斐波那契數(shù)列算法分析

1、斐波那契數(shù)列算法分析 斐波那契數(shù)列算法分析背景：假定你有一雄一雌一對剛出生的兔子，它們在長到一個月大小時開始交配，在第二月結(jié)束時，雌兔子產(chǎn)下另一對兔子，過了一個月后它們也開始繁殖，如此這般持續(xù)下去。每只雌兔在開始繁殖時每月都產(chǎn)下一對兔子，假定沒有兔子死亡，在一年后總共會有多少對兔子？在一月底，最初的一對兔子交配，但是還只有1對兔子；在二月底，雌兔產(chǎn)下一對兔子，共有2對兔子；在三月底，最老的雌兔產(chǎn)下第二對兔子，共有3對兔子；在四月底，最老的雌兔產(chǎn)下第三對兔子，兩個月前生的雌兔產(chǎn)下一對兔子，共有5對兔子；如此這般計算下去，兔子對數(shù)分別是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,

2、55,89, 144, .看出規(guī)律了嗎？從第3個數(shù)目開始，每個數(shù)目都是前面兩個數(shù)目之和。這就是著名的斐波那契（Fibonacci）數(shù)列。 有趣問題：1，有一段樓梯有10級臺階,規(guī)定每一步只能跨一級或兩級,要登上第10級臺階有幾種不同的走法?答：這就是一個斐波那契數(shù)列：登上第一級臺階有一種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種方法所以，1，2，3，5，8，13登上十級，有89種。2，數(shù)列中相鄰兩項的前項比后項的極限是多少，就是問，當n趨于無窮大時，F(xiàn)(n)/F(n+1)的極限是多少？答：這個可由它的通項公式直接得到，極限是(-1+5)/2，這個就

3、是所謂的黃金分割點，也是代表大自然的和諧的一個數(shù)字。  數(shù)學表示：Fibonacci數(shù)列的數(shù)學表達式就是：F(n) = F(n-1) + F(n-2)F(1) = 1F(2) = 1 遞歸程序1：Fibonacci數(shù)列可以用很直觀的二叉遞歸程序來寫，用C+語言的描述如下：long fib1(int n)if (n <= 2)return 1;elsereturn fib1(n-1) + fib1(n-2);看上去程序的遞歸使用很恰當，可是在用VC2005的環(huán)境下測試n=37的時候用了大約3s，而n=45的時候基本下樓打完飯也看不到結(jié)果顯然這種遞歸的效率太低了

4、！遞歸效率分析：例如，用下面一個測試函數(shù)：long fib1(int n, int* arr)arrn+;if (n <= 2)return 1;elsereturn fib1(n-1, arr) + fib1(n-2, arr);這時，可以得到每個fib(i)被計算的次數(shù)：fib(10) = 1fib(9) = 1fib(8) = 2fib(7) = 3fib(6) = 5fib(5) = 8fib(4) = 13fib(3) = 21fib(2) = 34fib(1) = 55fib(0) = 34可見，計算次數(shù)呈反向的Fibonacci數(shù)列，這顯然造成了大量重復計算。我們令T(N)

5、為函數(shù)fib(n)的運行時間，當N>=2的時候我們分析可知：T(N) = T(N-1) + T(N-2) + 2而fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)，所以有T(N) >= fib(n)，歸納法證明可得：fib(N) < (5/3)N當N>4時，fib（N）>= (3/2)N標準寫法：顯然這個O（(3/2)N） 是以指數(shù)增長的算法，基本上是最壞的情況。其實，這違反了遞歸的一個規(guī)則：合成效益法則。合成效益法則（Compound interest rule）：在求解一個問題的同一實例的時候，切勿在不同的遞歸調(diào)用中做重復性的工作。所以在上面的代碼中調(diào)

6、用fib(N-1)的時候?qū)嶋H上同時計算了fib(N-2)。這種小的重復計算在遞歸過程中就會產(chǎn)生巨大的運行時間。 遞歸程序2：用一叉遞歸程序就可以得到近似線性的效率，用C+語言的描述如下：long fib(int n, long a, long b, int count)if (count = n)return b;return fib(n, b, a+b, +count); long fib2(int n)return fib(n, 0, 1, 1);這種方法雖然是遞歸了，但是并不直觀，而且效率上相比下面的迭代循環(huán)并沒有優(yōu)勢。 迭代解法：Fibonacci數(shù)列用迭

7、代程序來寫也很容易，用C+語言的描述如下：/也可以用數(shù)組將每次計算的f(n)存儲下來，用來下次計算用（空間換時間）long fib3 (int n)long x = 0, y = 1;for (int j = 1; j < n; j+)y = x + y;x = y - x;return y;這時程序的效率顯然為O（N），N = 45的時候<1s就能得到結(jié)果。 矩陣乘法：我們將數(shù)列寫成：Fibonacci0 = 0，F(xiàn)ibonacci1 = 1Fibonaccin = Fibonaccin-1 + Fibonaccin-2 (n >= 2)可以將它寫成矩陣乘法形式：

