第十章機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩-PowerPointPresentation

1、第十章第十章 機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩教學(xué)目的教學(xué)目的:理解理解諧振動(dòng)諧振動(dòng)掌握掌握一維諧振動(dòng)的合成一維諧振動(dòng)的合成教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):諧振動(dòng)諧振動(dòng)教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn):振動(dòng)的分解振動(dòng)的分解 頻譜頻譜10-1 諧振動(dòng)諧振動(dòng)10-2 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)10-3 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振10-4 電磁振蕩電磁振蕩10-5 一維諧振動(dòng)的合成一維諧振動(dòng)的合成10-6 二維諧振動(dòng)的合成二維諧振動(dòng)的合成10-7 振動(dòng)的分解振動(dòng)的分解 頻譜頻譜10-8 非線性振動(dòng)與混沌非線性振動(dòng)與混沌第十章第十章 機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩10-1 諧振動(dòng)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)（簡(jiǎn)諧振動(dòng)（simple harmon

2、ic motion, SHM）：）：一、諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式一、諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式受力特點(diǎn)：受力特點(diǎn)： 線性回復(fù)力線性回復(fù)力 動(dòng)力學(xué)特征動(dòng)力學(xué)特征kxF 物體運(yùn) 動(dòng)物體運(yùn) 動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移(或或角位移角位移)按余弦按余弦(或正弦或正弦)規(guī)律規(guī)律隨時(shí)間變化。隨時(shí)間變化。有有及及由由kxFtxmmaF22dd0dd22xmktx0dd222xtx其解為其解為 mk令令簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征方程 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式表達(dá)式)cos(0tAx0m0dsin()sin()dxvAtvtt 20m0dcos()cos()dvaAtatt vm=A 稱為稱為速

3、度幅值速度幅值 ； am=2A 稱為稱為加速度幅值加速度幅值 。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度：)cos(0tAxxtxa222dd簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征方程學(xué)特征方程 由初始條件由初始條件(x0 ， v0 )求解振幅和初相位求解振幅和初相位：設(shè)設(shè) t =0時(shí)，振動(dòng)位移：時(shí)，振動(dòng)位移：x = x0振動(dòng)速度：振動(dòng)速度：v = v0)(cos0tAx00cosAx )(sin0tAv00sinAv20202222020)cos(sinAAvx2020vxA000tanxv二、描述二、描述諧振動(dòng)諧振動(dòng)的特征量的特征量 2. 周期周期(period) T : 完成一次完全振

4、動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。完成一次完全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。1. 振幅振幅(amplitude) : A （即最大位移，（即最大位移，x=A ）角頻率角頻率 （或稱圓頻率）（或稱圓頻率） ：T2,2頻率頻率(frequency) : 單位時(shí)間內(nèi)完成完全振動(dòng)的次數(shù)。單位時(shí)間內(nèi)完成完全振動(dòng)的次數(shù)。 = 1/TAOT)cos(0tAx相位差：相位差： = ( 2 t + 20 ) -( 1t + 10)對(duì)兩對(duì)兩同頻率同頻率的諧振動(dòng)的諧振動(dòng) = 20 - 10初相差初相差 當(dāng)當(dāng) = 2k ，( k =0,1,2,)，兩振動(dòng)步兩振動(dòng)步調(diào)相同，稱調(diào)相同，稱同相同相。 初相位初相位（initial phase） ： 0

5、（ t + 0 ）描述振動(dòng)狀態(tài)描述振動(dòng)狀態(tài)3. 相位（相位（phase）： 當(dāng)當(dāng) = (2k+1) ， ( k =0,1,2,)，兩振，兩振動(dòng)步調(diào)相反，動(dòng)步調(diào)相反， 稱稱反相反相。 若若 0 20- 10 )的物的物體，在光滑水平面內(nèi)做直線運(yùn)動(dòng)。求解其運(yùn)動(dòng)。體，在光滑水平面內(nèi)做直線運(yùn)動(dòng)。求解其運(yùn)動(dòng)。解：解：彈簧、物體的動(dòng)能分別為彈簧、物體的動(dòng)能分別為 當(dāng)物體處于位移當(dāng)物體處于位移x 速速度為度為v時(shí)，時(shí)，2021k61)d(21vmvLlllmEL22k21mvE彈簧元彈簧元 dl 的質(zhì)量為的質(zhì)量為 Llmm/dd 位移為位移為L(zhǎng)xl /速度為速度為L(zhǎng)vl /mm系統(tǒng)彈性勢(shì)能為系統(tǒng)彈性勢(shì)能為系

6、統(tǒng)機(jī)械能守恒，有系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，常量常量常量常量2p21kxE 222216121kxvmmv2221)3(21kxvmm0dd)3(kxtvmm03dd22xmmktxkmmT) 3(2232mmk仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)10-2 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 振動(dòng)物體不受任何阻力的影響，只在回復(fù)力作振動(dòng)物體不受任何阻力的影響，只在回復(fù)力作用下所做的振動(dòng)，稱為用下所做的振動(dòng)，稱為無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)。 在回復(fù)力和阻力作用下的振動(dòng)稱為在回復(fù)力和阻力作用下的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)。阻尼：消耗振動(dòng)系統(tǒng)能量的原因。阻尼：消耗振動(dòng)系統(tǒng)能量的原因。 阻尼種類：摩擦阻尼阻尼種類：摩

