第2章平面體系的幾何組成分析

1、第第2章章 平面體系的幾何平面體系的幾何構(gòu)造構(gòu)造分析分析 幾何組成分析幾何構(gòu)造分析機(jī)動(dòng)分析 2.1 概概 述述幾何不變體系 假定體系由剛體組成，則體系的幾何形狀不變 （外因和內(nèi)部條件確定 形狀變化確定） 幾何可變體系 假定體系由剛體組成，體系的幾何形狀仍可變 幾何構(gòu)造分析的任務(wù)就是從幾何學(xué)的角度，來判定平面體系幾何形狀的可變性或機(jī)動(dòng)性，因此有時(shí)又稱幾何組成分析或機(jī)動(dòng)分析。掌握了幾何構(gòu)造分析的規(guī)律，便可論證與某平面體系對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)方案是否成立，以免平面體系在成為“工程結(jié)構(gòu)”之前“先天不足”。2.2 幾個(gè)重要的概念幾個(gè)重要的概念1.剛片：平面體系中不變形的剛體稱為剛片（a）直桿（b）曲桿（c）折桿(

2、d）多根桿構(gòu)成的組合體2 .自由度 自由度 體系獨(dú)立運(yùn)動(dòng)方式的個(gè)數(shù) 體系定位所需獨(dú)立參數(shù) 或 坐標(biāo) 的個(gè)數(shù) 幾何不變體系：自由度0 幾何可變體系：自由度0 平面內(nèi)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)：自由度2（圖a） 平面內(nèi)一個(gè)剛片：自由度3（圖b） 圖2-2Oxyxy(a)Oxyxy(b)AB 3. 約束 約束（或聯(lián)系 ） 減少自由度的裝置 約束數(shù)自由度減少的個(gè)數(shù)一鏈桿連接兩剛片(圖a)， 自由度5 一單鉸連接兩剛片 (圖b)，自由度4一單剛結(jié)點(diǎn)連接兩剛片 (圖c)，自由度3 1個(gè)鏈桿 1個(gè)約束 1個(gè)單鉸 2個(gè)約束 1個(gè)單剛結(jié)點(diǎn) 3個(gè)約束 Oxyxy(a)(a)Oxyxy(b)(b)Oxy(c)(c)推論： 1個(gè)單鉸2

3、個(gè)鏈桿（連接相同的兩個(gè)剛片） 1個(gè)單剛結(jié)點(diǎn)3根鏈桿（連接相同的兩個(gè)剛片）復(fù)鉸和復(fù)剛結(jié)點(diǎn)（圖a、b） 連接 n個(gè)剛片的復(fù)鉸 (n2) (n -1) 個(gè)單鉸 2(n -1) 個(gè)約束 連接 n個(gè)剛片的復(fù)剛結(jié)點(diǎn) (n2) (n -1) 個(gè)單剛結(jié)點(diǎn) 3(n -1) 個(gè)約束(a)復(fù)鉸(a)復(fù)剛節(jié)點(diǎn)4. 平面體系的計(jì)算自由度平面體系的計(jì)算自由度 設(shè)某體系共有m個(gè)剛片，h個(gè)單鉸(復(fù)鉸可換算為單鉸)和r根鏈桿(包括剛片之間的鏈桿，以及剛片與地基之間的支座鏈桿簡(jiǎn)稱支桿)。則該體系的總自由度為3m，單鉸及鏈桿所減少的自由度為(2h+r),體系剩余的自由度為： W=3m-(2h+r)2.3幾何不變體系的判定規(guī)則幾何不

4、變體系的判定規(guī)則2.3.1 三剛片規(guī)則三剛片規(guī)則三個(gè)剛片之間用三個(gè)不在同一直線上的鉸兩三個(gè)剛片之間用三個(gè)不在同一直線上的鉸兩兩相連，構(gòu)成沒有多余約束的幾何不變體系兩相連，構(gòu)成沒有多余約束的幾何不變體系A(chǔ)BCACBABC鉸結(jié)點(diǎn)鏈桿1鏈桿2ACB12354（a）三剛片規(guī)則示意（b）“二元體”裝置 2.3.2 二元體規(guī)則所謂“二元體”是指由兩根不共線的鏈桿連接一個(gè)新結(jié)點(diǎn)的裝置。在某剛片上增加二元體后的體系為幾何不變且無多余約束推斷：在某體系上增加或拆除若干對(duì)二元體，并不改變?cè)w系的幾何構(gòu)造性質(zhì)（不變或可變）2.3.3 兩剛片規(guī)則 兩個(gè)剛片之間用一個(gè)鉸和一根不通過該鉸的鏈桿（含其延長(zhǎng)線）相連，構(gòu)成無多

