冰山運(yùn)輸費(fèi)用的分析

1、冰山運(yùn)輸費(fèi)用的分析摘要當(dāng)今社會(huì)，水資源缺乏的形勢(shì)越來(lái)越嚴(yán)峻，尤其是在以盛產(chǎn)石油著稱(chēng)的波斯灣地區(qū)。為了解決國(guó)民飲水的問(wèn)題，有很多人采用淡化海水的辦法，但是該方法生產(chǎn)每立方米海水就要0.1英鎊，耗費(fèi)了較多的人力、物力、財(cái)力。于是有專(zhuān)家就提出從南極用拖船運(yùn)送冰山到波斯灣，該方法是否可行，需要考慮經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。根據(jù)該題所給的數(shù)據(jù)，我們要建立一個(gè)模型來(lái)估算采用拖船運(yùn)送冰山每立方米海水的費(fèi)用?？傎M(fèi)用是由租金和燃料費(fèi)兩部分組成。冰山的運(yùn)送可以根據(jù)船型和船速的不同采用多個(gè)運(yùn)輸方案，現(xiàn)在我們要找到一種最好的方案使其費(fèi)用最少，并算出其費(fèi)用與海水淡化的費(fèi)用進(jìn)行比較。通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析，我們可以建立一個(gè)微積分模型，來(lái)求出每

2、立方米水所花的費(fèi)用?？紤]到燃料的消耗由船速與冰山體積所決定，冰山在運(yùn)送過(guò)程中，其體積隨著與南極距離和船速的變化而變化，因此先求出冰山體積的變化規(guī)律，再計(jì)算出燃料的消耗，由于總費(fèi)用=租金+燃料消耗費(fèi)用，另外每立方米水所花的費(fèi)用等于總費(fèi)用與冰山到達(dá)目的地后的體積的比值。最后利用MATLAB計(jì)算出其較經(jīng)濟(jì)的方案是每立方米的花費(fèi)大約為0.063英鎊。關(guān)鍵詞： 微積分模型 冰山體積變化 燃料消耗 費(fèi)用 1 問(wèn)題重述在以盛產(chǎn)石油著稱(chēng)的波斯灣地區(qū)，浩瀚的沙漠覆蓋著大地，水資源十分貧乏，不得不采用淡化海水的辦法為國(guó)民提供用水，成本大約是每立方米淡水01英鎊有些專(zhuān)家提出從相距9600 km之遙的南極用拖船運(yùn)送冰

3、山到波斯灣，以取代淡化海水的辦法 在運(yùn)送冰山的過(guò)程中，拖船的租金、運(yùn)量、燃料消耗及冰山運(yùn)輸過(guò)程中融化速率等方面的數(shù)據(jù)如下： （1） 三種拖船的日租金和最大運(yùn)量表1 船型小 中 大日租金(英鎊) 最大運(yùn)量() 2 燃料消耗(英鎊千米)主要依賴(lài)于船速和所運(yùn)冰山的體積，船型的影響可以忽略表2 冰山體積() 船速() 3 冰山運(yùn)輸過(guò)程中的融化速率(即米天)指在冰山與海水、大氣接觸處每天融化的深度融化速率除與船速有關(guān)外，還和運(yùn)輸過(guò)程中冰山與南極的距離有關(guān)，這是由于冰山要從南極運(yùn)往赤道附近的緣故表3 與南極距離()船速() 本題要解決的問(wèn)題： 試選擇拖船的船型和船速，使冰山到達(dá)目的地后，可得到的每立方米水

4、所花的費(fèi)用最低，并與海水淡化的費(fèi)用相比較2.問(wèn)題分析要使拖船從南極運(yùn)送冰山到波斯灣的總費(fèi)用和到達(dá)目的地后冰山的體積的比值最小，關(guān)鍵要解決兩個(gè)問(wèn)題，一是所需費(fèi)用，二是運(yùn)輸過(guò)程中冰山體積的變化。以上需要求得的量受到船型、船速、冰山體積等因素的影響，其簡(jiǎn)化關(guān)系圖如下： 船型租金冰山體積船速燃料消耗總費(fèi)用船型初始冰山體積船速目的地冰山的體積水的體積再利用，便可解決我們的問(wèn)題。但由于冰山的體積是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，其過(guò)程由表3所體現(xiàn)。因此要確定燃料消耗，必須先對(duì)表3的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，確定冰山體積隨時(shí)間和船速的變化關(guān)系，然后再對(duì)表2的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，結(jié)合表3數(shù)據(jù)所確定的關(guān)系求出燃料消耗與各變量之間的關(guān)系。最終