7、擦阻尼 輻射阻尼輻射阻尼 對(duì)在流體對(duì)在流體(液體、氣體液體、氣體)中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物體中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物體速度較小時(shí)，阻力大小正比于速度較小時(shí)，阻力大小正比于速度，且方向相反，速度，且方向相反，表示為表示為 txvFddf ：阻力系數(shù)：阻力系數(shù)阻尼振動(dòng)方程：阻尼振動(dòng)方程：txkxtxmdddd22引入引入 阻尼因子阻尼因子 m2固有頻率固有頻率mk00dd2dd2022xtxtx在小阻尼條件下在小阻尼條件下 ，微分方程的解為，微分方程的解為 )(0)cos(e00tAxt220其中其中 和和 為積分常數(shù)，由初始條件決定。為積分常數(shù)，由初始條件決定。00A)cos(e00tAxt阻尼振動(dòng)的準(zhǔn)周期

8、性阻尼振動(dòng)的準(zhǔn)周期性余弦項(xiàng)表征了在彈性力和阻力作用下的周期運(yùn)動(dòng)；余弦項(xiàng)表征了在彈性力和阻力作用下的周期運(yùn)動(dòng)； 減幅振動(dòng)減幅振動(dòng)tAe0反映了阻尼對(duì)振幅的影響。反映了阻尼對(duì)振幅的影響。阻尼振動(dòng)的周期：阻尼振動(dòng)的周期：0220222T阻尼振動(dòng)的三種情形：阻尼振動(dòng)的三種情形：000 欠阻尼欠阻尼 過(guò)阻尼過(guò)阻尼 臨界阻尼臨界阻尼10-3 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振一、受迫振動(dòng)一、受迫振動(dòng) 物體在周期性外力（物體在周期性外力（驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)力）的持續(xù)作用下）的持續(xù)作用下發(fā)生的振動(dòng)稱為發(fā)生的振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)（受迫振動(dòng)（forced vibration）。驅(qū)動(dòng)力：驅(qū)動(dòng)力：tFFd0cos運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：tF

9、txkxtxmd022cosdddd設(shè)設(shè),20mkm2tmFxtxtxd02022cosdd2dd)cos()cos(ed02200tAtAxt當(dāng)阻尼較小當(dāng)阻尼較小, 0時(shí)時(shí), , 方程的解：方程的解：暫態(tài)項(xiàng)暫態(tài)項(xiàng)穩(wěn)定項(xiàng)穩(wěn)定項(xiàng))cos(dtAx穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)：穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)：2d222d2004)(mFA2d20d2tan 在穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)下，受迫振動(dòng)的頻率等于驅(qū)動(dòng)在穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)下，受迫振動(dòng)的頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率。力的頻率。)cos(dtAx)2cos(dddmtvtxv穩(wěn)態(tài)時(shí)振動(dòng)物體速度：穩(wěn)態(tài)時(shí)振動(dòng)物體速度：2d222d200dm4)(mFv 在受迫振動(dòng)中，周期性的驅(qū)動(dòng)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)提在受迫振動(dòng)中，

10、周期性的驅(qū)動(dòng)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)提供能量，另一方面系統(tǒng)又因阻尼而消耗能量，若二供能量，另一方面系統(tǒng)又因阻尼而消耗能量，若二者相等，則系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)。者相等，則系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)。二、共振二、共振 當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的角頻率等于當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的角頻率等于某個(gè)特定值時(shí)，位移振幅達(dá)到某個(gè)特定值時(shí)，位移振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為最大值的現(xiàn)象稱為位移共振位移共振（displacement resonance）。0dddA220r22d222d2004)(mFA 受迫振動(dòng)速度在一定受迫振動(dòng)速度在一定條件下發(fā)生共振的的現(xiàn)象條件下發(fā)生共振的的現(xiàn)象稱為稱為速度共振（速度共振（velocity resonance）。0dddmv

11、在阻尼很小的前提下，在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以認(rèn)速度共振和位移共振可以認(rèn)為等同。為等同。0r2d222d200dm4)(mFv10-4 電磁振蕩電磁振蕩一、一、LC電路的振蕩電路的振蕩 電路中電壓和電流的周期性變化稱為電路中電壓和電流的周期性變化稱為電磁振蕩電磁振蕩。LC振蕩電路振蕩電路 向左合上開(kāi)關(guān)，使電源給電容器充電，然后向左合上開(kāi)關(guān)，使電源給電容器充電，然后將開(kāi)關(guān)接通將開(kāi)關(guān)接通LC 回路，出現(xiàn)電磁振蕩效應(yīng)?；芈?，出現(xiàn)電磁振蕩效應(yīng)。 電荷與電流（電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量）隨時(shí)間作周電荷與電流（電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量）隨時(shí)間作周期性變化，且不斷相互轉(zhuǎn)換。若電路中無(wú)能量損耗，期性變化，且