5、余約束的幾何不變體系。兩剛片規(guī)則也可表述為： 兩個(gè)剛片之間用三根既不互相平行，也不交于一點(diǎn)（含延長(zhǎng)線）的鏈桿相連，構(gòu)成無多余約束的幾何不變體系。2.4 瞬變及常變體系瞬變及常變體系幾何瞬變 :經(jīng)微小位移后可轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀尾蛔兊摹皶簳r(shí)可變體系”稱為瞬變體系常變體系:三根鏈桿互相平行且等長(zhǎng),兩剛片可繼續(xù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，屬常變體系A(chǔ)o2.5 幾何構(gòu)造分析應(yīng)用示例幾何構(gòu)造分析應(yīng)用示例例2-2 試對(duì)圖2.12a所示體系進(jìn)行幾何構(gòu)造分析。BCDEFABCDEABCDEA分析：DEB與AD通過鉸D相連，AD與地基通過鉸A相連，DEB通過兩個(gè)連桿形成的虛鉸與地基相連，此三鉸不共線，故為無多余約束的幾何不變體系。圖2.1

6、2a例 2-3 試對(duì)圖2.13a所示體系進(jìn)行幾何構(gòu)造分析ABCFGHKDE分析：將ABH看做一個(gè)鋼片，將BCK看做一個(gè)鋼片，將DEA看做一個(gè)鋼片。其中，鋼片ABH通過A鉸相連，鋼片BCK通過B鉸與鋼片ABH相連，鋼片BCH與鋼片DAE相連，三鉸共線，故原體系為幾何瞬變。圖2.13（a）(b)例2-4 試對(duì)圖2.14a所示體系進(jìn)行幾何構(gòu)造分析。AFBCEDAFEDCBAB圖2.14分析：先去二元體，將DFE看做二元體，將BEC看做二元體，可先去掉，剩下拱AB體系幾何不變且有一個(gè)多余約束。(a)例2-5 試對(duì)圖2.15a所示體系進(jìn)行幾何構(gòu)造分析。DACBDFGGDFGFGEFGooHHHEACBD

7、FEAQ( , )BP( , )( , )CE圖2.15（a）(b)(c)分析分析：將DF看做鋼片，將BEC看做鋼片，鋼片DF與鋼片BEC通過虛鉸P相連，鋼片DF通過虛鉸Q與地基相連，鋼片BEC通過虛鉸C與地基相連，三鉸不共線，因此原體系為無多余約束的幾何不變體系。2.6 虛鉸在無窮遠(yuǎn)處的幾何構(gòu)造分析虛鉸在無窮遠(yuǎn)處的幾何構(gòu)造分析 一個(gè)虛鉸在無窮遠(yuǎn)處 （a）不互相平行（b）平行且不等長(zhǎng) （c）平行且等長(zhǎng)由兩剛片規(guī)則可知，當(dāng)?shù)刃ф湕U3與平行鏈桿1、2不平行時(shí)，剛片、之間的連接滿足兩剛片規(guī)則，為幾何不變體系；若平行且三者不等長(zhǎng)（圖2.16b），則為瞬變體系；若平行且等長(zhǎng)則為常變體系（圖2.16c）。

8、圖2.16 兩個(gè)虛鉸在無窮遠(yuǎn)處兩個(gè)虛鉸在無窮遠(yuǎn)處（1）一組同方向的平行直線相交于同一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)；不同方向的平行直線相交于不同的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。（2）平面上的所有無窮遠(yuǎn)點(diǎn)均位于同一條直線上，該直線稱為無窮遠(yuǎn)線（任何有限遠(yuǎn)點(diǎn)均不在該直線上）。射影幾何學(xué)射影幾何學(xué)三個(gè)虛鉸在無窮三個(gè)虛鉸在無窮遠(yuǎn)處遠(yuǎn)處三個(gè)剛片之間由三對(duì)平行鏈桿相連，在無窮遠(yuǎn)處的三個(gè)虛鉸位于同一條無窮遠(yuǎn)線上，屬三鉸共線的情況。123（a）平行而不等長(zhǎng)（b）平行且等長(zhǎng)（同側(cè)相連）（c）平行且等長(zhǎng)（異側(cè)相連）（a）若三對(duì)平行鏈桿長(zhǎng)度不等，則相對(duì)運(yùn)動(dòng)后不再平行，原體系為幾何瞬變。（b）若三對(duì)平行鏈桿各自等長(zhǎng)（圖2.18b），則運(yùn)動(dòng)后仍保持平行，為幾

