數(shù)列求和(師)VIP

1、團(tuán)風(fēng)中學(xué)451高效課堂高一數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案3課題：數(shù)列求和課型：習(xí)題講練課整理人：王仁杰讓帆課時(shí)安排：3-4課時(shí)整理時(shí)間：2013年3月25日說(shuō)明：本專題主要針對(duì)實(shí)驗(yàn)班使用，請(qǐng)其他班級(jí)選擇部分類型和題目講解?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式及其應(yīng)用，這是數(shù)列求和的基礎(chǔ)；掌握好分組、裂項(xiàng)、錯(cuò)位相減、倒序相加法這幾種重要的求和方法；掌握一些與數(shù)列求和有關(guān)的綜合問(wèn)題的解決方法，如求數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，研究前n項(xiàng)和所滿足的不等式等.【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】裂項(xiàng)相消與錯(cuò)位相減求和；【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】錯(cuò)位相減求和方法?！緦W(xué)習(xí)過(guò)程】一、利用常用求和公式求和1、等差數(shù)列求和公式：&:工豆及為十強(qiáng)R)d222、

2、等比數(shù)列求和公式： Snna1a1(1-qn)(q =1)例1已知log 3 X-1解：由log 3 x-1log 2 3由等比數(shù)列求和公式得：Sn例 2設(shè) Sn= 1+2+3+n ,1 -qa -anq1 -q_ nX=log3X- -log 3 2 =23n二 X X X : Xn e N，求 f (n)=Sn(q 二 1)+的前n項(xiàng)和.x(1 -Xn) _ 2(1 -2n1-21-A2n(n 32)& 1的最大值.解：由等差數(shù)列求和公式得f(n)=(n 32)S1 n2 34n 64n 34 64 n8 2 一(n- ) 5050-8M n，即 n= 8 時(shí)，f (n) max1

3、50二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和，其中 an卜 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列例 3求和：Sn =1 +3x +5x2 +7x3 + +(2n 1)xn解：由題可知，（2n1）xn,的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列xn的通項(xiàng)之積:設(shè)xS =1x+3x2 +5x3 + 7x4 +，+(2n1)xn (設(shè)制錯(cuò)位)D _ 得 (1x)Sn =1+2x+2x2+2x3+2x4 + + 2xn_(2n_1)xn（錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得:(1 -x)Sn1 _xnJ=1 +2x-(2n -1)xno1

4、 一 x例4求數(shù)列與等比數(shù)列Sn 二(2n -1)xn 1 (2n 1)xn (1 x)(1-x)22 4 6，2,22,23，1工一的通項(xiàng)之積 2n2n 一 一.一 ,一 .，2-刖n項(xiàng)的和.斛：由您可知,2n二的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)2n設(shè)Sn二2 W2222Sn1(1 -2電23.9242n2n* * *-r 222=± + - + - +22223n 22二242 2n* * I “，2 n 2n 121 2n-22。2口 1Sn =4 - 2n二、倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n

5、個(gè)（a1+an）.例6求sin21+sin22+sin23+sin288+sin289的值將式右邊反序得：S=sin289+sin288+sin23一+sin22-十sin21一又因?yàn)閟irx=co9px)sinxyoSx=1，+得2”222222SMsir14coilMsir24Gos2)+Tsir894cos89=89.s=44.5四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.1,1r1cc例7求數(shù)列的刖n項(xiàng)和：1+1,+4,2"+7,；fj+3n2,aaa,一一111解：設(shè)Sn=(

6、11)(4)(27)-(y3n-2)aaa將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得111Sn=(1+,+.+T)+(1+4+7+-+3n-2)(分組)aaag11I-當(dāng)a=1時(shí)，sn=n+(3n1)n=(3n1)n(分組求和)當(dāng)a#1時(shí)，sn=a-+(3n1)n2212a1_n-_a-a(3n-1)na-12例8求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和.n解：設(shè)ak=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k：Sn=Zk(k+1)(2k+1)=k1n%(2k33k2k)kWnnn將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得：sn=2工k3+3工k2+Zk=kdkdk12(1323n3)3(1222n2)(12n)222n(