12、不斷相互轉(zhuǎn)換。若電路中無(wú)能量損耗，這種變化將一直持續(xù)下去，稱為這種變化將一直持續(xù)下去，稱為(無(wú)阻尼無(wú)阻尼)自由振蕩自由振蕩。CL+Q-Q+Q-QLC回路的振回路的振蕩過(guò)程蕩過(guò)程II 設(shè)設(shè) t 時(shí)刻電容器極板上電荷量為時(shí)刻電容器極板上電荷量為 q，電路中電電路中電流為流為 i ，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)殡娏髡?，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)殡娏髡颍?ddCqtiLtqiddqLCtq1dd22)cos(00tQq振蕩角頻率振蕩角頻率LC12LCT2LC21（無(wú)阻尼）自由振蕩的定量分析（無(wú)阻尼）自由振蕩的定量分析CLiQ0是電荷量振幅，是電荷量振幅， 0是振蕩初相。是振蕩初相。)2cos()sin(dd0000tItQtq

13、i電荷和電流都做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，電流的振動(dòng)超前電荷電荷和電流都做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，電流的振動(dòng)超前電荷 /2。)cos(00tQq電場(chǎng)能量為電場(chǎng)能量為 )(cos2202202etCQCqW磁場(chǎng)能量為磁場(chǎng)能量為 )(sin221022022mtQLLiWCQWWW220me電磁場(chǎng)總能量守恒電磁場(chǎng)總能量守恒二、受迫振蕩二、受迫振蕩 電共振電共振 LRC 電路在外加周期性電動(dòng)勢(shì)持續(xù)作用下產(chǎn)生電路在外加周期性電動(dòng)勢(shì)持續(xù)作用下產(chǎn)生的振蕩，稱為的振蕩，稱為受迫振蕩受迫振蕩。對(duì)受迫振蕩：對(duì)受迫振蕩：tCqtqRtqLd022cosddddttd0cos)(電動(dòng)勢(shì)：電動(dòng)勢(shì)：穩(wěn)態(tài)解：穩(wěn)態(tài)解：)cos(0d0tQq)cos()

14、sin(d00d0tItQi20其中其中,12dd200CLRIRLCdd1tan 當(dāng)電路滿足當(dāng)電路滿足 時(shí)，電流振幅最大，時(shí)，電流振幅最大，稱為稱為電共振電共振。CLdd1LC1d電流振幅最大值為電流振幅最大值為R0即即)cos()sin(d00d0tItQi三、力電類比三、力電類比機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)電磁振蕩電磁振蕩(串聯(lián)電路串聯(lián)電路)位移位移 x速度速度 v質(zhì)量質(zhì)量 m勁度系數(shù)勁度系數(shù) k阻力系數(shù)阻力系數(shù) 驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)力 F彈性勢(shì)能彈性勢(shì)能 kx2/2動(dòng)能動(dòng)能 mv2/2電荷電荷 q電流電流 i電感電感 L電容的倒數(shù)電容的倒數(shù) 1/C電阻電阻 R電動(dòng)勢(shì)電動(dòng)勢(shì) 電場(chǎng)能量電場(chǎng)能量 q2/2C磁場(chǎng)能

15、量磁場(chǎng)能量 Li2/210-5 一維諧振動(dòng)的合成一維諧振動(dòng)的合成一、一、同一直線上同一直線上兩個(gè)同頻率諧振動(dòng)的合成兩個(gè)同頻率諧振動(dòng)的合成 某一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)獨(dú)立的、同方向、同某一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)獨(dú)立的、同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)位移分別為頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)位移分別為 )cos(2022tAx21AAA21xxx)cos(1011tAx合振動(dòng)：合振動(dòng)：)cos(0tAx 合振動(dòng)仍為合振動(dòng)仍為同方向同頻率的同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)。（由振動(dòng)的疊加原理）（由振動(dòng)的疊加原理）, 2, 1, 021020kk212122212AAAAAAA,2, 1,0)12(1020kk21212

16、2212AAAAAAA)cos(0tAx)cos(21020212221AAAAA202101202101coscossinsinarctanAAAA合振動(dòng)：合振動(dòng)：（1）若）若則則（2）若）若則則21N2sin2Ra 2sin2NRA tAxcos,1cos, ,cos,cos21NtaxtaxtaxN求合振動(dòng)。求合振動(dòng)。例例10-3解：解：2sin2sinNaNaA則有則有若若 0. 1tNaxcos0 2. 2AkN則有若x 02sin2sin2sin2NaNRA2kN1, 3kN1, 6kN2, 6kN討論討論二、同一直線上兩個(gè)不同頻率諧振動(dòng)的合成二、同一直線上兩個(gè)不同頻率諧振動(dòng)的合成