9、何常變體系。（c）若三對(duì)平行鏈桿各自等長(zhǎng)且在異側(cè)相連（圖2.18c），則運(yùn)動(dòng)后異側(cè)相連的平行鏈桿不再平行，體系為幾何瞬變。圖2.18例2-6 解法一 剛片、見圖。三個(gè)虛鉸共線， 幾何可變（瞬變）。解法二 剛片、 見圖2.16b，三個(gè)虛鉸是三個(gè)不同的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。射影幾何：所有無窮遠(yuǎn)點(diǎn)共線。 瞬變。順藤摸瓜(a)( ),( ),( ),(b)( ),( ),( ),圖2.16幾何不變體系，且有一個(gè)多余約束。幾何不變體系，且有一個(gè)多余約束。例例ABCABCDEABC幾何不變體系，且無多余約束。幾何不變體系，且無多余約束。例例DEABC解解解解例題與習(xí)題例題與習(xí)題可變體系，少一個(gè)約束可變體系，少一個(gè)約束

10、去掉二元體去掉二元體 從從A點(diǎn)開始，依點(diǎn)開始，依次去掉二元體。次去掉二元體。幾何不變體系，幾何不變體系，且無多余約束。且無多余約束。A例例解解例例解解從地基開始，依次增從地基開始，依次增加二元體加二元體AEF、ADE、FCE、CBF。 按增加二元體順序，多余按增加二元體順序，多余約束可以是約束可以是AB、BC、CD、DE、EF中的任意一個(gè)。中的任意一個(gè)。幾何不變體系，幾何不變體系，AB為為一個(gè)多余約束。一個(gè)多余約束。例例FABCDE去掉一個(gè)多余約束去掉一個(gè)多余約束例例去掉一個(gè)必要約束。去掉一個(gè)必要約束。 多余約束的個(gè)數(shù)是一多余約束的個(gè)數(shù)是一定的，位置不一定，但定的，位置不一定，但也不是任意的。

11、也不是任意的。解解解解去掉與地基的約束。去掉與地基的約束。去掉二元體。去掉二元體。 缺約束的個(gè)數(shù)是一定的，位缺約束的個(gè)數(shù)是一定的，位置不一定，但也不是任意的。置不一定，但也不是任意的。幾何可變體系，缺幾何可變體系，缺2個(gè)個(gè)約束。約束。例例解解例例幾何不變體系，缺一個(gè)幾何不變體系，缺一個(gè)必要約束，多一個(gè)多余必要約束，多一個(gè)多余約束。約束。去掉二元體去掉二元體解解可變體系，可變體系，少一個(gè)約束。少一個(gè)約束。去掉二元體。去掉二元體。例例解解去掉二元體。去掉二元體。從從A點(diǎn)開始增加二元體。點(diǎn)開始增加二元體。AA解解例例 幾何不變體系幾何不變體系,沒有多余約束。沒有多余約束。從從C、D兩點(diǎn)開始增兩點(diǎn)開始

12、增加二元體。加二元體。 幾何不變幾何不變, 有有1個(gè)個(gè)多余約束。多余約束。BDAC解解例例 幾何不變體系幾何不變體系, 有有1個(gè)多余約束。個(gè)多余約束。折桿可以看成連接折桿可以看成連接兩個(gè)端點(diǎn)的支鏈桿。兩個(gè)端點(diǎn)的支鏈桿。從上面去掉兩個(gè)二從上面去掉兩個(gè)二元體。元體。例例解解折桿可以看成連接兩折桿可以看成連接兩個(gè)端點(diǎn)的支鏈桿。個(gè)端點(diǎn)的支鏈桿。A、B、C依次去掉二依次去掉二元體。元體。幾何不變體系幾何不變體系, 沒有多余沒有多余約束。約束。ABC幾何可變，少幾何可變，少2個(gè)約束。個(gè)約束。ABC去掉去掉A、C兩個(gè)兩個(gè)二元體。二元體。解解例例解解例例 AB、AC看成加到地看成加到地基上的二元體。基上的二元

13、體。 剛片剛片DEF與地基用三與地基用三根支鏈桿相連。根支鏈桿相連。 幾何不變體系，幾何不變體系，且沒有多余約束。且沒有多余約束。DEFACBDEF解解例例 幾何不變體系幾何不變體系, 有一個(gè)多余約束。有一個(gè)多余約束。 幾何不變體系幾何不變體系, 無多余約束。無多余約束。去掉與地基的連接，去掉與地基的連接，只考慮上部體系只考慮上部體系去掉與地基的連接，去掉與地基的連接，只考慮上部體系只考慮上部體系167891052436789105243解解例例解解例例 幾何不變體系，且?guī)缀尾蛔凅w系，且沒有多余約束。沒有多余約束。 幾何不變體系，幾何不變體系，且沒有多余約束。且沒有多余約束。去掉與地基的連接，

