專升本數(shù)學(xué)分析精選三試卷及答案

1、數(shù)學(xué)分析參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一. 計(jì)算題（共8題，每題9分，共72分）。1. 求函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處的二次極限與二重極限.解： ，因此二重極限為.(4分)因?yàn)榕c均不存在，故二次極限均不存在。 (9分)2. 設(shè) 是由方程組所確定的隱函數(shù),其中和分別具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù),求.解： 對(duì)兩方程分別關(guān)于求偏導(dǎo): ， (4分)。解此方程組并整理得. (9分)3. 取為新自變量及為新函數(shù)，變換方程。設(shè) （假設(shè)出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)）.解：看成是的復(fù)合函數(shù)如下：。 (4分)代人原方程，并將變換為。整理得： 。 (9分)4. 要做一個(gè)容積為的有蓋圓桶,什么樣的尺寸才能使用料最省?解： 設(shè)圓桶底面半徑為,高為,則原問(wèn)題

2、即為：求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最小值，其中目標(biāo)函數(shù): ,約束條件: 。 (3分) 構(gòu)造Lagrange函數(shù)：。令 (6分) 解得，故有 由題意知問(wèn)題的最小值必存在，當(dāng)?shù)酌姘霃綖楦邽闀r(shí)，制作圓桶用料最省。 (9分)5. 設(shè),計(jì)算.解：由含參積分的求導(dǎo)公式 (5分) 。 (9分)6. 求曲線所圍的面積，其中常數(shù).解：利用坐標(biāo)變換 由于，則圖象在第一三象限，從而可以利用對(duì)稱性，只需求第一象限內(nèi)的面積。 (3分)則 (6分) . (9分)7. 計(jì)算曲線積分,其中是圓柱面與平面的交線（為一橢圓），從軸的正向看去，是逆時(shí)針?lè)较? 解： 取平面上由曲線所圍的部分作為Stokes公式中的曲面，定向?yàn)樯蟼?cè)，則的

3、法向量為 。 (3分) 由Stokes公式得 (6分) (9分)8. 計(jì)算積分,為橢球的上半部分的下側(cè).解：橢球的參數(shù)方程為，其中且 。 (3分)積分方向向下，取負(fù)號(hào)，因此， (6分) (9分) 二. 證明題（共3題，共28分）。9.（9分） 討論函數(shù)在原點(diǎn)(0,0)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性和可微性.解：連續(xù)性：當(dāng)時(shí)，當(dāng)，從而函數(shù)在原點(diǎn)處連續(xù)。 (3分)可偏導(dǎo)性：， ，即函數(shù)在原點(diǎn)處可偏導(dǎo)。 (5分)可微性： 不存在，從而函數(shù)在原點(diǎn)處不可微。 (9分)10.（9分） （9分） 設(shè)滿足：（1）在上連續(xù)，（2），（3）當(dāng)固定時(shí)，函數(shù)是的嚴(yán)格單減函數(shù)。試證：存在，使得在上通過(guò)定義了一個(gè)函數(shù)，且在上連續(xù)。

4、證明：（i）先證隱函數(shù)的存在性。由條件（3）知，在上是的嚴(yán)格單減函數(shù)，而由條件（2）知，從而由函數(shù)的連續(xù)性得 ， ?，F(xiàn)考慮一元連續(xù)函數(shù)。由于，則必存在使得， 。同理，則必存在使得， 。取，則在鄰域內(nèi)同時(shí)成立 ， 。 (3分)于是，對(duì)鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，都成立 ， 。 固定此，考慮一元連續(xù)函數(shù)。由上式和函數(shù)關(guān)于的連續(xù)性可知，存在的零點(diǎn)使得0。 而關(guān)于嚴(yán)格單減，從而使0的是唯一的。再由的任意性，證明了對(duì)內(nèi)任意一點(diǎn)，總能從找到唯一確定的與相對(duì)應(yīng)，即存在函數(shù)關(guān)系或。此證明了隱函數(shù)的存在性。(6分)（ii）下證隱函數(shù)的連續(xù)性。設(shè)是內(nèi)的任意一點(diǎn)，記。對(duì)任意給定的，作兩平行線， 。由上述證明知 ， 。由的連續(xù)性，必存在的鄰域使得 ， ， 。對(duì)任意的，固定此并考慮的函數(shù)，它關(guān)于嚴(yán)格單減且， 。于是在內(nèi)存在唯一的一個(gè)零點(diǎn)使，即 對(duì)任意的，它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足。這證明了函數(shù)是連續(xù)的。 (9分)11.（10分）判斷積分在上是否一致收斂，并給出證明。證明：此積分在上非一致收斂。證明如下：作變量替換，則。 (3分)不論正整數(shù)多么大，當(dāng)時(shí)，恒有。 (5分)因此， (7分) ，當(dāng)時(shí)。因此原積分在上非一致收斂。 (10分)注：不能用Dirichlet判