二次函數(shù)動點與最值問題

1、一、二次函數(shù)中的最值問題：例1：在平面直角坐標系中，全等的兩個三角形RtAOB與Rt AOC如圖放置，點B、C 的坐標分別為（1，3），（0，1），BO 與A C相交于D,若AOC繞點O旋轉(zhuǎn)90至AOC，如圖所示（1）若拋物線過C、 A、A，求此拋物線的解析式及對稱軸； y=-x2+2x+3（2）、若點P是第一象限內(nèi)拋物線線上的一動點，問P在何處時AP A的面積最大？最大面積是多少？并求出此時的點P的坐標。（3）、設(shè)拋物線的頂點為N,在拋物線上是否存在點P,使 AAN與 AAP的面積相等?,若存在,請求出此時點P的坐標，若不存在，請說明理由。例 2、（2012攀枝花）如圖，在平面直角坐標系xO

2、y中，四邊形ABCD是菱形，頂點ACD均在坐標軸上，且AB=5，sinB=（1）求過ACD三點的拋物線的解析式；（2）記直線AB的解析式為y1=mx+n，（1）中拋物線的解析式為y2=ax2+bx+c，求當(dāng)y1y2時，自變量x的取值范圍；（3）設(shè)直線AB與（1）中拋物線的另一個交點為E，P點為拋物線上AE兩點之間的一個動點，當(dāng)P點在何處時，PAE的面積最大？并求出面積的最大值解答：解：（1）四邊形ABCD是菱形，AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；RtOCD中，OC=CDsinD=4，OD=3；OA=ADOD=2，即：A（2，0）、B（5，4）、C（0，4）、D（3，0）；設(shè)拋物

3、線的解析式為：y=a（x+2）（x3），得：2（3）a=4，a=；拋物線：y=x2+x+4（2）由A（2，0）、B（5，4）得直線AB：y1=x；由（1）得：y2=x2+x+4，則：，解得：，；由圖可知：當(dāng)y1y2時，2x5（3）SAPE=AEh，當(dāng)P到直線AB的距離最遠時，SABC最大；若設(shè)直線LAB，則直線L與拋物線有且只有一個交點時，該交點為點P；設(shè)直線L：y=x+b，當(dāng)直線L與拋物線有且只有一個交點時，x+b=x2+x+4，且=0；求得：b=，即直線L：y=x+；可得點P（，）由（2）得：E（5，），則直線PE：y=x+9；新 課 標 第一網(wǎng)則點F（，0），AF=OA+OF=；PAE的

4、最大值：SPAE=SPAF+SAEF=（+）=綜上所述，當(dāng)P（，）時，PAE的面積最大，為針對訓(xùn)練：1、（2013宜賓）如圖，拋物線y1=x21交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B，將此拋物線向右平移4個單位得拋物線y2，兩條拋物線相交于點C（1）請直接寫出拋物線y2的解析式；（2）若點P是x軸上一動點，且滿足CPA=OBA，求出所有滿足條件的P點坐標；（3）在第四象限內(nèi)拋物線y2上，是否存在點Q，使得QOC中OC邊上的高h有最大值？若存在，請求出點Q的坐標及h的最大值；若不存在，請說明理由解答：解：（1）拋物線y1=x21向右平移4個單位的頂點坐標為（4，1），所以，拋物線y2的解析式為y2=

5、（x4）21；（2）x=0時，y=1，y=0時，x21=0，解得x1=1，x2=1，所以，點A（1，0），B（0，1），OBA=45，聯(lián)立，解得，點C的坐標為（2，3），CPA=OBA，點P在點A的左邊時，坐標為（1，0），在點A的右邊時，坐標為（5，0），所以，點P的坐標為（1，0）或（5，0）；（3）存在點C（2，3），直線OC的解析式為y=x，設(shè)與OC平行的直線y=x+b，聯(lián)立，消掉y得，2x219x+302b=0，當(dāng)=0，方程有兩個相等的實數(shù)根時，QOC中OC邊上的高h有最大值，此時x1=x2=（）=，此時y=（4）21=，存在第四象限的點Q（，），使得QOC中OC邊上的高h有最大值，

6、此時=19242（302b）=0，解得b=，過點Q與OC平行的直線解析式為y=x，令y=0，則x=0，解得x=，設(shè)直線與x軸的交點為E，則E（，0），過點C作CDx軸于D，根據(jù)勾股定理，OC=，則sinCOD=，解得h最大=2、如圖，拋物線的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點，已知點坐標為.（1）求拋物線的解析式；（2）試探究的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；（3）若點是線段下方的拋物線上一點，求的面積的最大值，并類型一、最值問題：類型一、最值問題：（2013瀘州）如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（1，），已知拋物線y=ax2+bx+c（a0）經(jīng)過三點A、B、O（O為原