17、 拍拍 設(shè)同方向、角頻率分別為設(shè)同方向、角頻率分別為 和和 的兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)的兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)（ ），它們所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量分別為），它們所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量分別為 和和 211A2A122112,相對(duì)于相對(duì)于 的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度：的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度：2A1A)cos(1111tAx)cos(2222tAx)cos()cos(22211121tAtAxxx2A21A102121:AAA設(shè)設(shè))2cos(2cos201212ttAxtA2cos212振幅：振幅：隨時(shí)間緩慢變化隨時(shí)間緩慢變化拍：拍：合振動(dòng)的振幅時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的現(xiàn)象合振動(dòng)的振幅時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的現(xiàn)象( |2-1| 2, 1時(shí)時(shí))1212b2122拍的周期：拍的周期：拍的頻率：

18、拍的頻率：)2cos(012t諧振因子：諧振因子：10-6 二維諧振動(dòng)的合成二維諧振動(dòng)的合成)cos(202tAy)cos(101tAx)(sin)cos(210202102021222212AAxyAyAx 兩相互垂直同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成兩相互垂直同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成, , 其振動(dòng)軌跡其振動(dòng)軌跡為一橢圓。橢圓軌跡的形狀取決于振幅和相位差。為一橢圓。橢圓軌跡的形狀取決于振幅和相位差。 同頻率垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同頻率垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成消去消去 t ，得，得 yx討論幾種特殊情形：討論幾種特殊情形：時(shí)或)2(01020k01212AAxAAy斜斜率率0221AyAx1.質(zhì)點(diǎn)做線振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)做線振動(dòng))(

19、sin)cos(210202102021222212AAxyAyAxs)cos(0222122tAAyxs時(shí)或)2(1020k0:,1212AAxAAy斜率yx質(zhì)點(diǎn)做線振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)做線振動(dòng)合振動(dòng)的振幅：合振動(dòng)的振幅：2221AAA1222212AyAxyx質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)軌跡為質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)軌跡為右旋正橢圓右旋正橢圓。特別。特別當(dāng)當(dāng)A1=A2時(shí)，合成為時(shí)，合成為右旋圓軌跡右旋圓軌跡。時(shí)或)22(21020k2.y方向振動(dòng)超前于方向振動(dòng)超前于x方向方向2時(shí)或)22(21020k質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)軌跡為質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)軌跡為左旋正橢圓左旋正橢圓。兩同頻率垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)在不同相位差時(shí)的合成兩同頻率垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)在不同相位差時(shí)的合成 不同頻

20、率垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成不同頻率垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成2. 當(dāng)兩振動(dòng)頻率恰成整數(shù)比時(shí)，得封閉穩(wěn)定軌道，當(dāng)兩振動(dòng)頻率恰成整數(shù)比時(shí)，得封閉穩(wěn)定軌道，稱為稱為李薩如李薩如( (Lissajous)圖圖。21 . 121 看成看成 ，但相位差緩慢變化。但相位差緩慢變化。合運(yùn)動(dòng)軌跡將按不同相位差的合成圖形依次緩慢合運(yùn)動(dòng)軌跡將按不同相位差的合成圖形依次緩慢變化。變化。x:y0 xy李薩如圖李薩如圖10-7 振動(dòng)的分解振動(dòng)的分解 頻譜頻譜若周期性振動(dòng)的頻率為若周期性振動(dòng)的頻率為 0則各分振動(dòng)的頻率為則各分振動(dòng)的頻率為 0, 20, 30, 周期性振動(dòng)可分解為一系列頻率分立的簡(jiǎn)諧周期性振動(dòng)可分解為一系列頻率分立的簡(jiǎn)諧

21、振動(dòng)振動(dòng)離散頻譜。離散頻譜。傅里葉分析：傅里葉分析：), 3 , 2 , 1()cos()(10ntnAAtfnnn對(duì)周期性函數(shù)對(duì)周期性函數(shù) f (t)(基頻基頻 , 二次諧頻二次諧頻 , 三次諧頻三次諧頻 , )tx0t0tx1t0 x3t0 x50 x1+x3+x5+x00tx0方波的分解方波的分解10-8 非線性振動(dòng)與混沌非線性振動(dòng)與混沌單擺運(yùn)動(dòng)方程：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)方程：0sindd2022t 擺角很小時(shí)擺角很小時(shí)0dd2022t線性微分方程線性微分方程)cos(0mt解為線性（簡(jiǎn)諧）振動(dòng)：解為線性（簡(jiǎn)諧）振動(dòng)： 擺角較大時(shí)擺角較大時(shí)0)! 5! 3(dd532022t非線性微分方程非線性微分

