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1、高考一輪專(zhuān)練一一抽象函數(shù)1.已知函數(shù)y=f(x)(xCR,xw0)對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)%,再,包有f(#-)=f(斗)+f(勺,試判斷f(x)的奇偶性。2i已知定義在-2,2上的偶函數(shù),f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減,若f(1-m)<f(m),求實(shí)數(shù)m的取值范圍3 .設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),且f(x+3)=-f(x),求f(1998)的值。4 .設(shè)函數(shù)“”對(duì)任意2,者B有“丹+占)=汽x1k門(mén)占)f(x)=2,()“一)已知口)=工求2,4的化5 .已知f(x)是定義在R上的函數(shù),且滿足:f(x+2)1-f(x)=1+f(x),f(1)=1997,求f(2001)的值。6 .設(shè)f(x)是定
2、義R在上的函數(shù),對(duì)任意x,yCR,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)w0.(1)求證f(0)=1;(2)求證:y=f(x)為偶函數(shù).7 .已知定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)的一個(gè)遞增區(qū)間為(2,6),試判斷(4,8)是y=f(2-x)的遞增區(qū)間還是遞減區(qū)間?8 .設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意a,b,當(dāng)a+bw0,都有fta垃-b>0(1)若a>b,試比較f(a)與f(b)的大??;(2)若f<0對(duì)xC1,1恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。9 .已知函數(shù)是定義在(-8,3上的減函數(shù),已知八+|+mJm對(duì)九二R包成立,求實(shí)數(shù)各的取值范圍。10,已知函
3、數(shù)*在當(dāng),*兄時(shí),恒有ft*#as.(1)求證:門(mén)外是奇函數(shù);(2)若門(mén)一3-砥試用“我示"24).11.已知制是定義在R上的不包為零的函數(shù),且對(duì)于任意的,都滿足:b=一冏曲中打(1)求人0),“】)的值;(2)判斷的奇偶性,并證明你的結(jié)論;,求數(shù)歹14的前門(mén)項(xiàng)和5.12.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)"”滿足/'(一X+X»=X'+V(1)若,(2)設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)吊,使得"Hf求函數(shù)"P的解析表達(dá)式.13 .已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意實(shí)數(shù)見(jiàn)網(wǎng)都有"川1+/外4!f(-)=0-T>廣、工,且2,當(dāng)2時(shí),個(gè)>&g
4、t;0.(1)求);(2)求和網(wǎng)八心+,。+詢3”);(3)判斷函數(shù)回的單調(diào)性,并證明.14 .函數(shù)的定義域?yàn)镽,并滿足以下條件:對(duì)任意能名是,有尸(制>0;對(duì)任意VR,有小了)=心汁;.(1)求“的值;(2)求證:川*在R上是單調(diào)減函數(shù);(3)若八人心>0且反,匕求證:fkdb).15 .已知函數(shù)嘉的定義域?yàn)镽,對(duì)任意實(shí)數(shù)四都有五,"二網(wǎng)八用,且當(dāng)時(shí),'.(1)證明:"7一。時(shí),f(X»1;(2)證明:?jiǎn)⒃赗上單調(diào)遞減;(3)設(shè)A=,B=,若八ne二中,試確定日的取值范圍.16 .已知函數(shù)燈是定義在R上的增函數(shù),設(shè)F(t-f(t)心7).(1
5、)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:“*是R上的增函數(shù);m1一(2)證明:函數(shù)卅二3)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?成中心對(duì)稱圖形.17 .已知函數(shù)“燈是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且它的圖象關(guān)于直線父=對(duì)稱.(1)求"°)的值;(2)證明:函數(shù)是周期函數(shù);至少(3)若的求當(dāng)*名改時(shí),函數(shù)*外的解析式,并畫(huà)出滿足條件的函數(shù),3一個(gè)周期的圖象。18 .函數(shù)乩。對(duì)于x>0有意義,且滿足條件""LW小)+“¥卜,。促減函數(shù)。(1)證明:0=0;*)若Am*力2=成立,求x的取值范圍。19,設(shè)函數(shù)在(一*司上滿足"2)=心),A?Al=A7+幻,且在閉區(qū)間0,7上,只