14、去掉與地基的連接，只考慮上部體系只考慮上部體系去掉與地基的連接，去掉與地基的連接，只考慮上部體系只考慮上部體系解解例例解解例例去掉與地基的連接，去掉與地基的連接，只考慮上部體系只考慮上部體系. 增加二元體。增加二元體。 幾何不變幾何不變, 有多一個(gè)有多一個(gè)與地基相連的約束。與地基相連的約束。 幾何不變幾何不變, 有有4個(gè)多個(gè)多余約束。余約束。解解例例解解例例 幾何不變體系幾何不變體系, 且有一個(gè)多余約束。且有一個(gè)多余約束。去掉二元體。去掉二元體。解解例例 幾何不變體系，有幾何不變體系，有1個(gè)多余約束。個(gè)多余約束。將折桿畫成直桿；將折桿畫成直桿；將將畫成畫成 幾何不變體系，幾何不變體系，沒有多余

15、約束。沒有多余約束。解解例例解解例例幾何不變體系幾何不變體系, 有有一個(gè)多余約束。一個(gè)多余約束。從兩邊去掉從兩邊去掉二元體二元體幾何不變體系幾何不變體系, 沒沒有多余約束。有多余約束。ABCDGFE從從G點(diǎn)開始依次增點(diǎn)開始依次增加二元體加二元體,最后判斷平最后判斷平行支鏈桿只需行支鏈桿只需1根。根。解解例例解解例例幾何可變體系，少幾何可變體系，少1個(gè)約個(gè)約束。束。 幾何可變體系，幾何可變體系，少少1個(gè)約束個(gè)約束解解例例解解例例從基礎(chǔ)開始增從基礎(chǔ)開始增加桿件。加桿件。 幾何不變體系幾何不變體系, 沒有沒有多余約束。多余約束。解解例例 幾何不變體系，有幾何不變體系，有4個(gè)多余約束個(gè)多余約束解解例例

16、 幾何不變體系，幾何不變體系，且沒有多余約束且沒有多余約束瞬變體系瞬變體系, 無多余約束。無多余約束。將折桿畫成直桿將折桿畫成直桿去掉二元體去掉二元體去掉二元體去掉二元體解解例例解解例例幾何不變體系且沒幾何不變體系且沒有多余約束。有多余約束。幾何不變體系且?guī)缀尾蛔凅w系且沒有多余約束。沒有多余約束。(1.2)(1.3)(2.3)三桿延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，三桿延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，瞬變體系：瞬變體系：習(xí)題習(xí)題習(xí)題習(xí)題習(xí)題習(xí)題 三桿平行且等長(zhǎng)，三桿平行且等長(zhǎng)，幾何可變體系幾何可變體系 幾何不變體系，幾何不變體系，且沒有多余約束。且沒有多余約束。習(xí)題習(xí)題習(xí)題習(xí)題去掉與地基之間的連接。去掉與地基之間的連接。上部結(jié)構(gòu)

17、為上部結(jié)構(gòu)為9根桿，根桿，3根根為為 剛片，剛片，6根為約束。根為約束。 幾何不變體系幾何不變體系, 沒有多余約束。沒有多余約束。習(xí)題習(xí)題習(xí)題習(xí)題 幾何不變體系幾何不變體系, 沒有多沒有多余約束。余約束。去掉與地基之間的連接。去掉與地基之間的連接。上部結(jié)構(gòu)為上部結(jié)構(gòu)為9根桿，根桿，3根根為為 剛片，剛片，6根為約束。根為約束。幾何不變體系幾何不變體系, 沒有多余約束。沒有多余約束。習(xí)題習(xí)題去掉與地基之間的連接。去掉與地基之間的連接。將將1個(gè)三角形和個(gè)三角形和2根桿件根桿件 看成剛片?？闯蓜偲?。習(xí)題習(xí)題加上地基共有加上地基共有9個(gè)剛片個(gè)剛片瞬變體系。瞬變體系。 有一個(gè)多余約束有一個(gè)多余約束的剛片。的剛片。 幾何瞬變體系，幾何瞬變體系，有有1個(gè)多余約束個(gè)多余約束習(xí)題習(xí)題三根支鏈桿