22、方程解為非線性振動(dòng)。解為非線性振動(dòng)。 振動(dòng)物體在非線性回復(fù)力作用下所做的振動(dòng)振動(dòng)物體在非線性回復(fù)力作用下所做的振動(dòng)為非線性振動(dòng)。為非線性振動(dòng)。 非線性方程一般沒(méi)有解析解，而采用數(shù)值求非線性方程一般沒(méi)有解析解，而采用數(shù)值求解。非線性方程的解取決于方程的參數(shù)，可以是解。非線性方程的解取決于方程的參數(shù)，可以是周期性的，也可以是混沌的。周期性的，也可以是混沌的。 混沌混沌(chaos) 是一個(gè)非線性方程所描述的確定是一個(gè)非線性方程所描述的確定性系統(tǒng)出現(xiàn)的貌似不規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，其特征表現(xiàn)為性系統(tǒng)出現(xiàn)的貌似不規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，其特征表現(xiàn)為對(duì)初態(tài)的敏感性和未來(lái)的不可預(yù)見(jiàn)性。對(duì)初態(tài)的敏感性和未來(lái)的不可預(yù)見(jiàn)性。 混沌是回

23、復(fù)性非周期運(yùn)動(dòng)?；煦缡腔貜?fù)性非周期運(yùn)動(dòng)。 蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng)68第十一章第十一章 機(jī)械波和電磁波機(jī)械波和電磁波 11-1 11-1 機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播 11-2 11-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù) 11-3 11-3 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 波速波速 11-4 11-4 波的能量波的能量 波的強(qiáng)度波的強(qiáng)度 11-8 11-8 波的疊加原理波的疊加原理 波的干涉波的干涉 駐波駐波 11-5 11-5 聲波聲波 超聲波超聲波 次聲波次聲波 11-6 11-6 電磁波電磁波 11-7 11-7 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射波的衍射 反射和折射反射和折射 11-9 11-9 多

24、普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)69 11-1 11-1 機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播一、機(jī)械波產(chǎn)生的條件一、機(jī)械波產(chǎn)生的條件l有作機(jī)械振動(dòng)的物體有作機(jī)械振動(dòng)的物體 波源波源l能夠傳播這種振動(dòng)能夠傳播這種振動(dòng) 彈性介質(zhì)彈性介質(zhì)如果介質(zhì)中有一質(zhì)點(diǎn)如果介質(zhì)中有一質(zhì)點(diǎn)A A，受外界擾動(dòng)而離開(kāi)平衡位置，受外界擾動(dòng)而離開(kāi)平衡位置，A A點(diǎn)周圍的質(zhì)點(diǎn)就將對(duì)點(diǎn)周圍的質(zhì)點(diǎn)就將對(duì)A A作用一個(gè)彈性力以對(duì)抗這一作用一個(gè)彈性力以對(duì)抗這一擾動(dòng)，使擾動(dòng)，使A A回到平衡位置，并在平衡位置附近作振動(dòng)?；氐狡胶馕恢茫⒃谄胶馕恢酶浇髡駝?dòng)。與此同時(shí)，當(dāng)偏離其平衡位置時(shí)，與此同時(shí)，當(dāng)偏離其平衡位置時(shí)，A A點(diǎn)周圍的質(zhì)點(diǎn)？點(diǎn)周圍的質(zhì)

25、點(diǎn)？70注意：波動(dòng)只是振動(dòng)狀態(tài)的傳播注意：波動(dòng)只是振動(dòng)狀態(tài)的傳播 區(qū)別波速與質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度區(qū)別波速與質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度二、橫波和縱波二、橫波和縱波橫波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互垂橫波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互垂直直縱波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平縱波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行行一些波既不是純粹的橫波，也不是純粹的縱波一些波既不是純粹的橫波，也不是純粹的縱波例如：水面波例如：水面波71727374簡(jiǎn)諧波：當(dāng)波源作諧振動(dòng)時(shí)，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)諧波：當(dāng)波源作諧振動(dòng)時(shí)，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)也作諧振動(dòng)。也作諧振動(dòng)。一般地，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)很復(fù)雜，由此一般地，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)很復(fù)雜

26、，由此產(chǎn)生的波動(dòng)也很復(fù)雜。產(chǎn)生的波動(dòng)也很復(fù)雜。三、波陣面和波射線三、波陣面和波射線波陣面：某一時(shí)刻振動(dòng)相位相同的點(diǎn)連波陣面：某一時(shí)刻振動(dòng)相位相同的點(diǎn)連 成的面（波面）成的面（波面）同相面波陣面是平面的波動(dòng)稱平面波波陣面是球面的波動(dòng)稱球面波75波的傳播方向稱為波線或波射線波線或波射線76四、波長(zhǎng)、頻率和波速間的關(guān)系四、波長(zhǎng)、頻率和波速間的關(guān)系簡(jiǎn)諧波動(dòng)傳播簡(jiǎn)諧波動(dòng)傳播時(shí)間周期性時(shí)間周期性 周期周期 頻率頻率 角頻率角頻率空間周期性空間周期性 波長(zhǎng)波長(zhǎng)波長(zhǎng)：同一波線上的兩個(gè)相鄰的振動(dòng)狀態(tài)相同的波長(zhǎng)：同一波線上的兩個(gè)相鄰的振動(dòng)狀態(tài)相同的質(zhì)點(diǎn)，即振動(dòng)相位相差質(zhì)點(diǎn)，即振動(dòng)相位相差 的兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離的兩質(zhì)