6、有*3)=0.(1)試判斷函數(shù)的奇偶性;(2)試求方程"*=0在閉區(qū)間-2005,2005上的根的個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.20 .已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0,f(1)=2,求f(x)在區(qū)間2,1上的值域。21 .已知函數(shù)f(x)對(duì)任意MJ三區(qū),滿足條件f(x)+f(y)=2+f(x+y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)>2,f(3)=5,求不等式“一如-2K飛的解。22 .是否存在函數(shù)f(x),使下列三個(gè)條件:f(x)>0,xCN;戶“垃7G0由三叫,f(2)=4。同時(shí)成立?若存在,求出f(x
7、)的解析式,如不存在,說(shuō)明理由。答案:1 .解:令=-1,士=x,得f(-x)=f(-1)+f(x)為了求f(-1)的值,令芭=1,F=-1,則f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令/=&=-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1).(-1)=0代入式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一個(gè)偶函數(shù)。2 .分析:根據(jù)函數(shù)的定義域,-mm-2,2,但是1-m和m分別在-2,0和0,2的哪個(gè)區(qū)間內(nèi)呢?如果就此討論,將十分復(fù)雜,如果注意到偶函數(shù),則f(x)有性質(zhì)f(-x)=f(x)=f(|x|),就可避免一場(chǎng)大規(guī)模討論。解::f(x)是偶函數(shù),f(1-m<f(
8、m可得停沖”川味,.f”)在0,2同11一切+m、加豈卜.小2.-2£I-m£2上是單調(diào)遞減的,于是1°工同門(mén),即上及化簡(jiǎn)得-10陸二。3.解:因?yàn)閒(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=f(x+3)+3)=-f(x+3)=f(x),故6是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期。又f(x)是奇函數(shù),且在x=0處有定義,所以f(x)=0從而f(1998)=f(64.解:由x ,=f(”久0,f (1) =2,X333)=f(0)=0。f(+工)=f("知f二"/"()=/(4-)=/(>-門(mén)一)=網(wǎng)一)22222從而f(2001)=f(1)=
9、1997說(shuō)明:這類(lèi)問(wèn)題出現(xiàn)應(yīng)緊扣已知條件,需用數(shù)值或變量來(lái)迭代變換,經(jīng)過(guò)有限次迭代可直接求出結(jié)果,或者在迭代過(guò)程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性,利用周期性使問(wèn)題巧妙獲解。6 .證明:(1)問(wèn)題為求函數(shù)值,只需令x=y=0即可得。(2)問(wèn)題中令x=0即得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),且f(0)=1.所以f(y)+f(-y)=2f(y),因此y=f(x)為偶函數(shù).說(shuō)明:這類(lèi)問(wèn)題應(yīng)抓住f(x)與f(-x)的關(guān)系,通過(guò)已知條件中等式進(jìn)行變量賦值。7 .解:由y=f(x)是偶函數(shù)且在(2,6)上遞增可知,y=f(x)在(一6,2)上遞減。令u=2-x,則當(dāng)x(4,8)時(shí),u是減函數(shù)且u(-6,-2),
10、而f(u)在(一6,一2)上遞減,故y=f(2-x)在(4,8)上遞增。所以(4,8)是y=f(2-x)的單調(diào)遞增區(qū)間。8 .解:(1).因?yàn)閍>b,所以a-b>0,由題意得士”二處。二>0,所以f(a)+f(-b)>0,又f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(b)=f(b),f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b)(2) .由(1)知f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù),又f"I'+fG'-9,?產(chǎn)l<0,得f",i<f'“一3故所以k<令1=甘,所以k<t+,而t+f>2、2,即k&l
11、t;2Y一一1sinAr)ij+1+A)-工iniis13£unij#JILtrm'.f£J=sjJ-2i-j0j-.2D4一加工|j-r-tiwr*liiix一n-V3£dr£1JlO10. (1)證明:令一二得小時(shí)一必"7兒山門(mén).,刈令0,則網(wǎng)八。尸53打7)=0"7i加.*#)是奇函數(shù)。(2)f2U=2川用=又."-3)=ao"3)="nf24)=-心11 .(1)解:令=b二口,則-。令廿=D=I,則川)=3*l)n,=°(2)證明:令吐占=T,則61)=2A1),.川】=
12、76;】)=°令徐5="I,則/汨-1)mi16一期是奇函數(shù)。網(wǎng)3,s)fib)r(A).,廣一.:=+/式肌=一.(3)當(dāng)匕*0時(shí),也由ba,令x,貝8(方,3=g*限卜)故或產(chǎn))=%”目),所以人父)曲“£(3)=。/劇皆).出二川212 .解:(1)二.對(duì)任意*w勺函數(shù)小滿足"力L=",).一二且"2)=2":必Y-QTF則:”0州",.八,'-Q:+=限10'+0="UU=f(a)=a(2)對(duì)任意武R,函數(shù),乜)滿足“T,卜F=/一":有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)使得.對(duì)任意有加一丁