7、n1)n(n1)(2n1)n(n1)n(n1)(n2)=丁丁=2222五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解，然團(tuán)風(fēng)中學(xué)451高效課堂高一數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案5后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解(裂項(xiàng))如：(i)an=f(n+1)_f(n)(2)sinlcosn cos(n 1)-=tan(n 1)tann(3)an1_ Jn(n 1) n(4)_2(2n)=1.1()(2n -1)(2n 1)2 2n-1 2n 1(5)an1n(n-1)(n 2)4n(n 1)1(n 1)(n 2)n 212(n 1) -n 11nnn

8、 _1n(n 1) 2 n(n 1)2 n 2(n+1)2n ,則Sn =1(n+1)2例9 求數(shù)列 -,產(chǎn)=，,-=；1,22.3 n n 1 ,的前n項(xiàng)和.1 -解：設(shè) an .= 7n +1 - Jn ,則 n n . 1S = 1 + . .+n 1 、223(v12 -1) +(8-&) + +(Jn+1 -Vn) = 7n+1-1例 10在數(shù)列an中，an十2- + +,又 b,求數(shù)列bn的前an 1n項(xiàng)的和.解:an11=8(f)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和:111111Sn =8(1-1)+(2-1)+(3-；)+" + (；-)8(18nn 1例11求證:+ * *

9、+cos1cos0 cos1 cos1 cos22，cos88 cos89 sin 1$002= a1a2a3 ' , , 22002 =解：設(shè)S1cos0 cosl1cosl cos211 ,* 。cos88 cos89sin1cosn cos(n 1)=tan(n 1) -tann1cos0 cos11十。cos1 cos 21+11,+4cos88cos891(tan1-tan0)(tan2Tan1)(tan3Tan2)tan89。tan88sin111一cos1e(tan89-tan0)=Ecot1=2t原等式成立sin1sin1sin1例.計(jì)算：11+21+2+31+2+3+

10、100六、合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.例12求cosT+cos2+cos3°+一+cos178°+cos179°的值.解：設(shè)Sn=cosl+cos2+cos3+cos178+cos179cosn=-Cos(180n)(找特殊性質(zhì)項(xiàng))：Sn=(cosl+cos179°)+(cos2+cos178°)+(cos3+cos177°)+(cos89°+cos91)+cos90°=0(合并求和)例13數(shù)列an：a1=1,a

11、2=3,a3=2,an%=an由-an,求S2002.解：設(shè)S2O02=a+a2+a3+a2002,由&=1,a2=3,a3=2,an=an+an可得a4-1,a5-3,a6-2,a7 =1,a9 =2, a。- T,an - -3, a12 - -2,%=1%k2=3a3k3=206k4=T縱5=-3縱6=一2a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k6=0(a1a2a3a6)(a7a8一a12)”:;-(a6k1a6k2'.a6k:6)'(ai993'al994'a1998),a1999'a2000'a2001'a2002

12、=2999'000'a2001'4002a6k書(shū)+a6k書(shū)+a6kq3+a6k書(shū)=5例14在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6=9,求log3a1+log3a2+log3ai0的值。解：設(shè)Sn=lOg3a110g3a210g3a10由等比數(shù)列的性質(zhì)m+n=p+q=aman=apaq和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)logaM+1ogaN=1ogaMN得:Sn=(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)<og3a510g3a6)=(log3a1Bio)+(log3a2a9)+十(log3a5a6)=log39+log39+十logs9=10七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.11k例15求1+11+111+U1=1之和.解：由于！11=1=一工9999=一(10-1)n個(gè)1k個(gè)19M9111111+<11111112131n-(10-1)-(10-1)-(10-1)(10-1)99991(101102103H-10n)-1(111+：+1)1 10(10n -1) n910 -1例16已知數(shù)列an：