5、求出總費(fèi)用以及融化后水的體積。據(jù)以上分析我們建立的這個(gè)模型目的是要選擇合適的拖船和船速，使冰山到達(dá)目的地后，可得到的每立方米水所花的費(fèi)用最低，并與海水淡化的費(fèi)用相比較3模型假設(shè)假設(shè)一：拖船航行過(guò)程中船速不變，航行不考慮天氣等因素的影響?？偤?600km。假設(shè)二：冰山形狀為球形，球面各點(diǎn)的融化速率相同。假設(shè)三：冰山到達(dá)目的地后，冰可融化成水。假設(shè)四：燃料消耗不受船型影響。4.定義與符號(hào)說(shuō)明輪船航行的船速冰山在運(yùn)輸過(guò)程中的融化速率運(yùn)輸冰山到波斯灣的總的天數(shù)運(yùn)輸?shù)牡谔斓谔毂降陌霃降谔毂降捏w積運(yùn)送冰山的原始半徑運(yùn)輸?shù)谋降脑俭w積拖船的租金運(yùn)輸冰山的過(guò)程中的燃料消耗費(fèi)用運(yùn)輸冰山的過(guò)程用總費(fèi)用冰山運(yùn)

6、抵目的地后每立方米水所需費(fèi)用冰融化成水的體積5模型建立通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析及題中所給數(shù)據(jù)，我們首先需要知道冰山體積在運(yùn)輸過(guò)程中的變化情況，然后是計(jì)算所用拖船的租金和航行中的燃料消耗，由此可以算出到達(dá)目的地后的冰山體積和運(yùn)費(fèi)因此，從以下幾方面解決此問(wèn)題：1.通過(guò)對(duì)表3的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得出冰山的融化速率r與船速u(mài)及拖船與南極的距離d三者之間的關(guān)系：不妨先考慮的情況，通過(guò)表3的數(shù)據(jù)，用MATLAB可以得到下圖：圖1從圖像可以看出，此時(shí)的與呈線(xiàn)性關(guān)系，假設(shè)，通過(guò)表中的數(shù)據(jù)可得到方程：，方程的解，也就可以得到： (1)當(dāng)時(shí)，可以控制船速不變，得到與關(guān)系圖為：圖2根據(jù)上圖可以看出與大致呈正比，從理論和實(shí)際的角

7、度上去分析與、之間的關(guān)系式中也應(yīng)含有式2右端的那部分，因?yàn)榇藭r(shí)速度得出作用還是存在，且不受到距離的影響。因此我們不妨假設(shè)： (2)把點(diǎn)代人可得到，故： (3)把點(diǎn)：代人該解析式，可發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)都滿(mǎn)足該方程，因此假設(shè)成立。由（2）（3）得： (4)再者，當(dāng)拖船從南極出發(fā)航行第天時(shí)，與南極距離為： (5) 記第天冰山球面半徑融化速率為，將(5)代入(4)式得： (6)記第天冰山半徑為，體積為，則： (7)其中為從南極啟運(yùn)時(shí)冰山的初始半徑和體積由(7)式可知冰山體積是船速、初始體積和航行天數(shù)的函數(shù)，記作，有： （8）其中由(6)式表示。2.根據(jù)表2，確定燃料消耗與船速和冰山體積的關(guān)系：控制冰山體積不變

8、，分別取、，可得到與的關(guān)系圖為：圖3可以看出當(dāng)冰山體積為定值時(shí)，與呈線(xiàn)性關(guān)系；控制船速不變時(shí)，分別取1km/h、3km/h、5km/h，可得到與關(guān)系圖為：圖4該圖像不大好確定與的關(guān)系，不妨對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，作出與關(guān)系的圖形大致為：圖5不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)船速為定值時(shí)，與呈線(xiàn)性。綜合考慮以上因素，不妨假設(shè)： (9)把點(diǎn)代人(6)可求出：，所以 (10)總之，拖船航行到第t天的燃料消耗記作 (英鎊天)先求出總費(fèi)用及融合后水的體積，再求每立方米水的費(fèi)用： 1.運(yùn)送冰山總費(fèi)用S由拖船的租金和燃料消耗兩部分組成.日租金為： (11)又冰山運(yùn)送到目的地時(shí)間故租金的總費(fèi)用為燃料消耗的費(fèi)用為：故運(yùn)送冰山總費(fèi)用： (12