27、點(diǎn)之間的距離2橫波波長(zhǎng)？橫波波長(zhǎng)？ 縱波波長(zhǎng)？縱波波長(zhǎng)？ ? ?T u？ ？77之間的關(guān)系：之間的關(guān)系：uuT，由于振動(dòng)狀態(tài)由相位確定，所以波速就是波的由于振動(dòng)狀態(tài)由相位確定，所以波速就是波的相位的傳播速度，又稱相速。相位的傳播速度，又稱相速。7879 11-2 11-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)一、波函數(shù)一、波函數(shù)為了定量地描述波在空間的傳播，需要用數(shù)學(xué)為了定量地描述波在空間的傳播，需要用數(shù)學(xué)函數(shù)式來(lái)表示介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間函數(shù)式來(lái)表示介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間變化的關(guān)系，這樣的關(guān)系式稱為變化的關(guān)系，這樣的關(guān)系式稱為波動(dòng)表達(dá)波動(dòng)表達(dá)或或波函數(shù)波函數(shù)。,t,t, , ,t

28、rf rf x y z80二、平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)二、平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波：簡(jiǎn)諧波的波面為平面平面簡(jiǎn)諧波：簡(jiǎn)諧波的波面為平面81討論：平面余弦波在理想的無(wú)吸收的討論：平面余弦波在理想的無(wú)吸收的均用無(wú)限大介質(zhì)中傳播時(shí)的波函數(shù)均用無(wú)限大介質(zhì)中傳播時(shí)的波函數(shù) 設(shè)有一平面余弦行波，在無(wú)吸收的均用無(wú)設(shè)有一平面余弦行波，在無(wú)吸收的均用無(wú)限大介質(zhì)中延限大介質(zhì)中延OXOX軸的正方向傳播，取任意一軸的正方向傳播，取任意一條波線為條波線為OXOX軸，并去軸，并去O O作為作為OXOX軸的原點(diǎn)，原點(diǎn)軸的原點(diǎn)，原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為：處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為： 00ycostAt82P P質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t

29、t的位移：的位移： ycosPotAt t83若介質(zhì)中的波速為若介質(zhì)中的波速為u,u,則則 代入代入xtuy,cosoxx tAtu表示波線上任一點(diǎn)（距原點(diǎn)為表示波線上任一點(diǎn)（距原點(diǎn)為x x）處的質(zhì)點(diǎn)任）處的質(zhì)點(diǎn)任一瞬時(shí)的位移一瞬時(shí)的位移 延延OXOX軸前進(jìn)的平面簡(jiǎn)諧波的波函軸前進(jìn)的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)數(shù)84如果延如果延OXOX軸負(fù)方向：軸負(fù)方向：y,cosoxx tAtu為了弄清楚波函數(shù)的物理意義，下面作進(jìn)一為了弄清楚波函數(shù)的物理意義，下面作進(jìn)一步分析：步分析：851 1、如果、如果X X點(diǎn)定，那么位移點(diǎn)定，那么位移y y就只是就只是t t的函數(shù)的函數(shù)862 2、如果、如果t t給定，那么位移

30、給定，那么位移y y就只是就只是x x的函數(shù)的函數(shù)873 3、如果、如果x,tx,t都在變化，那么這個(gè)波函數(shù)將表都在變化，那么這個(gè)波函數(shù)將表示波線上各個(gè)不同質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移示波線上各個(gè)不同質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移88利用關(guān)系式利用關(guān)系式 可以將平面簡(jiǎn)可以將平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)改寫成多種形式：諧波的波函數(shù)改寫成多種形式：22,uTTtycos2oxATycos2toxA0ycosAtkx02ycosxAt89平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)用復(fù)數(shù)表示為：平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)用復(fù)數(shù)表示為：0 xkitituuyAeAe90平面波動(dòng)方程 11-3 11-3 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 波速波速一、波動(dòng)方程一、波動(dòng)方程平面簡(jiǎn)諧波

31、的波函數(shù)分別對(duì)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)分別對(duì)t,xt,x求二階導(dǎo)數(shù)：求二階導(dǎo)數(shù)：222cosoyxAttu 2222cosoyxAtxuu 比較兩式：比較兩式：222221yyxut92三、波速三、波速機(jī)械波在不同介質(zhì)中的波速公式：機(jī)械波在不同介質(zhì)中的波速公式：繩索或弦線中的(橫波)波速lFuF為張力，l 為線密度。 固體中橫波：GuG為切變彈性模量，為固體密度?？v波：E為楊氏彈性模量。Eu93 縱波在流體內(nèi)傳播的波速u為體變彈性模量，為流體密度。pRTuM理想氣體中的聲速 流體內(nèi)只能傳播縱波，不能傳播橫波。（機(jī)械波）由此可知，機(jī)械波的波速僅決定于介質(zhì)的彈性和慣性。9495 11-4 11-4 波的

