全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題13

1、2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題13第一試（時(shí)間：8:00-9:20 滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1若正實(shí)數(shù)滿足和，則的值是 2如果ABC中，tanA, tan B，tanC都是整數(shù)，且A >B>C，則tan B= 3設(shè)，當(dāng)時(shí)，的小數(shù)點(diǎn)后第一位數(shù)字是 4若，則的值是 5函數(shù)滿足則的值是 6在四面體ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)O，滿足OA=OB=OC=4, OD=l，則四面體ABCD體積的最大值為 7設(shè)是橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，是橢圓上異于的點(diǎn)，自分別作直線則的交點(diǎn)軌跡方程是 8某人在黑板上玩寫數(shù)字的游戲，每次他隨機(jī)地寫上中的某個(gè)數(shù)，如果他最后寫上去的兩數(shù)之和是一

2、個(gè)質(zhì)數(shù)，那么游戲結(jié)束則他完成游戲時(shí)所寫的最后一個(gè)數(shù)為的概率為 二、解答題：本大題共3小題，共56分.9設(shè)函數(shù)（l）證明：當(dāng)時(shí)，； (2)數(shù)列滿足，證明：數(shù)列遞減且 10設(shè)拋物線和雙曲線交于點(diǎn)，這兩條曲線的公切線分別切拋物線于點(diǎn)，切雙曲線于點(diǎn)求的面積11設(shè)是3個(gè)模不大于1的復(fù)數(shù)，是方程的兩個(gè)根 證明：對(duì)j1，2，3，都有2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題13加試（時(shí)間：9:40-12:10 滿分：180）一、（本小題滿分40分）設(shè)為給定素?cái)?shù)，是個(gè)整數(shù)，均不被整除，且?；ゲ煌?， 設(shè)其中記這里，表示整數(shù)被除的余數(shù)證明：二、（本小題滿分40分）如圖，在銳角中，已知，的角平分線與邊交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在邊上

3、，使得四點(diǎn)共圓且滿足求證：的內(nèi)心是的外心三、（本題滿分50分）對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)列，定義數(shù)列如下：求最小的正數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)數(shù)列及一切正整數(shù)，均有四、（本題滿分50分）對(duì)于任意的整數(shù)證明：數(shù)列自某項(xiàng)起，各項(xiàng)對(duì)同余2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題13第一試參考解答（時(shí)間：8:00-9:20 滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1若正實(shí)數(shù)滿足和，則的值是 解：令，則，從而解得因此2如果ABC中，tanA, tan B，tanC都是整數(shù)，且A >B>C，則tan B= 解：由于A > B > C，所以B, C都是銳角， tanB, tanC都是

4、正整數(shù)，這樣所以A是銳角這時(shí)， 我們有,即但是，比較可知只可能3設(shè)，當(dāng)時(shí)，的小數(shù)點(diǎn)后第一位數(shù)字是 解：由于，這兩式相乘得因此，小數(shù)點(diǎn)后第一位數(shù)字是74若，則的值是 解：注意滿足，從而又注意的虛部相等，結(jié)合可知，只需針對(duì)進(jìn)行計(jì)算即可這時(shí)我們有 將代入，得故本題答案為5函數(shù)滿足則的值是 解：記，其中等號(hào)右端有個(gè)那么注意從到這個(gè)過程中，的個(gè)數(shù)減少了2同樣的推理可知繼續(xù)此過程，就有.6在四面體ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)O，滿足OA=OB=OC=4, OD=l，則四面體ABCD體積的最大值為 解：首先，固定A，B,C, D四點(diǎn)時(shí)，要使ABCD的體積最大，則D點(diǎn)到平面ABC的距離應(yīng)最大但D點(diǎn)在以O(shè)為球心，1為半徑

5、的球面上運(yùn)動(dòng)，故取最大值時(shí)，OD平面 ABC 設(shè)O在平面ABC的投影點(diǎn)為E，且|OE|=x那么， D到ABC的距離為1 + x而EA= EB=EC=，可知ABC的面積（注：這里用到，若 A , B , C是半徑為 R 的圓上三點(diǎn)，則ABC的面積） 因此，ABCD的體積考慮函數(shù)，易知, 可見在（0, 3）上有唯一的臨界點(diǎn)，在（0, 3）的最大值為=36. 從而所求最大值為7設(shè)是橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，是橢圓上異于的點(diǎn)，自分別作直線則的交點(diǎn)軌跡方程是 8某人在黑板上玩寫數(shù)字的游戲，每次他隨機(jī)地寫上中的某個(gè)數(shù)，如果他最后寫上去的兩數(shù)之和是一個(gè)質(zhì)數(shù)，那么游戲結(jié)束則他完成游戲時(shí)所寫的最后一個(gè)數(shù)為的概率為 二、解

6、答題：本大題共3小題，共56分.9設(shè)函數(shù)（l）證明：當(dāng)時(shí)，； (2)數(shù)列滿足，證明：數(shù)列遞減且 解： (1)待證式等價(jià)于，即令，則，可見，在上單調(diào)增，因此當(dāng)時(shí)， (2)記，則要證明遞減，只需證明當(dāng)時(shí)，事實(shí)上，等價(jià)于，也即，注意，可見上式也等價(jià)于，即，這由（l）即證 要證明，只需證明當(dāng)時(shí)，這等價(jià)于也即為證此式，令，則，且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即因此在上單調(diào)增，于是得證 10設(shè)拋物線和雙曲線交于點(diǎn)，這兩條曲線的公切線分別切拋物線于點(diǎn)，切雙曲線于點(diǎn)求的面積11設(shè)是3個(gè)模不大于1的復(fù)數(shù)，是方程的兩個(gè)根 證明：對(duì)j1，2，3，都有證 由對(duì)稱性，只需證明：不妨設(shè)。令，由得 ，因此，若，結(jié)論成立另一方面，由，得，所以，因此，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立下設(shè)，如圖，考慮以為頂點(diǎn)的三角形記和分別是三角形ABC的邊BC上的中線和高，則由于，所以，由此推出都小于又因?yàn)?，所以，即為銳角三角形所以，外接圓半徑，于是，矛盾！因此這種情況不可能發(fā)生綜上所述，原命題成立2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題13加試（時(shí)間：9:40-12:10 滿分：180）一、（本小題滿分40分）設(shè)為給定素?cái)?shù)，是個(gè)整數(shù)，均不被整除，且模互不同余， 設(shè)其中記這里，表示整數(shù)被除的余數(shù)證明：二、（本小題滿分40分）如圖，在銳角中，已知，的角平分線與邊交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在邊