非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法

1、73 非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法 一、對系統(tǒng)的基本假設(shè)非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)只是表示了該環(huán)節(jié)的正弦輸入下，環(huán)節(jié)輸出的基波分量與輸入信號的關(guān)系。顯然，它不像線性部件的頻率特性那樣全面地反映線性部件的運動特性。因此，用描述函數(shù)法來分析非線性系統(tǒng)，目前還只能分析其穩(wěn)定性和自振。當(dāng)然穩(wěn)定性和自振問題也確實是非線性系統(tǒng)運動中十分重要的問題。設(shè)非線性系統(tǒng)經(jīng)結(jié)構(gòu)圖等效變換后，可表示為線性部分G(s)與非線性部分N(X)相串聯(lián)的典型結(jié)構(gòu)，如圖7-20所示。假設(shè)系統(tǒng)處于自振狀態(tài)時，非線性部分和線性部分的輸入、輸出均為同頻率的正弦函數(shù)。在這種條件下，非線性部分的特性就可以用描述函數(shù)表示，線性部分的特性可用頻率表示，

2、從而建立起非線性系統(tǒng)自振時的理論模型。這是用描述函數(shù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性和自振的前提。關(guān)于以上假設(shè)的合理性可以說明如下：首先自振是非線性系統(tǒng)中所特有的一種持續(xù)振蕩，并不依賴于系統(tǒng)的外作用。因此在研究時，外作用都假定為零。其次，假設(shè)自振時，非線性部分的輸入為正弦信號，一般說來，其輸出除基波外，還包含有高次諧波分量。但是，高次諧波分量的振幅通常要比基波要小。另外由于線性部分的低通濾波作用，將使高次諧波分量進一步衰減，因此線性部分的輸出完全可以認為只含有基波分量?？梢姡俣ㄏ到y(tǒng)在自振時，各部分的輸入、輸出均為正弦信號是符合實際的。而且線性部分階次愈高，低通濾波作用愈強，上述假設(shè)符合得愈好，分析結(jié)果精度愈高

3、。綜上所述，描述函數(shù)法對系統(tǒng)的基本假設(shè)是：（1）系統(tǒng)可等效變換成圖7-20所示的典型結(jié)構(gòu)；（2）非線性環(huán)節(jié)輸出中的高次諧波振幅小于基波振幅；（3）線性部分的低通濾波特性較好。二、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析描述函數(shù)是研究非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種工程近似方法，它是在只考慮基波的條件下，將線性理論中的奈氏穩(wěn)定判據(jù)推廣應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的結(jié)果。為了便于理解，首先回顧一下奈氏判據(jù)最基本的內(nèi)容：如開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，并且開環(huán)幅相頻率特性G（j）曲線不包圍（1，j0）點，則其相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。反之則不穩(wěn)定。若開環(huán)頻率特性曲線恰好通過（1，j0）點，則閉環(huán)系統(tǒng)處在臨界穩(wěn)定狀態(tài)?；貞浤问吓袚?jù)的推導(dǎo)過程可知，此判據(jù)是根據(jù)線性

4、系統(tǒng)閉環(huán)特征方程 或 （7-16）的關(guān)系逐步得到。其中為開環(huán)頻率特性，“1”即為（1，j0）點。在仿照上述推導(dǎo)過程即可將奈氏判據(jù)推廣到非線性系統(tǒng)中去。在非線性系統(tǒng)中，圖7-20則可表示成圖7-21所示。顯然，這時閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為： 或 （7-17） 式中稱為非線性特性的負倒描述函數(shù)。與（7-16）式相比較，相當(dāng)于線性系統(tǒng)中開環(huán)幅相平面上的（1，j0）點。于是，幾乎可以原封不動地將奈氏判據(jù)搬到非線性系統(tǒng)中來：若系統(tǒng)線性部分的幅相頻率特性曲線不包圍曲線，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定。反之，若曲線包圍曲線，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果和相交，則系統(tǒng)存在等幅振蕩。為了便于工程應(yīng)用，常用相對描述函數(shù)和相對負倒描述函