8、將右邊連續(xù)的展開就得到：下面就是要用O(log(n)的算法計算：顯然用二分法來求，結(jié)合一些面向?qū)ο蟮母拍?，C+代碼如下：class Matrixpublic:long matr22; Matrix(const Matrix&rhs);Matrix(long a, long b, long c, long d);Matrix& operator=(const Matrix&);friend Matrix operator*(const Matrix& lhs, const Matrix& rhs)Matrix ret(0,0,0,0);ret.m

9、atr00 = lhs.matr00*rhs.matr00 + lhs.matr01*rhs.matr10;ret.matr01 = lhs.matr00*rhs.matr01 + lhs.matr01*rhs.matr11;ret.matr10 = lhs.matr10*rhs.matr00 + lhs.matr11*rhs.matr10;ret.matr11 = lhs.matr10*rhs.matr01 + lhs.matr11*rhs.matr11;return ret; Matrix:Matrix(long a, long b, long c, long d)this-&g

10、t;matr00 = a;this->matr01 = b;this->matr10 = c;this->matr11 = d; Matrix:Matrix(const Matrix &rhs)this->matr00 = rhs.matr00;this->matr01 = rhs.matr01;this->matr10 = rhs.matr10;this->matr11 = rhs.matr11; Matrix& Matrix:operator =(const Matrix &rhs)this->ma

11、tr00 = rhs.matr00;this->matr01 = rhs.matr01;this->matr10 = rhs.matr10;this->matr11 = rhs.matr11;return *this; Matrix power(const Matrix& m, int n)if (n = 1)return m;if (n%2 = 0)return power(m*m, n/2);elsereturn power(m*m, n/2) * m; long fib4 (int n)Matrix matrix0(1, 1, 1, 0);m

12、atrix0 = power(matrix0, n-1);return matrix0.matr00;這時程序的效率為O（log(N)） 。 公式解法：在O（1）的時間就能求得到F(n)了： 注意：其中x表示取距離x最近的整數(shù)。用C+寫的代碼如下：long fib5(int n)double z = sqrt(5.0);double x = (1 + z)/2;double y = (1 - z)/2;return (pow(x, n) - pow(y, n)/z + 0.5; 這個與數(shù)學庫實現(xiàn)開方和乘方本身效率有關的，我想應該還是在O(log(n)的效率。 總結(jié)：上面給出

13、了5中求解斐波那契數(shù)列的方法，用測試程序主函數(shù)如下：int main()cout << fib1(45) << endl;cout << fib2(45) << endl;cout << fib3(45) << endl;cout << fib4(45) << endl;cout << fib5(45) << endl;return 0; 函數(shù)fib1會等待好久，其它的都能很快得出結(jié)果，并且相同為：1134903170。而后面兩種只有在n = 1000000000的時候會顯示

14、出優(yōu)勢。由于我的程序都沒有涉及到高精度，所以要是求大數(shù)據(jù)的話，可以通過取模來獲得結(jié)果的后4位來測試效率與正確性。另外斐波那契數(shù)列在實際工作中應該用的很少，尤其是當數(shù)據(jù)n很大的時候（例如：1000000000），所以綜合考慮基本普通的非遞歸O(n)方法就很好了，沒有必要用矩陣乘法。 附錄：程序全部源碼：#include <iostream>#include <vector>#include <string>#include <cmath>#include <fstream> using namespace std;&

15、#160;class Matrixpublic:long matr22; Matrix(const Matrix&rhs);Matrix(long a, long b, long c, long d);Matrix& operator=(const Matrix&);friend Matrix operator*(const Matrix& lhs, const Matrix& rhs)Matrix ret(0,0,0,0);ret.matr00 = lhs.matr00*rhs.matr00 + lhs.matr01*rhs.matr10;r

16、et.matr01 = lhs.matr00*rhs.matr01 + lhs.matr01*rhs.matr11;ret.matr10 = lhs.matr10*rhs.matr00 + lhs.matr11*rhs.matr10;ret.matr11 = lhs.matr10*rhs.matr01 + lhs.matr11*rhs.matr11;return ret; Matrix:Matrix(long a, long b, long c, long d)this->matr00 = a;this->matr01 = b;this->matr10 = c;th

17、is->matr11 = d; Matrix:Matrix(const Matrix &rhs)this->matr00 = rhs.matr00;this->matr01 = rhs.matr01;this->matr10 = rhs.matr10;this->matr11 = rhs.matr11; Matrix& Matrix:operator =(const Matrix &rhs)this->matr00 = rhs.matr00;this->matr01 = rhs.matr01;this->

18、;matr10 = rhs.matr10;this->matr11 = rhs.matr11;return *this; Matrix power(const Matrix& m, int n)if (n = 1)return m;if (n%2 = 0)return power(m*m, n/2);elsereturn power(m*m, n/2) * m; /普通遞歸long fib1(int n)if (n <= 2)return 1;elsereturn fib1(n-1) + fib1(n-2);/*上面的效率分析代碼long fib1(int n, int* arr)arrn+;if (n <= 1)return 1;elsereturn fib1(n-1, arr) + fib1(n-2, arr);*/ long fib(int n, long a, long b, int count)if (count = n)return b;return fib(n, b, a+b, +count);/一叉遞歸long