9、)3.冰山到達(dá)目的地融合成水的體積:(13)注意到假設(shè)(3)，則得到水的體積為: (14)每立方米水所需費(fèi)用:記冰山運(yùn)抵目的地后每立方米水所需費(fèi)用為，由(12)，(14)式顯然有： (15)模型的求解根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)及公式（6）（12）（14）（15）可以得到以下表格：1.先計(jì)算出冰山在運(yùn)輸過(guò)程中融化的深度：表413510351.541.22.融化后的體積：表5 135-3.總費(fèi)用：表6 135-4.每立方米費(fèi)用：表7 （km/h）135- 有以上數(shù)據(jù)可知：拖船的型號(hào)以及拖船速度的不同對(duì)每立方米水的花費(fèi)影響很大，若選擇最大的拖船，并使其船速在3km/h5km/h范圍內(nèi)，每立方米水所花的費(fèi)用大約

10、為0.063英鎊，此時(shí)費(fèi)用最少。然而采用淡化海水的方法，每立方米大約0.1英鎊，兩者相比之下，從南極拖運(yùn)冰山到波斯灣更為經(jīng)濟(jì)實(shí)惠。7結(jié)果分析該模型忽略了影響航行的不利因素，冰山的體積以及冰山的融合規(guī)律都太過(guò)理想化。況且總費(fèi)用沒(méi)有包括空拖船去的過(guò)程的燃料消耗以及那段時(shí)間的租金，因此冰山運(yùn)輸方式每平方米水的花費(fèi)存在很大的不確定性，也就是該方法預(yù)算的花費(fèi)可能與實(shí)際的花費(fèi)存在很大的差別。得到的結(jié)果雖然小于海水淡化的費(fèi)用(每立方米01英鎊)，但是沒(méi)有遠(yuǎn)小于每立方米01英鎊，所以方案是否可行有待實(shí)際的檢驗(yàn)。8模型的評(píng)價(jià)1優(yōu)點(diǎn):(1)此模型從簡(jiǎn)單模型入手，思路清晰(2).此模型假設(shè)冰山為球體，忽略了冰山的實(shí)

11、際形狀，給計(jì)算帶來(lái)很大的方便。(3)結(jié)果都是經(jīng)過(guò)大量的計(jì)算和對(duì)比求出來(lái)的，具有一定的可靠性。2.缺點(diǎn):該模型太過(guò)理想化，估算值可能存在很大的誤差。9參考文獻(xiàn)(1)費(fèi)浦生  羿旭明的數(shù)學(xué)建模及其基礎(chǔ)知識(shí)詳解. 武漢大學(xué)出版社(2)華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)） 第四版高等教育出版社(3)趙靜  但琦數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)M 高等教育出版社，2003(4)MATLAB 謝金星 高等教育出版社 （第三版）10附錄%當(dāng)d>4000km時(shí)，融化速率r與船速u(mài)的關(guān)系圖：>> x=1 3 5;y=0.3 0

12、.45 0.6;plot(x,y)%當(dāng)d<=4000km時(shí)，燃料消耗r與距離d的的關(guān)系圖：x=0 1000 4000; y=0 0.1 0.3;x1=0 1000 4000; y1=0 0.15 0.45;x2=0 1000 4000;y2=0 0.2 0.6; plot(x,y);hold onplot(x1,y1);hold onplot(x2,y2)%燃料消耗y和船速u(mài)的關(guān)系圖：x=1 3 5; y=8.4 10.5 12.6;x1=1 3 5;y1=10.8 13.5 16.2;x2=1 3 5;y2=13.2 16.5 19.8;plot(x,y);hold onplot(x1,y1,'r');hold onplot(x2,y2,'b')%當(dāng)控制船速u(mài)，燃料消耗y與冰山體積V0的關(guān)系圖：x=105 106 107; y=8.4 10.5 12.6; x1=105 106 107; y1=10.8 13.5 16.2; x2=105 106 107;y2=13.2 16.5 19.8;plot(x,y,'r'); hold onplot(x1,y1,'y'); hold onp