5、數(shù)。亦即將描述函數(shù)中的某些非線性參數(shù)分離出來乘到線性部分中去，而剩下的非線性參數(shù)均以相對值形式（無量綱）出現(xiàn)。舉例說明如下：例如死區(qū)繼電特性，其描述函數(shù) 將其改寫為令； ；即為相對描述函數(shù)，稱為非線性特性的尺度系數(shù)。稱為相對負倒描述函數(shù)。這樣，死區(qū)繼電特性的相對負倒描述函數(shù)為 （7-18）由上式可見，相對負倒描述函數(shù)的特點是，若把作為一個變量，則僅是的函數(shù)，它的函數(shù)值和非線性特性的特征參數(shù)和無關(guān)。當(dāng)從時，全部函數(shù)值可以預(yù)先計算出來，即可使非線性特性的及曲線標(biāo)準化，不會因、值的不同而改變。顯然，這將大大減少工作量，并將減少發(fā)生計算錯誤的可能性。采用相對值之后，式（7-17）可改寫為 （7-19）

6、而非線性穩(wěn)定性的判別方法可敘述為：若曲線不包圍曲線，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；曲線包圍，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。圖7-22表示了與之間三種可能的關(guān)系還有一種可能的關(guān)系：相切。由于在實踐中這種情況很少出現(xiàn)，故沒有列出。(a) 表示系統(tǒng)穩(wěn)定時與的相互關(guān)系。(b) 為不穩(wěn)定情況；(c) 表示可能存在的自振的情況。圖中負倒特性曲線上的箭頭方向表示增加方向。三、非線性系統(tǒng)的自振在非線性系統(tǒng)中，如果曲線與曲線相交，或曲線與曲線相交，則系統(tǒng)中有可能存在自振自持的等幅振蕩狀態(tài)。自振是一種周期運動，交點處的自變量（角頻率）和（振幅）即為該周期運動的角頻率和振幅。如圖7-22（c）所示，與有兩個交點和，即表示系統(tǒng)有可能存在兩個周期運動

7、狀態(tài)。這兩個周期運動的振幅及頻率顯然是不相同的。那么，這兩個可能的周期運動情況，究竟能否出現(xiàn)并維持穩(wěn)定不變呢？我們知道，任何系統(tǒng)運動總會受到各種各樣的干擾。顯然，當(dāng)系統(tǒng)周期運動的振幅由于某種原因稍有變化，如系統(tǒng)本身傾向于使振幅恢復(fù)到原來值，則系統(tǒng)的周期運動將會是穩(wěn)定的，稱系統(tǒng)周期運動具有穩(wěn)定性，這種穩(wěn)定的周期運動，就稱為自振。否則，周期運動是不穩(wěn)定的。一個不穩(wěn)定的周期運動，實際上不可能存在，因為一受干擾它就會離開原來運動狀態(tài)，或收斂、或發(fā)散，總之將轉(zhuǎn)移到另一個運動狀態(tài)（包括靜止位置）上去。在圖7-22（c）中，先看點的周期運動。若由于某種原因使振幅有所減小，即移到點所對應(yīng)的數(shù)值，由圖可知，點位

8、于曲線之外，不被曲線包圍，根據(jù)前述穩(wěn)定性判據(jù)，對應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。也就是說振幅將進一步減小，直至衰減到零；反之，若點受某種擾動，使振幅增大到點對應(yīng)的數(shù)值。由于點被曲線所包圍，根據(jù)穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)不穩(wěn)定，即振幅將逐漸增大?？梢姡c在受擾動后，系統(tǒng)總是傾向于偏離點越來越遠，而不是回到點，故點所示對應(yīng)的周期運動是不穩(wěn)定的，故不是系統(tǒng)的自振點?，F(xiàn)在來看點的情況。若系統(tǒng)開始處在點所對應(yīng)的周期運動狀態(tài)，則經(jīng)過類似的分析可知，這一點的周期運動是穩(wěn)定的，即為對應(yīng)系統(tǒng)的自振點，在點的頻率，即為自振頻率。在點的振幅，即為自振振幅。圖7-23表示了各種運動狀態(tài)的特點，為點附近的運動狀態(tài)。為點附近的運動狀態(tài)?？偲饋碚f，判

9、別周期運動穩(wěn)定性的簡單辦法是：若隨著振幅的增加“交點跑出”曲線，則周期運動是穩(wěn)定的，否則就是不穩(wěn)定的。特別注意不要將周期運動穩(wěn)定性與系統(tǒng)穩(wěn)定性混為一談。四、應(yīng)用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的舉例【例7-1】 如圖7-24所示非線性系統(tǒng)，其中死區(qū)繼電特性的參數(shù)，。試問該系統(tǒng)是否存在自振，若存在自振，求出自振的振幅和頻率。解 死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)式（7-13），即 將表示成相對描述函數(shù) 令 相對負倒描述函數(shù)式（7-18），即 在復(fù)平面上分別作出及曲線。給定和一系列數(shù)值，可算出及值如下：1201501802002503004002.351.61.130.90.60.40.25.73.92.752.231

