兩類曲線積分的探究

1、兩類曲線積分的探討 學(xué)生姓名： 學(xué)號：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)指導(dǎo)老師： 職稱： 摘 要：本文給出了第一型曲線積分和第二型曲線積分的定義,并分別討論了第一型曲線積分和第二型曲線積分的有關(guān)性質(zhì).通過列舉一些求解兩類曲線積分的例子,重點(diǎn)討論了兩類曲線積分的有關(guān)計(jì)算.最后,又給出了兩類曲線積分的聯(lián)系.關(guān)鍵詞：第一型曲線積分;第二型曲線積分;性質(zhì),計(jì)算,聯(lián)系.Talk about the two types of The Line IntegralsAbstract: This article introduces the definition of the line integrals

2、 of the first type and the second type, the nature of the two line integrals are discussed .It focus on the calculation of the two line integrals by some examples .Finally,it gives the connection of the two types of the line integrals.Key words: the line integrals of the first type; the line integra

3、ls of the second type; property;calculation;connection.前言積分貫穿于整個(gè)大學(xué)數(shù)學(xué)的課程中,而這兩類曲線積分是將以前定義在直線段上函數(shù)的積分延伸到了定義在平面或空間曲線段上的函數(shù)積分.給出兩類曲線積分的不同定義,不同性質(zhì)和求解方法則成為我們能準(zhǔn)確掌握兩類曲線積分的基礎(chǔ).因此,通過學(xué)習(xí),現(xiàn)將兩類曲線積分的相關(guān)知識總結(jié)如下,并希望通過此次總結(jié),能夠?qū)深惽€積分有一個(gè)更深入的了解,對相關(guān)知識掌握的更加牢固.1.第一型曲線積分1.1 第一型曲線積分的定義 設(shè)L 為平面上可求長度的曲線段, 為定義在L上的函數(shù).對曲線L做分割T,它把分成n個(gè)可求長度

4、的小線段的弧長記為,分割T的細(xì)度為,在上任取一點(diǎn)若有極限且J的值與分割T與點(diǎn)的取法無關(guān),則稱此極限為在L上的第一型曲線積分,記做.1.2第一型曲線積分的性質(zhì)若存在, 為常數(shù).則也存在,且=.若曲線段由曲線首尾相接而成,且都存在,則也存在,且=.與都存在,且在L上,則 .若存在,則也存在,且| .若存在, L的弧長為n,則存在常數(shù)c,使得=,這里.1.3 第一型曲線積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為定積分法定理1設(shè)有光滑曲線函數(shù)為定義在L上的連續(xù)函數(shù),則 證 由弧長公式知道,L上由到的弧長.由的連續(xù)性與積分中值定理,有.所以= ,這里,.設(shè),則有 =+. 令,則當(dāng)時(shí),必有.現(xiàn)在證明.因?yàn)閺?fù)合函數(shù)關(guān)于t連續(xù),所以在

5、閉區(qū)間上有界,即存在常數(shù)M,使得對一切都有.再由在上連續(xù),所以它在上一致連續(xù),即對任給的,必存在,使當(dāng)時(shí)有,從而所以 .再由積分定義, .因此當(dāng)在式兩邊取極限后,即得所要證的式.例1 設(shè)L是半圓周試計(jì)算第一型曲線積分.解 =. 利用對稱性求解定理2 設(shè)曲線L關(guān)于點(diǎn)P(或直線L或平面Y)對稱的曲線和組成,且設(shè)的對稱點(diǎn)為,則例2 設(shè)L是橢圓,其周長記為a,計(jì)算.解 橢圓的方程可化為,代入積分中=.因?yàn)槭莤的奇函數(shù),曲線L關(guān)于y軸對稱,故由定理2可知且.故=.1.4延伸若L為空間可求長曲線段, 為定義在L上的函數(shù),則可類似地定義在空間曲線L上的第一型曲線積分,并記做.仿照定理1,對于空間曲線積分,當(dāng)

6、曲線L由參量方程表示時(shí),其計(jì)算公式為:.例3 計(jì)算,其中L為球面被平面所截得的圓周.解 由對稱性知,所以.2.第二型曲線積分2.1 第二型曲線積分的定義設(shè)函數(shù)與定義在平面由向可求長度曲線弧上.對L的任一分割T,它把L分成n個(gè)小曲線段弧 ,其中.記各小曲線段弧的弧長為,分割T的細(xì)度.又設(shè)T的分點(diǎn)的坐標(biāo)為,并記,.在每個(gè)小曲線段弧上任取一點(diǎn),若極限存在且與分割T與點(diǎn)的取法無關(guān),則稱次極限為函數(shù),沿有向曲線L上的第二型曲線積分,記為 或 上述積分也可寫作或?yàn)闀鴮懞啙嵠鹨? 式常寫成或. 若L為封閉的有向線段,則記為 若記,則式可寫成向量形式 或. 于是,力沿有向曲線弧對質(zhì)點(diǎn)所作的功為.注 第二型曲線

