上所圍區(qū)域。=，故（2） 錐面被柱面所割下部分的曲面面積；解：由得，故錐面被柱面所割下部分的曲面記為投影為在圍成區(qū)域記為，即。故（3） 底圓半徑相等的兩個直交圓柱面及所圍立體的表面積.Dy = 0x SS= 0RRxz y0解：在第一卦限顯然，故，其中，為在所圍區(qū)域在第一卦限部分。4：求平面圖形的形心，其中：.（注意是橢圓的第一卦限部分）解：5設(shè)密度為的均勻薄片所占區(qū)域為，求轉(zhuǎn)動慣量.，其中為區(qū)域的第一卦限部分6：密度為的均勻物體占有的閉區(qū)域由

11、曲面和平面所圍成.（1） 求物體的體積；（2） 求物體的重心；（3） 求物體關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動慣量.解：（1）閉區(qū)域是以曲面為頂，以區(qū)域為底的曲頂柱體，其中由在圍成。故（2）由對稱性可知道。（3）第九章 自測題1設(shè)把化為極坐標(biāo)形式的二次積分.解：（這里理解為兩個圓域的公共部分）2交換積分順序：（1）；解：記，故（2）.解：記，故3證明：（提示：交換積分次序.）證明：記，。故：=4設(shè)是有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，求的極限.（提示：在極坐標(biāo)系下，將積分 轉(zhuǎn)化為關(guān)于的積分變限函數(shù)，再利用洛必達法則.）解：=5由與圍成的閉區(qū)域，計算. (提示：利用對稱性可簡化計算.)解：關(guān)于面和面對稱，故=（其中為在平面上 所圍區(qū)域）6計算三次積分解：記，則=7求曲面上點（1，1，3）處的切平面與曲面所圍立體的體積.解：曲面上點（1，1，3）處的法向量為