10、.400.940.49根據(jù)上述數(shù)據(jù)，分別繪制曲線和曲線，如圖7-25所示。圖中曲線在時取最大值（這一點可由對求導(dǎo)來計算）。而在和時的曲線與負實軸完全重疊，只是重疊點所對應(yīng)的振幅不同。為了清楚起見，圖7-25中畫成兩條直線，對應(yīng)于由（即0.707）及由，曲線上箭頭表示增加方向，亦即減小的方向。由圖可見，與曲線有兩個交點，從曲線看，交點頻率為；從曲線看，交點對應(yīng)，自振振幅。為了消除自振，可以改變使它與曲線不相交，最簡單的辦法是減小線性部分的開環(huán)增益。若系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差要求不允許減小開環(huán)增益時，可采取其他措施，如在系統(tǒng)中串聯(lián)適當(dāng)?shù)南嘟浅碍h(huán)節(jié)來實現(xiàn)?！?-2】系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7-26所示，已知、，試判別系統(tǒng)

11、是否存在自振，若有自振，求出自振振幅及頻率。 解 具有滯環(huán)繼電特性的描述函數(shù)式（7-14）即 相對描述函數(shù)為 令，則相對負倒描述函數(shù)為 可見其虛部為常數(shù)。再以為自變量從開始，算出的一系列數(shù)值。同時也對線性部分計算出實部和虛部，計算值如下表所示：根據(jù)上列數(shù)據(jù)作出與曲線，如圖7-27所示。由圖可見，兩條曲線有一個交點，根據(jù)穩(wěn)定性分析可知，該點為自振點，自振頻率為，振幅為。【例7-3】 具有間隙非線性特性的系統(tǒng)如圖7-28所示。已知。試分析系統(tǒng)是否存在自振，若有自振，求出自振參數(shù)。解 根據(jù)間隙非線性特性的描述函數(shù)式（7-15），可求得的計算值如下表所示。X0.6250.831.252.552.381

12、.541.18系統(tǒng)線性部分的頻率特性 則的實部和虛部計算如下表所示。12345610-10.7-3.18-1.75-1.24-0.96-0.59-0.45-7-3.36-2.13-1.5-1.1-0.86-0.35由圖可見，兩條曲線有一個交點。由穩(wěn)定性分析可知，該點為自振點，自振參數(shù)，。五、非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的等效變換前面在討論非線性系統(tǒng)時，假設(shè)其結(jié)構(gòu)圖為標(biāo)準的一個非線性部分與一個線性部分相串聯(lián)的形式。但實際系統(tǒng)并非完全符合上述形式，為了應(yīng)用描述函數(shù)法分析系統(tǒng)的自振及其穩(wěn)定性，需要將各種結(jié)構(gòu)形式等效變換成典型結(jié)構(gòu)。由于在討論系統(tǒng)自振及其穩(wěn)定性時，不考慮外作用的影響。因此，在進行等效變換時，也可以

13、認為所有外作用均為零。（1）并聯(lián)非線性部件如圖7-30（a）所示。可將兩個非線性特性進行疊加，對疊加后的特性求描述函數(shù)如圖7-30（b）所示。也可以先分別求出各非線性特性的描述函數(shù)，然后疊加得總的描述函數(shù)，即 這一點與線性環(huán)節(jié)類似。（2）串聯(lián)非線性部件如圖7-31（a）所示?？梢韵葘蓚€環(huán)節(jié)的非線性特性等效成一個非線性特性如圖7-31(b)所示。然后求整個描述函數(shù)。根據(jù)圖7-31所示的輸入、輸出關(guān)系，可求得非線性特性參數(shù)之間的關(guān)系式。應(yīng)當(dāng)指出，兩個非線性元件的串聯(lián)不像并聯(lián)那么簡單，一般不能分別計算出描述函數(shù)后相乘。因為不符合基本假設(shè)。另外，也不能隨便交換次序，因為調(diào)換次序后，等效特性將會不同。這一點與線性環(huán)節(jié)完全不同。（3）非線性部件被線性部件局部反饋包圍，如圖7-32（a）所示。對于這種結(jié)構(gòu)，根據(jù)等效變換法則，可將線性部分疊加成為一個線性部件，則系