合肥工業(yè)大學(xué)電磁場與電磁波孫玉發(fā)答案

1、 第四章習(xí)題解答 【4.1】如題4.1圖所示為一長方形截面的導(dǎo)體槽，槽可視為無限長，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板，槽的電位為零，上邊蓋板的電位為，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解 根據(jù)題意，電位滿足的邊界條件為 ； ； 題4.1圖根據(jù)條件和，電位的通解應(yīng)取為 由條件，有兩邊同乘以，并從0到對積分，得到故得到槽內(nèi)的電位分布 4.2 兩平行無限大導(dǎo)體平面，距離為，其間有一極薄的導(dǎo)體片由到。上板和薄片保持電位，下板保持零電位，求板間電位的解。設(shè)在yoyboydy題 4.2圖薄片平面上，從到，電位線性變化，。解 應(yīng)用疊加原理，設(shè)板間的電位為其中，為不存在薄片的平行無限大導(dǎo)體平面間（電壓為）的電位，即；是兩個(gè)電位為零

2、的平行導(dǎo)體板間有導(dǎo)體薄片時(shí)的電位，其邊界條件為： ； 根據(jù)條件和，可設(shè)的通解為 ；由條件有 兩邊同乘以，并從0到對積分，得到故得到 4.4 如題4.4圖所示的導(dǎo)體槽，底面保持電位，其余兩面電位為零，求槽內(nèi)的電位的解。解 根據(jù)題意，電位滿足的邊界條件為題4.4圖 根據(jù)條件和，電位的通解應(yīng)取為；由條件，有 兩邊同乘以，并從0到對積分，得到 ；故得到【4.5】一長、寬、高分別為、的長方體表面保持零電位，體積內(nèi)填充密度為 的電荷。求體積內(nèi)的電位。解 在體積內(nèi)，電位滿足泊松方程 （1）長方體表面上，電位滿足邊界條件。由此設(shè)電位的通解為，代入泊松方程（1），可得由此可得 或 ； （2）由式（2），得 ；

3、故 【4.6】如題4.6圖所示的一對無限大接地平行導(dǎo)體板，板間有一與軸平行的線電荷，其位置為。求板間的電位函數(shù)。解 由于在處有一與軸平行的線電荷，以為界將場空間分割為和兩個(gè)區(qū)域，則這兩個(gè)區(qū)域中的電位和都滿足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函數(shù)將線電荷表示成電荷面密度。題 4.6圖電位的邊界條件為 ， ， ， 由條件和，可設(shè)電位函數(shù)的通解為 由條件，有 （1） （2）由式（1），可得 （3）；將式（2）兩邊同乘以，并從到對積分，有 （4）由式（3）和（4）解得 故 b題4.7圖4.7 如題4.7圖所示的矩形導(dǎo)體槽的電位為零，槽中有一與槽平行的線電荷。求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解 由于在處有一與軸平行

4、的線電荷，以為界將場空間分割為和兩個(gè)區(qū)域，則這兩個(gè)區(qū)域中的電位和都滿足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函數(shù)將線電荷表示成電荷面密度，電位的邊界條件為 ， ， 由條件和，可設(shè)電位函數(shù)的通解為 由條件，有 （1） （2）由式（1），可得 （3）將式（2）兩邊同乘以，并從到對積分，有 （4） 由式（3）和（4）解得 故 ， ，若以為界將場空間分割為和兩個(gè)區(qū)域，則可類似地得到 *4.8 如題4.8圖所示，在均勻電場中垂直于電場方向放置一根無限長導(dǎo)體圓柱，圓柱的半徑為。求導(dǎo)體圓柱外的電位和電場以及導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷密度。解 在外電場作用下，導(dǎo)體表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷，圓柱外的電位是外電場的電位與感應(yīng)電荷的

5、電位的疊加。由于導(dǎo)體圓柱為無限長，所以電位與變量無關(guān)。在圓柱面坐標(biāo)系中，外電場的電位為（常數(shù)的值由參考點(diǎn)確定），而感應(yīng)電荷的電位應(yīng)與一樣按變化，而且在無限遠(yuǎn)處為0。由于導(dǎo)體是等位體，所以滿足的邊界條件為 由此可設(shè) 由條件，有 于是得到 ， 故圓柱外的電位為 若選擇導(dǎo)體圓柱表面為電位參考點(diǎn)，即，則。導(dǎo)體圓柱外的電場則為導(dǎo)體圓柱表面的電荷面密度為 *4.11 如題4.11圖所示，一無限長介質(zhì)圓柱的半徑為、介電常數(shù)為，在距離軸線處，有一與圓柱平行的線電荷，計(jì)算空間各部分的電位。解 在線電荷作用下，介質(zhì)圓柱產(chǎn)生極化，介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位均為線電荷的電位與極化電荷的電位的疊加，即。線電荷的電位為 （1）題

