全國聯(lián)賽集合

1、第一講： 集 合 集合的劃分反映了集合與子集之間的關(guān)系，這既是一類數(shù)學(xué)問題，也是數(shù)學(xué)中的解題策略分類思想的基礎(chǔ)，在近幾年來的數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，日益受到重視，本講主要介紹有關(guān)的概念、結(jié)論以及處理集合、子集與劃分問題的方法。1 集合的概念 集合是一個(gè)不定義的概念，集合中的元素有三個(gè)特征：（1） 確定性 設(shè)是一個(gè)給定的集合，是某一具體對象，則或者是的元素，或者不是的元素，兩者必居其一，即與僅有一種情況成立。（2） 互異性 一個(gè)給定的集合中的元素是指互不相同的對象,即同一個(gè)集合中不應(yīng)出現(xiàn)同一個(gè)元素.（3） 無序性2 集合的表示方法主要有列舉法、描述法、區(qū)間法、語言敘述法。常用數(shù)集如：應(yīng)熟記。3 實(shí)數(shù)

2、的子集與數(shù)軸上的點(diǎn)集之間的互相轉(zhuǎn)換，有序?qū)崝?shù)對的集合與平面上的點(diǎn)集可以互相轉(zhuǎn)換。對于方程、不等式的解集，要注意它們的幾何意義。4 子集、真子集及相等集（1）或；（2）且；（3）且。5 一個(gè)階集合（即由個(gè)元素組成的集合）有個(gè)不同的子集，其中有1個(gè)非空子集，也有1個(gè)真子集。6 集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算=且=或且要掌握有關(guān)集合的幾個(gè)運(yùn)算律：（1） 交換律 ，；（2） 結(jié)合律（）（）， （）()；（3） 分配律 （）（）（） （） () （）（4）01律 ， ， （5）等冪律 ，（6）吸收律 ()，（）（7）求補(bǔ)律 ，（8）反演律 7 有限集合所含元素個(gè)數(shù)的幾個(gè)簡單性質(zhì) 設(shè)表示集合所含元素的個(gè)數(shù) （1）

3、當(dāng)時(shí)，（2） 8 映射、一一映射、逆映射（1） 映射 設(shè)、是兩個(gè)集合，如果按照某種對應(yīng)法則，對于集合中的任何一個(gè)元素，在集合中都有唯一的元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從集合到集合的映射，記作：。上述映射定義中的、，可以是點(diǎn)集，數(shù)集，也可以是其他集合。和中元素對應(yīng)的中的元素叫做（在下）的象，叫做的原象。中的任何一個(gè)元素都有象，并且象是唯一的。（2） 一一映射 設(shè)、是兩個(gè)集合，：是從集合到集合的映射，如果在這個(gè)映射的作用下，對于集合中的不同元素，在集合中有不同的象，且中的每一個(gè)元素都有原象，那么這個(gè)映射叫做到上的一一映射。（3） 逆映射 設(shè)：是集合到集合上的一一映射，如果對于中的每一個(gè)元素，使在中的

4、原象和它對應(yīng)，這樣所得映射叫做映射：的逆映射，記作：。注意：只有一一映射，才有逆映射。 要能夠根據(jù)這三個(gè)概念的定義，準(zhǔn)確地判斷一個(gè)給定的對應(yīng)是不是映射，是不是一一映射，并能求出一一映射的逆映射。解題指導(dǎo)元素與集合的關(guān)系1 設(shè)|,，求證：（1）()；（2）分析：如果集合|具有性質(zhì)，那么判斷對象是否是集合的元素的基本方法就是檢驗(yàn)是否具有性質(zhì)。解：（1）,且,故；（2）假設(shè)，則存在，使即 (*)由于與具有相同的奇偶性，所以（*）式左邊有且僅有兩種可能：奇數(shù)或4的倍數(shù)，另一方面，（*）式右邊只能被4除余2的數(shù)，故（*）式不能成立。由此，。2 設(shè)集合（3，2）。已知，,判斷與集合的關(guān)系。分析：解決本題的

