數(shù)形結(jié)合法在解題中的應(yīng)用

1、0引言11以數(shù)化形11.1 利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問(wèn)題21.2 利用二次函數(shù)的圖象求一元二次不等式的解集31.3 利用兩點(diǎn)間間隔公式輔助圖形，解決代數(shù)綜合題32以形變數(shù)42.1 用解析法解決平面解析幾何中的圓錐曲線問(wèn)題43形數(shù)互變63.1 數(shù)軸在有理數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用63.2 利用三角函數(shù)圖象求角度73.3 利用數(shù)形結(jié)合解決平面幾何問(wèn)題7結(jié)論9致謝9參考文獻(xiàn)數(shù)形結(jié)合法在解題中的應(yīng)用提綱1 以“數(shù)化“形1.1 利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問(wèn)題1.2 利用二次函數(shù)的圖象求一元二次不等式的解集1.3 利用兩點(diǎn)間間隔公式輔助圖形，解決代數(shù)綜合題2 以“形變“數(shù)2.1 用解析法解決平面解析幾何中的

2、圓錐曲線問(wèn)題3 “形“數(shù)互變3.1 數(shù)軸在有理數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用3.2 利用三角函數(shù)圖象求角度3.3 利用數(shù)形結(jié)合解決平面幾何問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合法在解題中的應(yīng)用摘要：數(shù)形結(jié)合法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中最根本、也最常用的思想方法。本文就中學(xué)數(shù)學(xué)中的不等式、集合、函數(shù)、解析幾何等內(nèi)容，舉例闡述數(shù)形結(jié)合法在解題中的三點(diǎn)應(yīng)用。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；中學(xué)數(shù)學(xué)；應(yīng)用；解決問(wèn)題引言做事情，假設(shè)想要事半功倍，就必須講究方法，其實(shí)，何止事半功倍，有時(shí)方法甚至起到了決定性的作用，缺乏有效的方法，不僅談不上效率，而且問(wèn)題不能解決，事情也就根本不能成功，數(shù)形結(jié)合法對(duì)解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題就起到了決定性的作用，假設(shè)能將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來(lái)，一些

3、看似無(wú)法入手的問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，產(chǎn)惹事半功倍的效果。我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾精辟地概括了數(shù)形結(jié)合法的內(nèi)涵：數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊分，數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合萬(wàn)般好，割離分家萬(wàn)事非，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)絡(luò)，切莫?jiǎng)e離！可見(jiàn)，數(shù)與形存在著非常親密的聯(lián)絡(luò)。其實(shí)，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，有很多內(nèi)容就是集“數(shù)“形于一身的良好載體，例如：函數(shù)、解析幾何等等，本文試從中學(xué)數(shù)學(xué)中的有理數(shù)、不等式、集合、三角函數(shù)、函數(shù)及其圖象、平面幾何、解析幾何內(nèi)容方面，舉例說(shuō)明數(shù)形結(jié)合法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的三點(diǎn)應(yīng)用：1以“數(shù)化“形；2以“形變“數(shù)；3“形“數(shù)互變。1以“數(shù)化“形在中學(xué)數(shù)學(xué)中的代數(shù)內(nèi)容主要

4、是數(shù)字和文字的運(yùn)算，如：加法、減法、乘法、除法、乘方、開(kāi)方，這些概念、法那么、算律都比較抽象，運(yùn)算有人很繁瑣，讓人難以把握。而形具有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，因此，在考慮和解決問(wèn)題時(shí)，對(duì)于某些從外表上看來(lái)與圖形不相關(guān)的概念和問(wèn)題，有時(shí)可以從某種特定的角度，畫一個(gè)草圖、圖像或者示意圖把這種數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，并通過(guò)對(duì)圖形的分析、推理最終解決數(shù)量問(wèn)題。1.1 利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問(wèn)題一般用圓來(lái)表示集合，兩圓相交那么表示兩集合有公共元素，兩圓相離那么表示兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素。例1某班舉行數(shù)理化三科競(jìng)賽，每人至少參加一科，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有27人，參加物理競(jìng)賽的有25人，參加化學(xué)競(jìng)賽的有27人，其

5、中參加數(shù)學(xué)、物理兩科的有10人，參加物理、化學(xué)兩科的有7人，參加數(shù)學(xué)、化學(xué)兩科的有11人，而參加數(shù)、理、化三科的有4人，求全班人數(shù)？思路分析：由于參加數(shù)、理、化三科競(jìng)賽人數(shù)互相穿插，不易理清參加三科競(jìng)賽的各科人數(shù)，利用韋恩圖可以比較容易地分清它們的關(guān)系。解：設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽的人構(gòu)成的集合分別為A、B、C,由圖知全班人數(shù)為：10+12+13+7+3+6+4=55人由于表達(dá)太長(zhǎng)，單純從文字語(yǔ)言不好理清思路,畫出韋恩圖，可以利用圖形直觀性進(jìn)展計(jì)算。1.2 利用二次函數(shù)的圖象求一元二次不等式的解集求一元二次不等式的解集時(shí)，只要聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象確定1.3 利用兩點(diǎn)間間隔公式輔助圖形，