7、積分與曲線L的方向有關(guān).對同一曲線,當(dāng)方向由A到B改為由B到A時(shí),每一小曲線段的方向都改變,從而所得的也隨之改變符號,故有 而第一型曲線積分的被積表達(dá)式只是函數(shù)與弧長的乘積,它與曲線L的方向無關(guān),這是兩種類型曲線積分的一個(gè)重要區(qū)別.2.2 第二型曲線積分的性質(zhì) 若存在,則也存在,且其中為常數(shù). 若有向曲線L是由有向曲線首尾相接而成,且存在,則也存在,且.2.3 第二型曲線積分的計(jì)算 化為定積分的方法定理3 設(shè)平面曲線其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)函數(shù),且點(diǎn)A與B的坐標(biāo)分別為與.又設(shè)與為L上的連續(xù)函數(shù),則沿L從A到B的第二型曲線積分 . 例4 計(jì)算,其中L分別為如下中的路線 直線AB; ACB(拋物線:

8、 ); ADBA(三角形周界).解 直線的參數(shù)方程為.故由公式可得. 曲線ACB為拋物線 , ,所以= 這里L(fēng)是一條封閉曲線,故可從A開始,應(yīng)用第二型曲線積分的性質(zhì),分別求沿AD,DB和BA上的線積分然后相加即可得到所求之曲線積分.由于沿直線的線積分為.沿直線的線積分為.沿直線的線積分可由公式得到.所以. 利用格林（Green）公式求解定理4（Green公式）若函數(shù),在閉區(qū)域D上連續(xù),且具有一階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有.這里L(fēng)為區(qū)域D的邊界線,并取正方向.例5 計(jì)算,其中L為任一不包含原點(diǎn)的閉區(qū)域的邊界線.解 因?yàn)?.在上述區(qū)域D上連續(xù)且相等,于是,所以由格林公式立即可得2.4延伸若L為空間有向可求

9、長度曲線, 為定義在L上的函數(shù),則可按上述辦法類似地定義沿空間有向曲線L上的第二型曲線積分,并記為或簡寫成對于沿空間有向曲線的第二型曲線積分的就是公式也與式相仿.設(shè)空間有向光滑曲線L的參量方程為起點(diǎn)為終點(diǎn)為則=. 這里要注意曲線方向與積分上下限的確定應(yīng)該一致.例6 計(jì)算第二型曲線積分L是螺旋線: 從到上的一段.解 由公式,=.3.兩類曲線積分的聯(lián)系雖然第一性曲線積分與第二型曲線積分來自不同的物理原型,且有著不同的特性,但在一定條件下,如在規(guī)定了曲線的方向之后,可以建立它們之間的聯(lián)系.設(shè)L為從A到B的有向光滑曲線,它以弧長s為參數(shù),于是其中l(wèi)為曲線L的全長,且點(diǎn)A與的坐標(biāo)分別為與.曲線L上每一點(diǎn)

10、的切線方向指向弧長增加的一方.現(xiàn)以, 分別表示切線方向t與x軸與y軸正向的夾角,則在曲線上的每一點(diǎn)的切線方向的余弦是 . 若為曲線L上的連續(xù)函數(shù),則由式得=, 最后一個(gè)等式是根據(jù)第一型曲線積分化為定積分的公式.這里必須指出,當(dāng)式左邊第二型曲線積分中L改變方向時(shí),積分值改變符號,相應(yīng)在式右邊第一型曲線積分中,曲線上各點(diǎn)的切線方向指向相反的方向(即指向弧長減少的方向).這時(shí)夾角和分別于原來的夾角相差一個(gè)弧度,從而和都要變號.因此,一旦方向確定了,公式總是成立的.這樣,根據(jù)條件和公式便建立了兩種不同類型曲線積分之間的聯(lián)系.結(jié)語第一型曲線積分和第二型的知識雖然不是很多,但卻是我們不可小視的,正確掌握第一型曲線積分和第二型曲線積分的相關(guān)知識對我們以后的學(xué)習(xí)也是很有幫助的.本文匯總了曲線積分的性質(zhì)和計(jì)算,但是還不完善,請讀者批評指正.參考文獻(xiàn):1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,2001.2王占林,楊