數(shù)學(xué)練習(xí)題抽象函數(shù)(含答案)

1、高考一輪專練一一抽象函數(shù)1.已知函數(shù)y=f(x)(xCR,xw0)對任意的非零實(shí)數(shù)%,再，包有f(#-)=f(斗)+f(勺，試判斷f(x)的奇偶性。2i已知定義在-2,2上的偶函數(shù)，f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減，若f(1-m)<f(m),求實(shí)數(shù)m的取值范圍3 .設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x+3)=-f(x),求f(1998)的值。4 .設(shè)函數(shù)“”對任意2，者B有“丹+占)=汽x1k門占)f(x)=2,()“一)已知口)=工求2,4的化5 .已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足：f(x+2)1-f(x)=1+f(x),f(1)=1997,求f(2001)的值。6 .設(shè)f(x)是定

2、義R在上的函數(shù)，對任意x,yCR,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)w0.(1)求證f(0)=1;(2)求證：y=f(x)為偶函數(shù).7 .已知定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)的一個遞增區(qū)間為(2,6),試判斷(4,8)是y=f(2-x)的遞增區(qū)間還是遞減區(qū)間？8 .設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意a,b,當(dāng)a+bw0,都有fta垃-b>0(1)若a>b,試比較f(a)與f(b)的大??；(2)若f<0對xC1,1恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。9 .已知函數(shù)是定義在(-8,3上的減函數(shù)，已知八+|+mJm對九二R包成立，求實(shí)數(shù)各的取值范圍。10,已知函

3、數(shù)*在當(dāng)，*兄時，恒有ft*#as.(1)求證：門外是奇函數(shù)；(2)若門一3-砥試用“我示"24).11.已知制是定義在R上的不包為零的函數(shù)，且對于任意的，都滿足：b=一冏曲中打(1)求人0),“】)的值；(2)判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；,求數(shù)歹14的前門項(xiàng)和5.12.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)"”滿足/'(一X+X»=X'+V(1)若,(2)設(shè)有且僅有一個實(shí)數(shù)吊，使得"Hf求函數(shù)"P的解析表達(dá)式.13 .已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,對任意實(shí)數(shù)見網(wǎng)都有"川1+/外4!f(-)=0-T>廣、工，且2，當(dāng)2時，個>&g

4、t;0.(1)求)；(2)求和網(wǎng)八心+，。+詢3”)；(3)判斷函數(shù)回的單調(diào)性，并證明.14 .函數(shù)的定義域?yàn)镽,并滿足以下條件：對任意能名是，有尸(制>0;對任意VR,有小了)=心汁；.(1)求“的值；(2)求證：川*在R上是單調(diào)減函數(shù)；(3)若八人心>0且反，匕求證：fkdb).15 .已知函數(shù)嘉的定義域?yàn)镽,對任意實(shí)數(shù)四都有五，"二網(wǎng)八用，且當(dāng)時，'.(1)證明："7一。時,f(X»1；(2)證明：啟在R上單調(diào)遞減；(3)設(shè)A=,B=,若八ne二中，試確定日的取值范圍.16 .已知函數(shù)燈是定義在R上的增函數(shù)，設(shè)F(t-f(t)心7).(1

5、)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：“*是R上的增函數(shù)；m1一(2)證明：函數(shù)卅二3)的圖象關(guān)于點(diǎn)(？成中心對稱圖形.17 .已知函數(shù)“燈是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線父=對稱.(1)求"°)的值；(2)證明：函數(shù)是周期函數(shù)；至少(3)若的求當(dāng)*名改時，函數(shù)*外的解析式，并畫出滿足條件的函數(shù),3一個周期的圖象。18 .函數(shù)乩。對于x>0有意義，且滿足條件""LW小)+“¥卜，。促減函數(shù)。(1)證明：0=0；*)若Am*力2=成立，求x的取值范圍。19,設(shè)函數(shù)在(一*司上滿足"2)=心),A?Al=A7+幻，且在閉區(qū)間0,7上，只

6、有*3)=0.(1)試判斷函數(shù)的奇偶性；(2)試求方程"*=0在閉區(qū)間-2005,2005上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論.20 .已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時，f(x)>0,f(1)=2,求f(x)在區(qū)間2,1上的值域。21 .已知函數(shù)f(x)對任意MJ三區(qū),滿足條件f(x)+f(y)=2+f(x+y),且當(dāng)x>0時，f(x)>2,f(3)=5,求不等式“一如-2K飛的解。22 .是否存在函數(shù)f(x),使下列三個條件：f(x)>0,xCN；戶“垃7G0由三叫,f(2)=4。同時成立？若存在，求出f(x