6、解決代數(shù)綜合題例3求函數(shù)y=vx21+Jx2-4x8的最小值.思路分析：觀察式子，可發(fā)現(xiàn)從代數(shù)的角度求解，難度較大，這時(shí)利用數(shù)形結(jié)合法，巧用兩點(diǎn)間間隔公式可化為：Jx21+vx2-4x8=，(x0)2(01)2+J(x2)2(02)2,令A(yù)0,1，B2,2，Px,0，那么問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在x軸上求一點(diǎn)P,使IPAI+IPBI有最小值.如圖由于AB在x軸同側(cè)，故取A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C0,-1，所以：IPAI+IPBImin=ICBI=J(20)2(21)2=在3，即函數(shù)y=xTl+v'x2-4x8的最小值是vn.通過(guò)以上三個(gè)例題可以看出利用圖形來(lái)輔助數(shù)的計(jì)算使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，而且能開(kāi)闊思路。

7、對(duì)于數(shù)轉(zhuǎn)化為形這類問(wèn)題，解決問(wèn)題的根本思路是：明確題中所含的條件和所求目的；從條件或結(jié)論出發(fā)，分析是否相似一樣于已學(xué)過(guò)的圖形表達(dá)式；作出與之相適宜的圖形；利用已作出的圖形的性質(zhì)，幾何意義等，去解決問(wèn)題。2以形變數(shù)中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何是圖文并茂的內(nèi)容，但是，正如華羅庚所說(shuō)：形少數(shù)時(shí)難入微，雖然，圖形有形象、直觀的特點(diǎn)，但在定量方面還必須借助代數(shù)的計(jì)算，不但要正確把圖形數(shù)字化，而且還要留心觀察圖形的特點(diǎn)，開(kāi)掘題目中的隱含條件，把形正確表示成數(shù)的形式，再進(jìn)展計(jì)算。如平面解析幾何中有關(guān)圓錐曲線問(wèn)題的解決，下面舉例說(shuō)明。2.1 用解析法解決平面解析幾何中的圓錐曲線問(wèn)題22例4點(diǎn)小1,2一為橢圓25囁=1的右

8、焦點(diǎn)，p為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),思路分析：e=3,而5 p恰好是橢圓上的點(diǎn)到橢圓相應(yīng)準(zhǔn)線的間當(dāng)IPAI+5IPFI取最小值時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo).3隔。22解：:橢圓方程為+_y_=1.a=52516b=4,c=3.e=?又A1,2是橢圓內(nèi)部的點(diǎn),圓的右準(zhǔn)線方程為L(zhǎng)：x=年,過(guò)點(diǎn)p作pQ'L于點(diǎn)Q,由橢圓的第二定義知:PFPQ=e=3,即：PQ=5 I PF I ,53IPAI+2IPFI=IPAI+IPQI,當(dāng)且僅當(dāng)P、A、Q三點(diǎn)共線時(shí)，3IPAI+IPQI有最小值，過(guò)A作AA'，L,AA'與橢圓的交點(diǎn)即為所求，顯然yp=2,代入橢圓方程可求xP=里，.當(dāng)2PA1+3IPFI取最小

9、值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為且目,2.32在涉及橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)有關(guān)的間隔時(shí)，一定明確橢圓的第二定義及其相應(yīng)的變形式子。22例5巳、F2為雙曲線二-L=1的左、右焦點(diǎn)，P3,1為雙曲線內(nèi)一54點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線上，那么IAPI+IAF2I的最小值為C.A、V37+4B、,37-4C、V37-2A5D、737+2v5解析：如圖，連接FF交雙曲線右支交于點(diǎn)Ao.vIAPI+IAF2I=IAPI+IAF1I-2V5,:要求IAPI+IAF2I的最小值，只需求IAPI+IAFiI的最/J、值.當(dāng)A落在Ao時(shí)，API+IAFiI=IPI最小，最小值為V37IAPI+IAF2I的最小值為百-2石，即C答案正確.此題結(jié)

10、合定義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求IAPI+IAFi2北的最小值，問(wèn)題就迎刃而解。有關(guān)解析幾何的問(wèn)題，大部分都會(huì)用到解析法，解決幾何問(wèn)題，由于幾何研究的是圖形，圖形的直觀會(huì)幫助我們翻開(kāi)思路，充分利用圖形的性質(zhì)和幾何意義，把形正確表示成數(shù)，有效地解決問(wèn)題。對(duì)于形變數(shù)這類問(wèn)題，解題的根本思路是：明確題中所給的條件和所求的目的；分析條件和目的在圖形中的意義；將題中用到的圖形用已學(xué)過(guò)的代數(shù)式表達(dá)出來(lái)；利用相應(yīng)的公式或定理計(jì)算。3形數(shù)互變以數(shù)化形和以形變數(shù)是數(shù)形結(jié)合的兩個(gè)重要方面，而在有些問(wèn)題中不僅僅是簡(jiǎn)單的以數(shù)變形或以形變數(shù)，而是需要形數(shù)互相變換，解決問(wèn)題時(shí)，問(wèn)題的某些數(shù)量特征往往能給人們圖形方面的提示，反過(guò)來(lái)，利