32、能量波的能量 波的強(qiáng)度波的強(qiáng)度一、波的能量一、波的能量當(dāng)機(jī)械波傳播到介質(zhì)的某處時(shí)，該處原來(lái)當(dāng)機(jī)械波傳播到介質(zhì)的某處時(shí)，該處原來(lái)不動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)開(kāi)始振動(dòng)，因而具有動(dòng)能，同不動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)開(kāi)始振動(dòng)，因而具有動(dòng)能，同時(shí)該處的介質(zhì)也將產(chǎn)生形變，因而也具有時(shí)該處的介質(zhì)也將產(chǎn)生形變，因而也具有勢(shì)能。勢(shì)能。在介質(zhì)中任取體積為在介質(zhì)中任取體積為V V、質(zhì)量為、質(zhì)量為m m、介、介質(zhì)的體密度為質(zhì)的體密度為 的質(zhì)元。當(dāng)波動(dòng)傳播到的質(zhì)元。當(dāng)波動(dòng)傳播到這個(gè)質(zhì)點(diǎn)時(shí)，這個(gè)質(zhì)元將具有動(dòng)能和勢(shì)能。這個(gè)質(zhì)點(diǎn)時(shí)，這個(gè)質(zhì)元將具有動(dòng)能和勢(shì)能。96y,c o soxx tAtu如果介質(zhì)中平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)為：如果介質(zhì)中平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)為：可以證

33、明可以證明222kp01()sin ()2xEEAVtu 質(zhì)元總機(jī)械能為：質(zhì)元總機(jī)械能為：222kp0()sin ()xEEEAVtu 97討論：討論：機(jī)械振動(dòng)過(guò)程機(jī)械振動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能和勢(shì)能中動(dòng)能和勢(shì)能隨時(shí)間的變化隨時(shí)間的變化關(guān)系？關(guān)系？機(jī)械波傳播過(guò)機(jī)械波傳播過(guò)程中動(dòng)能和勢(shì)程中動(dòng)能和勢(shì)能隨時(shí)間的變能隨時(shí)間的變化關(guān)系？化關(guān)系？不同點(diǎn)：不同點(diǎn)：n在行波傳播過(guò)程中，質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能的時(shí)在行波傳播過(guò)程中，質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能的時(shí)間關(guān)系式是相同的，兩者同相、大小相等。間關(guān)系式是相同的，兩者同相、大小相等。n行波中動(dòng)能達(dá)到最值時(shí)，勢(shì)能也達(dá)到相同的行波中動(dòng)能達(dá)到最值時(shí)，勢(shì)能也達(dá)到相同的最值。最值。98n波動(dòng)系統(tǒng)任

34、一質(zhì)元的總能量是時(shí)間的函數(shù)，表波動(dòng)系統(tǒng)任一質(zhì)元的總能量是時(shí)間的函數(shù)，表明波動(dòng)傳播能量，振動(dòng)系統(tǒng)并不傳播能量。明波動(dòng)傳播能量，振動(dòng)系統(tǒng)并不傳播能量。波的能量密度：波的能量密度：介質(zhì)中單位體積的波動(dòng)介質(zhì)中單位體積的波動(dòng)能量。能量。2220sin ()ExwAtVu波的平均能量密度：波的平均能量密度：在一個(gè)周期內(nèi)波的能量在一個(gè)周期內(nèi)波的能量平均值。平均值。2212wA99三、波的強(qiáng)度三、波的強(qiáng)度能流能流：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)介質(zhì)某面積的能量。：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)介質(zhì)某面積的能量。SuuPwuS平均能流平均能流平均能流密度平均能流密度平均能流密度或波的強(qiáng)度：通過(guò)與波動(dòng)傳播平均能流密度或波的強(qiáng)度：通過(guò)與波動(dòng)傳播方

35、向垂直的單位面積的平均能流。即方向垂直的單位面積的平均能流。即22221122IwuuAZA100其中其中Zu特性阻抗特性阻抗101 11-6 11-6 電磁波電磁波麥克斯韋方程組把電磁學(xué)中最基本的實(shí)驗(yàn)定律概括、總結(jié)把電磁學(xué)中最基本的實(shí)驗(yàn)定律概括、總結(jié)和提高到一組在一般情況下互相協(xié)調(diào)的方和提高到一組在一般情況下互相協(xié)調(diào)的方程組程組-麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組. 0 , ,0000 BtEJBEtBE 102l18671867年，麥克斯韋先從理論年，麥克斯韋先從理論上預(yù)言了電磁波的存在；上預(yù)言了電磁波的存在；l18871887年，赫茲用實(shí)驗(yàn)證實(shí)了年，赫茲用實(shí)驗(yàn)證實(shí)了這個(gè)預(yù)言；這個(gè)預(yù)言；103一