7、)的解析式，如不存在，說明理由。答案：1 .解：令=-1,士=x，得f(-x)=f(-1)+f(x)為了求f(-1)的值，令芭=1,F=-1,則f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令/=&=-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1).(-1)=0代入式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一個偶函數(shù)。2 .分析：根據(jù)函數(shù)的定義域，-mm-2,2，但是1-m和m分別在-2,0和0,2的哪個區(qū)間內(nèi)呢？如果就此討論，將十分復(fù)雜，如果注意到偶函數(shù)，則f(x)有性質(zhì)f(-x)=f(x)=f(|x|),就可避免一場大規(guī)模討論。解：:f(x)是偶函數(shù)，f(1-m<f(

8、m可得停沖”川味，.f”)在0,2同11一切+m、加豈卜.小2.-2£I-m£2上是單調(diào)遞減的，于是1°工同門，即上及化簡得-10陸二。3.解：因?yàn)閒(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=f(x+3)+3)=-f(x+3)=f(x)，故6是函數(shù)f(x)的一個周期。又f(x)是奇函數(shù)，且在x=0處有定義，所以f(x)=0從而f(1998)=f(64.解：由x ,=f(”久0,f (1) =2,X333)=f(0)=0。f(+工)=f("知f二"/"()=/(4-)=/(>-門一)=網(wǎng)一)22222從而f(2001)=f(1)=

9、1997說明：這類問題出現(xiàn)應(yīng)緊扣已知條件，需用數(shù)值或變量來迭代變換，經(jīng)過有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解。6 .證明：(1)問題為求函數(shù)值，只需令x=y=0即可得。(2)問題中令x=0即得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),且f(0)=1.所以f(y)+f(-y)=2f(y),因此y=f(x)為偶函數(shù).說明：這類問題應(yīng)抓住f(x)與f(-x)的關(guān)系，通過已知條件中等式進(jìn)行變量賦值。7 .解：由y=f(x)是偶函數(shù)且在(2,6)上遞增可知，y=f(x)在(一6,2)上遞減。令u=2-x,則當(dāng)x(4,8)時，u是減函數(shù)且u(-6,-2),

10、而f(u)在(一6,一2)上遞減，故y=f(2-x)在(4,8)上遞增。所以(4,8)是y=f(2-x)的單調(diào)遞增區(qū)間。8 .解：(1).因?yàn)閍>b,所以a-b>0,由題意得士”二處。二>0,所以f(a)+f(-b)>0,又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(b)=f(b),f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b)(2) .由(1)知f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，又f"I'+fG'-9,?產(chǎn)l<0,得f",i<f'“一3故所以k<令1=甘,所以k<t+，而t+f>2、2,即k&l

11、t;2Y一一1sinAr)ij+1+A)-工iniis13£unij#JILtrm'.f£J=sjJ-2i-j0j-.2D4一加工|j-r-tiwr*liiix一n-V3£dr£1JlO10. (1)證明：令一二得小時一必"7兒山門.，刈令0,則網(wǎng)八。尸53打7)=0"7i加.*#)是奇函數(shù)。(2)f2U=2川用=又."-3）=ao"3）="nf24）=-心11 .（1）解：令=b二口,則-。令廿=D=I,則川）=3*l）n，=°（2）證明：令吐占=T,則61）=2A1）,.川】=

12、76;】）=°令徐5="I,則/汨-1）mi16一期是奇函數(shù)。網(wǎng)3,s）fib）r（A）.,廣一.：=+/式肌=一.（3）當(dāng)匕*0時，也由ba，令x,貝8（方,3=g*限卜）故或產(chǎn)）=%”目），所以人父）曲“£（3）=。/劇皆）.出二川212 .解：（1）二.對任意*w勺函數(shù)小滿足"力L="，）.一二且"2）=2":必Y-QTF則:”0州"，.八，'-Q：+=限10'+0="UU=f（a）=a（2）對任意武R,函數(shù)，乜）滿足“T，卜F=/一":有且僅有一個實(shí)數(shù)使得.對任意有加一丁

13、"7上式中，令"飛,則"）-V.+.七./卬”故%0或耳廣1若為=o,則"qQ,則"叫='，但方程“*八有兩個不相同的實(shí)根與題設(shè)茅盾，故若蜀】，則3支-I,則八目=X",此時方程Vnl=uC】、0有兩個相等的實(shí)根，即有且僅有一個實(shí)數(shù)一%,使得.,；m=打=一/"(4i-)=2汽一+=jf(1)=一13.(1)解：令2,則2712201)=-,(2) ;#/»+】)二門】)+A啪十L+十工一/(rt)-I222.ni.數(shù)列“”)是以2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列，故nrtjt-I)jj+-=1"心=-