13、"7上式中,令"飛,則")-V.+.七./卬”故%0或耳廣1若為=o,則"qQ,則"叫=',但方程“*八有兩個(gè)不相同的實(shí)根與題設(shè)茅盾,故若蜀】,則3支-I,則八目=X",此時(shí)方程Vnl=uC】、0有兩個(gè)相等的實(shí)根,即有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)一%,使得.,;m=打=一/"(4i-)=2汽一+=jf(1)=一13.(1)解:令2,則2712201)=-,(2) ;#/»+】)二門(mén)】)+A啪十L+十工一/(rt)-I222.ni.數(shù)列“”)是以2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,故nrtjt-I)jj+-=1"心=-
14、.=-任取3士仁飛且看,則西1/白.I1曦小的11*vj/IaI*梅I1,figh工Ai,!門(mén)鳥(niǎo)。申:F(M禺4-)>0=.函數(shù)"#是R上的單調(diào)增函數(shù).14.解::對(duì)任意勺有"">0,.令"0,*2徨','W,I_任取任取禺.0L*HV/,則令13尸,故M<內(nèi)函數(shù)”力的定義域?yàn)镽,并滿足以下條件:對(duì)任意匕士衣,有費(fèi)')>0;對(duì)任Il'j意*用有"LF;三”門(mén)gp:L"?一"尸>o.',函數(shù)"#是R上的單調(diào)減函數(shù).由(1)(2)知,Nb"
15、/(0|=.4/C.a)=f(b»i-6)*<fo-t>*-/X/!)-'bLb,J4t/3+fl門(mén)"加上"用卜>2/)訓(xùn)/,而,',15.(1)證明:令加二°,”T,則“0,卜砌,.當(dāng)4U時(shí),展”1,故m)>0,.八=,.當(dāng)Q0時(shí),八月)1當(dāng)又y。時(shí),o,則HQ)I+M)=*-/(*=n的=>1A-A>f-X>證明:任取不"先旦飛,飛,則門(mén)為i一打工1ME/-JQ-禺-門(mén)J,心網(wǎng)小-耳"一HX,)=I“公一片1-I,().三-網(wǎng)>。,.0<k)I,故”占7j-I&
16、lt;0,又.”即A0,3)叫卬)。,故小»5)函數(shù)”是R上的單調(diào)減函數(shù).a1|兒了""i*N¥一rii)|+/1An)由(2)知,出是R上的減函數(shù),一八八I.&一(,3”(八2)="eR(3小心2=0,八叫B=又.珀人X-+y<1方程組”2無(wú)解,即直線八=。叮單位雨71I的內(nèi)部無(wú)公共占八、7T+1二,故分的取值范圍是-人士門(mén)士也16.(1)任取W凡且看工則FfCXjif'(.rl)/ia%"fx21AJ)=1I又函數(shù)出是定義在R上的增函數(shù),六一中、U,-尾)故:一I>0F(是R上的增函數(shù);£0)
17、設(shè)A”K)為函數(shù)¥=FQ的圖象上任一點(diǎn),則點(diǎn)“"心片)關(guān)于點(diǎn)G的對(duì)稱點(diǎn)為N(嗎燈),則£_/土用Q_國(guó)十門(mén)3一丁丁,故叫月.把所"5代入爐)=H'S打得,"授-七"m-$+%)=門(mén)-%"”)=月 2。).函數(shù) >'=門(mén).用的圖象關(guān)于點(diǎn)(工17.(1)解:. 飛。為R上的奇函數(shù), “則f(oirg.' =0成中心對(duì)稱圖形.對(duì)任意”£艮都有n.一 *,令(2)證明::"1)為R上的奇函數(shù),.對(duì)任意界聽(tīng)凡都有"-*)=1日,的圖象關(guān)于直線-31對(duì)稱,對(duì)任意TW段都有“I*
18、工)=C冷.用17代3得,必幻-川OI二二。.串(用即日4,正3"”)是周期函數(shù),4是其周期.網(wǎng)-151)”A用二當(dāng)相卜1時(shí),.1m)當(dāng)4bUg"+l時(shí),"幻-"4,fieZ當(dāng)4人1<44+3時(shí),八出一"2","NF( k-圖象如下:1411410K4*ih,NER,¥42-4*44卜Iwx<411-3)y-2-10123456x18.(1)證明:令,則以)=田,故八1=。(2);=,令<7=2,則2x2)=A4A2=2,Z(4>=2.''-HF#-%*/Hln/if-工外W
19、fl4|=sZ-3ri4=b-li."»*3)22成立的x的取值范圍是TM汗£3。19 .解:(1)由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)尸=六*的對(duì)稱軸為K=2和*=1,從而知函數(shù)*t)不是奇函數(shù),=八萬(wàn))="«+),從而知函數(shù)了=”劉的周期為7 =1°又/(0)一慎而八7)才0,故函數(shù)""是非奇非偶函數(shù);由IA1“02*II門(mén)”64M55三門(mén)d7門(mén)14-箝用Th1tAT*JiinTl»汽L4k=r(x)=r(t+io)又/13)-rcoi-G.r(lII=HI3)=/(7)。陰口故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個(gè)解,從而可知函數(shù)y二"")在0,2005上有402個(gè)解,在-2005.0上有400個(gè)解,所以函數(shù)flv)ft-2005,2005上有802個(gè)解.20 .解:設(shè)/<叼,貝憶-Q0,當(dāng)Q0時(shí)J(x)o,=力但-小工】=/(7為+7g,./g-/&)=出-勺)0,即/包)>/(/),.(x)為增函數(shù)。在條件中,令y=x,則/。=,區(qū)+/(一切,再令x=y=0,則f(0)=2f
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