7、點）（1）求拋物線的解析式；（2）在該拋物線的對稱軸上，是否存在點C，使BOC的周長最?。咳舸嬖?，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如果點P是該拋物線上x軸上方的一個動點，那么PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標及PAB的最大面積；若沒有，請說明理由（注意：本題中的結(jié)果均保留根號）考點：二次函數(shù)綜合題3338333分析：（1）直接將A、O、B三點坐標代入拋物線解析式的一般式，可求解析式；（2）因為點A，O關(guān)于對稱軸對稱，連接AB交對稱軸于C點，C點即為所求，求直線AB的解析式，再根據(jù)C點的橫坐標值，求縱坐標；（3）設(shè)P（x，y）（2x0，y0），用割補法可表示PAB的面積，

8、根據(jù)面積表達式再求取最大值時，x的值解答：解：（1）將A（2，0），B（1，），O（0，0）三點的坐標代入y=ax2+bx+c（a0），可得：，解得：，故所求拋物線解析式為y=x2x；（2）存在理由如下：如答圖所示，y=x2x=（x+1）2+，拋物線的對稱軸為x=1點C在對稱軸x=1上，BOC的周長=OB+BC+CO；OB=2，要使BOC的周長最小，必須BC+CO最小，點O與點A關(guān)于直線x=1對稱，有CO=CA，BOC的周長=OB+BC+CO=OB+BC+CA，當(dāng)A、C、B三點共線，即點C為直線AB與拋物線對稱軸的交點時，BC+CA最小，此時BOC的周長最小設(shè)直線AB的解析式為y=kx+t，則

9、有：，解得：，直線AB的解析式為y=x，當(dāng)x=1時，y=，所求點C的坐標為（1，）；（3）設(shè)P（x，y）（2x0，y0），則y=x2x 如答圖所示，過點P作PQy軸于點Q，PGx軸于點G，過點A作AFPQ軸于點F，過點B作BEPQ軸于點E，則PQ=x，PG=y，由題意可得：SPAB=S梯形AFEBSAFPSBEP=（AF+BE）FEAFFPPEBE=（y+y）（1+2）y（2+x）（1x）（+y）=y+x+ 將代入得：SPAB=（x2x）+x+=x2x+=（x+）2+當(dāng)x=時，PAB的面積最大，最大值為，此時y=+=，點P的坐標為（，）類型二、探索三角形的存在性。例1、（2013綿陽）如圖，二

10、次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點C的坐標為（0，2），交x軸于A、B兩點，其中A（1，0），直線l：x=m（m1）與x軸交于D（1）求二次函數(shù)的解析式和B的坐標；（2）在直線l上找點P（P在第一象限），使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，求點P的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在（2）成立的條件下，在拋物線上是否存在第一象限內(nèi)的點Q，使BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，請求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題分析：（1）由于拋物線的頂點C的坐標為（0，2），所以拋物線的對稱軸為y軸，且與y軸交點的縱坐標為2，即b=0，c=

11、2，再將A（1，0）代入y=ax2+bx+c，求出a的值，由此確定該拋物線的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到點B的坐標；（2）設(shè)P點坐標為（m，n）由于PDB=BOC=90，則D與O對應(yīng)，所以當(dāng)以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似時，分兩種情況討論：OCBDBP；OCBDPB根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，得出n與m的關(guān)系式，進而可得到點P的坐標；（3）假設(shè)在拋物線上存在第一象限內(nèi)的點Q（x，2x22），使BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形過點Q作QEl于點E利用AAS易證DBPEPQ，得出BD=PE，DP=EQ再分兩種情況討論：P（m，）；P（m，

12、2（m1）都根據(jù)BD=PE，DP=EQ列出方程組，求出x與m的值，再結(jié)合條件x0且m1即可判斷不存在第一象限內(nèi)的點Q，使BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形解答：解：（1）拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為C（0，2），b=0，c=2；y=ax2+bx+c過點A（1，0），0=a+02，a=2，拋物線的解析式為y=2x22當(dāng)y=0時，2x22=0，解得x=1，點B的坐標為（1，0）；（2）設(shè)P（m，n）PDB=BOC=90，當(dāng)以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似時，分兩種情況：若OCBDBP，則=，即=，解得n=由對稱性可知，在x軸上方和下方均有一點滿足條件，此時點

13、P坐標為（m，）或（m，）；若OCBDPB，則=，即=，解得n=2m2由對稱性可知，在x軸上方和下方均有一點滿足條件，此時點P坐標為（m，2m2）或（m，22m）綜上所述，滿足條件的點P的坐標為：（m，），（m，），（m，2m2）或（m，22m）（3）假設(shè)在拋物線上存在第一象限內(nèi)的點Q（x，2x22），使BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形如圖，過點Q作QEl于點EDBP+BPD=90，QPE+BPD=90，DBP=QPE在DBP與EPQ中，DBPEPQ，BD=PE，DP=EQ分兩種情況：當(dāng)P（m，）時，B（1，0），D（m，0），E（m，2x22），解得，（均不合題意舍去）；當(dāng)P（m，2（