11、用圖形的構(gòu)造特征又給人們翻開(kāi)解決問(wèn)題的思路。3.1 數(shù)軸在有理數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用例6實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的點(diǎn)如下列圖，化簡(jiǎn)：a+Ia+bI-Vc2-Ib-cI.I*«»bc0a思路分析：此題運(yùn)用了數(shù)與形的結(jié)合，由實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置，既能比較它們的大小，又能確定a+樂(lè)b-c的符號(hào)，從而去掉絕對(duì)值的符號(hào)，完成化簡(jiǎn)。解：由數(shù)軸知b<0,c<0,a>0,a+b<0,b-c<0,那么a+Ia+bI-vc2-Ib-cI=a-a-b-(-c)+b=0.3.2 利用三角函數(shù)圖象求角度例7函數(shù)y=sin(x+)(>0,-兀w<nt的圖象所示，那么三

12、角函數(shù)值求三角函數(shù)解析式的方法：應(yīng)先由三角函數(shù)的最值點(diǎn),確定周期求出，然后根據(jù)圖像上的特殊點(diǎn)求3.3 利用數(shù)形結(jié)合解決平面幾何問(wèn)題例8在4ABC中，AB=4，cos/ABC=?,AC邊上的中線BD=幾,求sinA的值.解：如下列圖，過(guò)A做AHLBC交BC于點(diǎn)A,延長(zhǎng)BD到P使BD=DP,連接AP、PC過(guò)P作PN，BC交BC的延長(zhǎng)線于N,那么HB=ABcos/ABC=4.AH= AB2-HB2=435BN= BP2 -PN2 = BP2 - AH2=2524'53_10.3而CN=HB=4,.BC=BN-CN=2,HC=2.33AC=AH2HC2=2-21.3又由題意知sin/ABC=1

13、cos2ABC2.21由正弦定理得2=丁=70sinA3014二 sinA=,7014例9如圖，OO的直徑CD過(guò)弦EF的中點(diǎn)G,/EOD=40，那么/DCF等于D.A、80B、50C、40D、20解析：G是EF的中點(diǎn)，且CD為直徑，那么D為EF的中點(diǎn)，所以曲三面，那么/EOD=2/DCF,即/DCF=1/EOD=1>40=20,.D答案正22確.此題綜合應(yīng)用了垂徑定理及圓心角與圓周角的關(guān)系，在解決有關(guān)圓的問(wèn)題時(shí)，每一個(gè)題的分析與考慮必須聯(lián)絡(luò)圖形建立直觀可見(jiàn)的形象，這樣才能快速準(zhǔn)確地解決問(wèn)題。由以上四個(gè)例題，我們可以體會(huì)到解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，數(shù)和形往往是不能分開(kāi)的，需要“數(shù)和“形互相轉(zhuǎn)化、

14、互相利用、互相補(bǔ)充，解決此類問(wèn)題往往需要從和結(jié)論同時(shí)出發(fā)，認(rèn)真分析，找出“形“數(shù)互變，到達(dá)解決問(wèn)題的目的。結(jié)論從上文所舉的例子我們可以感受到，利用數(shù)形結(jié)合法讓問(wèn)題顯得直觀，便于解答，以上的以“數(shù)化“形和以“形變“數(shù)中所舉的例子看似是見(jiàn)“數(shù)想“形，見(jiàn)“形思“數(shù)，本質(zhì)上就是以“數(shù)化“形，以“形變“數(shù)的結(jié)合，這兩個(gè)方面往往是不能截然分開(kāi)的，一般來(lái)說(shuō)，在問(wèn)題的表達(dá)上，用代數(shù)法，分析思路借助于幾何的直觀，但在數(shù)形轉(zhuǎn)化中，必須遵循等價(jià)轉(zhuǎn)換原那么，數(shù)形互補(bǔ)原那么，總而言之，“數(shù)無(wú)形不直觀，形無(wú)數(shù)難入微見(jiàn)到數(shù)量就考慮它的幾何意義，見(jiàn)到圖形就應(yīng)考慮它的代數(shù)關(guān)系，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法解決問(wèn)題，用好了就是才能，因此我們平時(shí)就要注意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)步自己解決問(wèn)題的才能。致謝本文是在我的指導(dǎo)教師陳文華教授悉心指導(dǎo)下完成的。陳教師淵博的專業(yè)知識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，平易近人的人格魅力對(duì)我影響深遠(yuǎn)。本文傾注了陳教師大量的心血，從選題到完成，一遍又一遍地指出每稿中的詳細(xì)問(wèn)題，嚴(yán)格把關(guān)，循循善誘，在此向陳教師