36、、電磁波的輻射和傳播一、電磁波的輻射和傳播振蕩電路振蕩電路中電流周中電流周期性變化期性變化振蕩電路振蕩電路能夠輻射能夠輻射電磁波電磁波104由于由于L和和C的減少，提高電路的震蕩頻率，的減少，提高電路的震蕩頻率，因而它能夠輻射電磁波，并向四周空間因而它能夠輻射電磁波，并向四周空間傳播，這樣的直線型電路，電流，電流傳播，這樣的直線型電路，電流，電流在其中往復(fù)振蕩，兩端出現(xiàn)正負(fù)交替的在其中往復(fù)振蕩，兩端出現(xiàn)正負(fù)交替的等量等量異號(hào)電荷異號(hào)電荷，稱為，稱為振蕩偶極子振蕩偶極子或或輻輻射偶極子射偶極子。例如：天線中振蕩的電流、原子和分子中電荷的振動(dòng)例如：天線中振蕩的電流、原子和分子中電荷的振動(dòng)10518

37、87年，赫茲用類似的振蕩偶極子，實(shí)現(xiàn)了年，赫茲用類似的振蕩偶極子，實(shí)現(xiàn)了發(fā)送和接受電磁波。發(fā)送和接受電磁波。106設(shè)振蕩偶極子是有一對(duì)等量異號(hào)電荷組成，其距離設(shè)振蕩偶極子是有一對(duì)等量異號(hào)電荷組成，其距離隨時(shí)間按余弦函數(shù)規(guī)律變化，則其電矩隨時(shí)間按余弦函數(shù)規(guī)律變化，則其電矩Pe也按余弦也按余弦函數(shù)變化函數(shù)變化0cosePPt正負(fù)電荷相對(duì)它們的公共中心作諧振動(dòng)，正負(fù)電荷相對(duì)它們的公共中心作諧振動(dòng)，為簡(jiǎn)單計(jì)，振蕩偶極子附近的一條電場(chǎng)為簡(jiǎn)單計(jì)，振蕩偶極子附近的一條電場(chǎng)線的變化如圖：線的變化如圖：107設(shè)設(shè)t=0t=0時(shí)，正、負(fù)電荷重合，然后分別作諧振動(dòng)，時(shí)，正、負(fù)電荷重合，然后分別作諧振動(dòng)，兩電荷間的電

38、場(chǎng)線，如圖兩電荷間的電場(chǎng)線，如圖(a)(b)(c)(a)(b)(c)當(dāng)振動(dòng)半個(gè)周期時(shí)，正、負(fù)電荷又重合，其電場(chǎng)線當(dāng)振動(dòng)半個(gè)周期時(shí)，正、負(fù)電荷又重合，其電場(chǎng)線便成閉合狀，如圖便成閉合狀，如圖(d(d）此后正、負(fù)電荷位置互相對(duì)調(diào)，形成方向相反新的此后正、負(fù)電荷位置互相對(duì)調(diào)，形成方向相反新的電場(chǎng)線如圖電場(chǎng)線如圖(e(e）108產(chǎn)生的磁感線是環(huán)繞偶極子軸線的同心圓，較產(chǎn)生的磁感線是環(huán)繞偶極子軸線的同心圓，較遠(yuǎn)區(qū)域電場(chǎng)線閉合，稱為輻射區(qū)，電場(chǎng)為渦旋遠(yuǎn)區(qū)域電場(chǎng)線閉合，稱為輻射區(qū)，電場(chǎng)為渦旋場(chǎng)，渦旋電場(chǎng)在其周圍產(chǎn)生感生磁場(chǎng)場(chǎng)，渦旋電場(chǎng)在其周圍產(chǎn)生感生磁場(chǎng)109振蕩偶極子所發(fā)射的電磁波，在離偶極子足夠振蕩偶極

39、子所發(fā)射的電磁波，在離偶極子足夠遠(yuǎn)的空間內(nèi)某一點(diǎn)遠(yuǎn)的空間內(nèi)某一點(diǎn)P P處、在時(shí)刻處、在時(shí)刻t t的的E E、H H的量值的量值為：為：20020sincos4PrEEtc ru20sincos4PrHHtcru110111振蕩偶極子所輻射的電磁波是球面波，但在遠(yuǎn)振蕩偶極子所輻射的電磁波是球面波，但在遠(yuǎn)離偶極子的小區(qū)域內(nèi)，離偶極子的小區(qū)域內(nèi)，r r和和 的變化很小，以的變化很小，以上兩式可以用平面波的波函數(shù)來(lái)表示：上兩式可以用平面波的波函數(shù)來(lái)表示：00coscos2xtxEEtEcT00coscos2xtxHHtHcT?Tx？112對(duì)上式中的對(duì)上式中的x x和和t t分別求兩階偏導(dǎo)數(shù)：分別求兩階偏導(dǎo)數(shù)：22221EEtx 22221HHtx 與平面波的波動(dòng)方程比較：與平面波的波動(dòng)方程比較：1u113平面簡(jiǎn)諧電磁波的傳播情形：平面簡(jiǎn)諧電磁波的傳播情形：114二、電磁波的性質(zhì)二、電磁波的性質(zhì) 概括平面電磁波的特性如下：概括平面電磁波的特性如下：電磁波為橫波電磁波為橫波, E和和B都與傳播方向垂直，并都與傳播方向垂直，并構(gòu)成右手螺旋關(guān)系；構(gòu)成右手螺旋關(guān)系；電磁波具有偏振性，沿給定方向傳播的電磁