14、m1）時，B（1，0），D（m，0），E（m，2x22），解得，（均不合題意舍去）；綜上所述，不存在滿足條件的點Q類型三、探究二次函數(shù)與圓：（2013巴中）如圖，在平面直角坐標系中，坐標原點為O，A點坐標為（4，0），B點坐標為（1，0），以AB的中點P為圓心，AB為直徑作P的正半軸交于點C（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）設(shè)M為（1）中拋物線的頂點，求直線MC對應(yīng)的函數(shù)解析式；（3）試說明直線MC與P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論考點：二次函數(shù)綜合題；解二元一次方程組；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切

15、線的判定245761 專題：計算題分析：（1）求出半徑，根據(jù)勾股定理求出C的坐標，設(shè)經(jīng)過A、B、C三點拋物線解析式是y=a（x4）（x+1），把C（0，2）代入求出a即可；（2）求出M的坐標，設(shè)直線MC對應(yīng)函數(shù)表達式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得到方程組，求出方程組的解即可；（3）根據(jù)點的坐標和勾股定理分別求出PC、DC、PD的平方，根據(jù)勾股定理的逆定理得出PCD=90，即可求出答案解答：解：（1）A（4，0），B（1，0），AB=5，半徑是PC=PB=PA=，OP=1=，在CPO中，由勾股定理得：OC=2，C（0，2），設(shè)經(jīng)過A、B、C三點拋物線解析式是y=a（x4）（x+1

16、），把C（0，2）代入得：2=a（04）（0+1），a=，y=（x4）（x+1）=x2+x+2，答：經(jīng)過A、B、C三點拋物線解析式是y=x2+x+2（2）y=x2+x+2=+，M（，），設(shè)直線MC對應(yīng)函數(shù)表達式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得：，解得：k=，b=2，y=x+2，y=x+2答：直線MC對應(yīng)函數(shù)表達式是y=x+2（3）MC與P的位置關(guān)系是相切證明：設(shè)直線MC交x軸于D，當(dāng)y=0時，0=x+2，x=，OD=，D（，0），在COD中，由勾股定理得：CD2=22+=，PC2=，PD2=，CD2+PC2=PD2，PCD=90，PCDC，PC為半徑，MC與P的位置關(guān)系是相切針對

17、訓(xùn)練：1、）（2013湘西州）如圖，已知拋物線y=x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A（2，0）（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；（2）求點C的坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；（3）試判斷AOC與COB是否相似？并說明理由；（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使ACQ為等腰三角形？若不存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由（5）、點M 是拋物線上位于第一象限內(nèi)的動點，當(dāng)BCM的面積達到最大值時，求點M的坐標及最大值？（6）、求BAC的外接圓圓心E點的坐標？（7）、求證圓E與直線：y=3x/4+4相切。在該直線上找一點

18、F，使BCF為直角三角形，求F的坐標？（8）、l是過點A且平行于BC的直線，在該直線上找一點D，使A,B,C,D所在的四邊形為平行四邊形，求D的坐標？（9）、將BAC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90得到BAC，求點A和點C的坐標及線段BC所掃過的區(qū)域的面積？（10）、在x軸上找一點G，使CFG的周長最小，求G點坐標及周長最小值？求此時CFG的面積？（11）、在拋物線上找一點H，使ABH的面積=AOC的面積.。求點H的坐標？（12）、求拋物線關(guān)于直線：x=10,對稱的拋物線的解析式？（13）、N是線段AB上的一個動點（與A、B不重合），分別連接AC、BC，過點N作NPAC交線段BC于點P，連接CN，記CNP

19、的面積為S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此時E點的坐標；若不存在，請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=求出對稱軸方程；（2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點C坐標；令y=0，可求出點B坐標再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；（3）根據(jù)，AOC=BOC=90，可以判定AOCCOB；（4）本問為存在型問題若ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計算，避免漏解解答：解：（1）拋物線y=x2+bx+4的圖象經(jīng)過點A（2，0），（2）2+b（2）+4=0，解得：b=，拋物線解析式為 y=x2+x+4，又

20、y=x2+x+4=（x3）2+，對稱軸方程為：x=3（2）在y=x2+x+4中，令x=0，得y=4，C（0，4）；令y=0，即x2+x+4=0，整理得x26x16=0，解得：x=8或x=2，A（2，0），B（8，0）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐標分別代入解析式，得：，解得k=，b=4，直線BC的解析式為：y=x+4（3）可判定AOCCOB成立理由如下：在AOC與COB中，OA=2，OC=4，OB=8，又AOC=BOC=90，AOCCOB（4）拋物線的對稱軸方程為：x=3，可設(shè)點Q（3，t），則可求得：AC=，AQ=，CQ=i）當(dāng)AQ=CQ時，有=，25+t2=t28t+16+9，解得t=0，Q1（3，0）；ii）當(dāng)AC=AQ時，有=，t2=5，此方程無實數(shù)根，此時ACQ不能構(gòu)成等腰三角形；iii）當(dāng)AC=CQ時，有=，整理得：t28t+5=0，解得：t=4，點Q坐標為：Q2（3，4+），Q3（3，4）綜上所述，存在點Q，使ACQ為等腰三角形，點Q的坐標為：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4）2、（2013四川南充，21，8分）如圖，二次函