14、.=-任取3士仁飛且看，則西1/白.I1曦小的11*vj/IaI*梅I1，figh工Ai,!門鳥。申:F(M禺4-)>0=.函數(shù)"#是R上的單調(diào)增函數(shù).14.解：:對任意勺有"">0,.令"0，*2徨','W,I_任取任取禺.0L*HV/,則令13尸，故M<內(nèi)函數(shù)”力的定義域?yàn)镽,并滿足以下條件：對任意匕士衣，有費(fèi)')>0;對任Il'j意*用有"LF；三”門gp：L"?一"尸>o.',函數(shù)"#是R上的單調(diào)減函數(shù).由(1)(2)知，Nb"

15、/(0|=.4/C.a)=f(b»i-6)*<fo-t>*-/X/!)-'bLb，J4t/3+fl門"加上"用卜>2/)訓(xùn)/，而,',15.(1)證明：令加二°，”T,則“0，卜砌，.當(dāng)4U時，展”1,故m)>0,.八=,.當(dāng)Q0時，八月)1當(dāng)又y。時，o,則HQ)I+M)=*-/(*=n的=>1A-A>f-X>證明：任取不"先旦飛，飛,則門為i一打工1ME/-JQ-禺-門J,心網(wǎng)小-耳"一HX,)=I“公一片1-I，().三-網(wǎng)>。，.0<k)I,故”占7j-I&

16、lt;0,又.”即A0，3)叫卬)。，故小»5)函數(shù)”是R上的單調(diào)減函數(shù).a1|兒了""i*N¥一rii)|+/1An)由(2)知，出是R上的減函數(shù)，一八八I.&一(，3”(八2)="eR(3小心2=0,八叫B=又.珀人X-+y<1方程組”2無解，即直線八=。叮單位雨71I的內(nèi)部無公共占八、7T+1二,故分的取值范圍是-人士門士也16.(1)任取W凡且看工則FfCXjif'(.rl)/ia%"fx21AJ)=1I又函數(shù)出是定義在R上的增函數(shù)，六一中、U,-尾）故：一I>0F（是R上的增函數(shù);£0）

17、設(shè)A”K）為函數(shù)¥=FQ的圖象上任一點(diǎn),則點(diǎn)“"心片）關(guān)于點(diǎn)G的對稱點(diǎn)為N（嗎燈）,則£_/土用Q_國十門3一丁丁，故叫月.把所"5代入爐）=H'S打得，"授-七"m-$+%）=門-%"”）=月 2。）.函數(shù) >'=門.用的圖象關(guān)于點(diǎn)（工17.（1）解：. 飛。為R上的奇函數(shù), “則f（oirg.' =0成中心對稱圖形.對任意”£艮都有n.一 *,令（2）證明：:"1）為R上的奇函數(shù)，.對任意界聽凡都有"-*）=1日，的圖象關(guān)于直線-31對稱，對任意TW段都有“I*

18、工）=C冷.用17代3得，必幻-川OI二二。.串（用即日4,正3"”）是周期函數(shù),4是其周期.網(wǎng)-151)”A用二當(dāng)相卜1時，.1m)當(dāng)4bUg"+l時，"幻-"4,fieZ當(dāng)4人1<44+3時，八出一"2","NF( k-圖象如下:1411410K4*ih,NER,¥42-4*44卜Iwx<411-3)y-2-10123456x18.(1)證明：令,則以)=田，故八1=。(2);=，令<7=2,則2x2)=A4A2=2,Z(4>=2.''-HF#-%*/Hln/if-工外W

19、fl4|=sZ-3ri4=b-li."»*3)22成立的x的取值范圍是TM汗£3。19 .解：(1)由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)尸=六*的對稱軸為K=2和*=1,從而知函數(shù)*t)不是奇函數(shù)，=八萬)="«+)，從而知函數(shù)了=”劉的周期為7 =1°又/(0)一慎而八7)才0,故函數(shù)""是非奇非偶函數(shù);由IA1“02*II門”64M55三門d7門14-箝用Th1tAT*JiinTl»汽L4k=r(x)=r(t+io)又/13)-rcoi-G.r(lII=HI3)=/(7)。陰口故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個解，從而可知函數(shù)y二"")在0,2005上有402個解，在-2005.0上有400個解，所以函數(shù)flv)ft-2005,2005上有802個解.20 .解：設(shè)/<叼，貝憶-Q0,當(dāng)Q0時J(x)o,=力但-小工】=/(7為+7g,./g-/&)=出-勺)0,即/包)>/(/),.(x)為增函數(shù)。在條件中，令y=x,則/。=,區(qū)+/(一切，再令x=y=0,則f(0)=2f