6、4.11圖而極化電荷的電位滿足拉普拉斯方程，且是的偶函數(shù)。介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位和滿足的邊界條件為分別為 為有限值； 時(shí)，由條件和可知，和的通解為 （2） （3）將式（1）（3）帶入條件，可得到 （4） （5）當(dāng)時(shí)，將展開為級數(shù)，有 （6）帶入式（5），得 （7）由式（4）和（7），有 由此解得 ， ； 故得到圓柱內(nèi)、外的電位分別為 （8） （9）討論：利用式（6），可將式（8）和（9）中得第二項(xiàng)分別寫成為其中。因此可將和分別寫成為 由所得結(jié)果可知，介質(zhì)圓柱內(nèi)的電位與位于（0）的線電荷的電位相同，而介質(zhì)圓柱外的電位相當(dāng)于三根線電荷所產(chǎn)生，它們分別為：位于（0）的線電荷；位于的線電荷；位于的線電荷。

7、*4.13 在均勻外電場中放入半徑為的導(dǎo)體球，設(shè)（1）導(dǎo)體充電至；（2）導(dǎo)體上充有電荷。試分別計(jì)算兩種情況下球外的電位分布。解 （1）這里導(dǎo)體充電至應(yīng)理解為未加外電場時(shí)導(dǎo)體球相對于無限遠(yuǎn)處的電位為，此時(shí)導(dǎo)體球面上的電荷密度，總電荷。將導(dǎo)體球放入均勻外電場中后，在的作用下，產(chǎn)生感應(yīng)電荷，使球面上的電荷密度發(fā)生變化，但總電荷仍保持不變，導(dǎo)體球仍為等位體。設(shè)，其中，是均勻外電場的電位，是導(dǎo)體球上的電荷產(chǎn)生的電位。 電位滿足的邊界條件為 時(shí)，； 時(shí)， ，其中為常數(shù)，若適當(dāng)選擇的參考點(diǎn)，可使。由條件，可設(shè)代入條件，可得到 ，若使，可得到 （2）導(dǎo)體上充電荷時(shí)，令，有 利用（1）的結(jié)果，得到 4.14 如

8、題4.14圖所示，無限大的介質(zhì)中外加均勻電場，在介質(zhì)中有一個(gè)半徑為的球形空腔。求空腔內(nèi)、外的電場和空腔表面的極化電荷密度（介質(zhì)的介電常數(shù)為）。解 在電場的作用下，介質(zhì)產(chǎn)生極化，空腔表面形成極化電荷，空腔內(nèi)、外的電場為外加電場與極化電荷的電場的疊加。設(shè)空腔內(nèi)、外的電位分別為和，則邊界條件為 時(shí)，； 時(shí)，為有限值； 時(shí)， ，由條件和，可設(shè) ， 題4.14圖帶入條件，有，由此解得 ，所以 空腔內(nèi)、外的電場為，空腔表面的極化電荷面密度為4.17 一個(gè)半徑為的介質(zhì)球帶有均勻極化強(qiáng)度。（1）證明：球內(nèi)的電場是均勻的，等于；（2）證明：球外的電場與一個(gè)位于球心的偶極子產(chǎn)生的電場相同，。題 4.17圖 解 （

9、1）當(dāng)介質(zhì)極化后，在介質(zhì)中會形成極化電荷分布，本題中所求的電場即為極化電荷所產(chǎn)生的場。由于是均勻極化，介質(zhì)球體內(nèi)不存在極化電荷，僅在介質(zhì)球面上有極化電荷面密度，球內(nèi)、外的電位滿足拉普拉斯方程，可用分離變量法求解。建立如題4.17圖所示的坐標(biāo)系，則介質(zhì)球面上的極化電荷面密度為介質(zhì)球內(nèi)、外的電位和滿足的邊界條件為 為有限值； ； ； 因此，可設(shè)球內(nèi)、外電位的通解為， 由條件，有 ，解得 ， 于是得到球內(nèi)的電位 ， 故球內(nèi)的電場為 （2）介質(zhì)球外的電位為，其中為介質(zhì)球的體積。故介質(zhì)球外的電場為可見介質(zhì)球外的電場與一個(gè)位于球心的偶極子產(chǎn)生的電場相同。4.20 一個(gè)半徑為的細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)，環(huán)與平面重合，中心在原點(diǎn)上，環(huán)上總電荷量為，如題4.20圖所示。證明：空間任意點(diǎn)電位為 解 以細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)所在的球面把場區(qū)分為兩部分，分別寫出兩個(gè)場域的通解，并利用函數(shù)將細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)上的線電荷表示成球面上的電荷面密度題 4.20圖再根據(jù)邊界條件確定系數(shù)。設(shè)球面內(nèi)、外的電位分別為和，則邊界條件為： 為有限值； ， 根據(jù)條件和，可得和的通解為 （1）， （2）代入條件，有 （3） （4） 將式（4）兩端同乘以，并從0到對進(jìn)行積分，得 （5）其中 由式（3）和（5），解得 ， ，代入式（1）和（2），即得到 【4.22】如題4.2