5、關(guān)鍵在于由已知條件確定的取值范圍，從而利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定的范圍。解：因?yàn)榍?，所以由此及?3,從而=2.所以3,即。3 以某些整數(shù)為元素的集合具有下列性質(zhì)：中的元素有正數(shù)，有負(fù)數(shù)；中的元素有奇數(shù),有偶數(shù)；1；若，,則試判斷實(shí)數(shù)0和2與集合的關(guān)系。解：由若，,則可知，若，則（1） 由可設(shè)，且0，0，則| (|)故,由,0()+。（2）2。若2，則中的負(fù)數(shù)全為偶數(shù)，不然的話，當(dāng)（）（）時(shí)，1（），與矛盾。于是，由知中必有正奇數(shù)。設(shè)，我們?nèi)∵m當(dāng)正整數(shù)，使，則負(fù)奇數(shù)。前后矛盾。4 設(shè)為滿足下列條件的有理數(shù)的集合：若，則+，；對任一個(gè)有理數(shù)，三個(gè)關(guān)系，0有且僅有一個(gè)成立。證明：是由全體正有理數(shù)組成

6、的集合。證明：設(shè)任意的，0,由知，或之一成立。再由，若，則；若，則?？傊?，。取=1，則1。再由，2=1+1，3=1+2，可知全體正整數(shù)都屬于。設(shè)，由，又由前證知，所以。因此，含有全體正有理數(shù)。再由知，0及全體負(fù)有理數(shù)不屬于。即是由全體正有理數(shù)組成的集合。兩個(gè)集合之間的關(guān)系在兩個(gè)集合之間的關(guān)系中，我們感興趣的是“子集”、“真子集”、“相等”這三種特殊關(guān)系。這些關(guān)系是通過元素與集合的關(guān)系來揭示的，因而判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系通?？蓮呐袛嘣嘏c這兩個(gè)集合的關(guān)系入手。5 設(shè)函數(shù)，集合，。（1） 證明：；（2） 當(dāng)時(shí)，求。（3） 當(dāng)只有一個(gè)元素時(shí)，求證：解：（1）設(shè)任意，則.而故,所以.（2） 因，所以

7、解得故 。由得解得 。6為非空集合，對于1，2，3的任意一個(gè)排列，若，則（1） 證明：三個(gè)集合中至少有兩個(gè)相等。（2） 三個(gè)集合中是否可能有兩個(gè)集無公共元素？證明：（1）若，則所以每個(gè)集合中均有非負(fù)元素。當(dāng)三個(gè)集合中的元素都為零時(shí)，命題顯然成立。否則，設(shè)中的最小正元素為，不妨設(shè)，設(shè)為中最小的非負(fù)元素，不妨設(shè)則。若0,則0，與的取法矛盾。所以=0。任取因0,故0。所以，同理。所以=。（3） 可能。例如=奇數(shù)，=偶數(shù)顯然滿足條件，和與都無公共元素。7已知集合：問（1） 當(dāng)取何值時(shí)，為含有兩個(gè)元素的集合？（2） 當(dāng)取何值時(shí)，為含有三個(gè)元素的集合？解：=。與分別為方程組（） （）的解集。由（）解得（）=（0，1）=（，）；由（）解得（）=（1，0），（，）（1） 使恰有兩個(gè)元素的情況只有兩種可能： 由解得=0；由解得=1。故=0或1時(shí)，恰有兩個(gè)元素。（2） 使恰有三個(gè)元素的情況是：= 解得，故當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)元素。8 設(shè)且15，都是1，2，3，真子集，且=1，2，3，。證明：或者中必有兩個(gè)不同數(shù)的和為完全平方數(shù)。證明：由題設(shè)，1，2，3，的任何元素必屬于且只屬于它的真子集之一。 假設(shè)結(jié)論不真，則存在如題設(shè)的1，2，3，的真子集，使得無論是還是中的任兩個(gè)不同的數(shù)的和都不