三角形四心的向量性質及其應用

1、三角形“四心”的向量性質及其應用東陽市中天高級中學數(shù)學組：蔡航英自從2003年高考(江蘇卷)第5題向量考出彩后，在中學數(shù)學向量教學時，挖掘三角形“四心”向量性質及其應用，引起了廣泛重視。與三角形的“四心”(重心、垂心、外心、內心)有關的向量問題是一類極富思考性和挑戰(zhàn)性，又具有相當深度和難度的重要題型,備受各級各類考試命題者的青睞,頻頻出現(xiàn)在各級各類考試卷中，凸現(xiàn)出較好的區(qū)分和選拔功能，是考查學生數(shù)學能力和素養(yǎng)的極好素材，現(xiàn)將有關三角形“四心”向量性質及其應用羅列如下：一、三角形的重心的向量表示及應用命題一已知是不共線的三點，是內一點，若則是的重心證明：如圖1所示，因為，所以 以，為鄰邊作平行四

2、邊形，則有，所以又因為在平行四邊形中，交于點，所以，所以是的邊的中線故是的重心點評：解此題要聯(lián)系重心的定義和向量加法的意義；把平面幾何知識和向量知識結合起來解決問題是解此類問題的常用方法例1如圖2所示，的重心為為坐標原點，試用表示解：設交于點，則是的中點，圖2而點評：重心問題是三角形的一個重要知識點，充分利用重心性質及向量加、減運算的幾何意義是解決此類題的關鍵變式：已知分別為的邊的中點則證明：如圖的所示， 圖3 變式引申：如圖4，平行四邊形的中心為，為該平面上任意一點，則證明：，點評：（1）證法運用了向量加法的三角形法則，證法2運用了向量加法的平行四邊形法則（2）若與重合，則上式變?yōu)? 二、三

3、角形的外心的向量表示及應用命題二：已知是內一點，滿足，則點為ABC的外心。例2 已知G、M分別為不等邊ABC的重心與外心，點A，B的坐標分別為A（-1，0），B（1，0），且，（1）求點C的軌跡方程；（2）若直線過點（0，1），并與曲線交于P、Q兩點，且滿足，求直線的方程。解 （1）設C（x,y），則G（）， 其中， 由于， 故，外心M（0，），得軌跡E的方程是 （2）略。三、三角形的垂心的向量表示及應用命題三：已知是內一點，滿足，則點G為垂心。（2005全國文12）證明:由. 即則所以P為的垂心. 點評：本題將平面向量有關運算、“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關知識巧

4、妙結合。變式：若H為ABC所在平面內一點，且則點H是ABC的垂心BCHA圖6證明: 0即0同理，故H是ABC的垂心四、三角形的內心的向量表示及應用 命題四：O是內心的充要條件是變式1：如果記的單位向量為，則O是內心的充要條件是 變式2：如果記的單位向量為，則O是內心的充要條件也可以是。例4（2003江蘇）已知O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，滿足，則P的軌跡一定通過ABC的內心 。 PECOABD圖7解： 如圖由已知， ，設，D、E在射線AB和AC上。 AP是平行四邊行的對角線。又 ， ADPE是菱形。點P在 即 的平分線上。故P點的軌跡一定通過ABC的內心。 五、三角形外心

5、與重心的向量關系及應用命題五：設ABC的外心為O，則點G為ABC重心的充要條件為：圖8證明：如圖8，設G為重心，連結AG并延長，交BC于D，則D為BC的中點。 反之，若，則由上面的證明可知：設D為BC的中點，則，從而，G在中線AD上且AG=AD，即G為重心。六、三角形外心與垂心的向量關系及應用命題六：設ABC的外心為O，則點H為ABC的垂心的充要條件是。證明：如圖2，若H為垂心，以OB、OC為鄰邊作平行四邊形OBDC，圖9則 O為外心，OB=OC， 平行四邊形OBDC為菱形 ODBC，而AHBC， AHOD，存在實數(shù)，使得 。同理，存在實數(shù)，使得 比較、可得， 反之，若，則， O為外心，OB=

6、OCAHCB，同理，BHAC。 H為垂心。例6、已知H是ABC的垂心，且AH=BC，試求A的度數(shù)解：設ABC的外接圓半徑為R，點O是外心。 H是ABC的垂心 ，AH=BC， 而A為ABC的內角， 02A360° 從而2A=90°或270° A的度數(shù)為45°或135°。七、三角形的外心、重心、垂心的向量關系及應用命題七：ABC的外心、重心、垂心分別為O、G、H，則O、G、H三點共線（O、G、H三點連線稱為歐拉線），且OG=GH。圖10證明：如圖10，由命題五、六知，連結AG并延長，交BC于D，則D為BC的中點。，O、G、H三點共線，且OG=GH。

7、例7、已知O（0，0），B（1，0），C（b，c），是OBC的三個頂點。試寫出OBC的重心G，外心F，垂心H的坐標，并證明G、F、H三點共線。（2002年全國）解：重心G為，設H點的坐標為 ，BC=(b-1，c)， ，故 H點的坐標為 設外心F的坐標為由|FO|=|FC|，得，所以F點的坐標為（，）。 從而可得出GH=（，），F(xiàn)H=（，） ，GHFH，F(xiàn)、G、H三點共線。 點評：向量不僅是平面解析幾何入門內容，而且是解在關數(shù)形結合問題的重要工具。它一般通過概念的移植、轉化，將坐標與向量結合起來，從而使一些難題在思路上獲得新的突破。例8、已知P是非等邊ABC外接圓上任意一點，問當P位于何處時，P

8、A2+PB2+PC2取得最大值和最小值。解：如圖11，設外接圓半徑為R，點O是外心，則圖11PA2+PB2+PC2=（由命題六知：H為垂心，）當P為OH的反向延長線與外接圓的交點時，有最大值6R2+2R·OH當P為OH的延長線與外接圓的交點時，有最小值6R22R·OH隨著新課改的深入，向量成為高中新教材中新增加的重要內容之一, 近幾年高考都將向量放在顯著的位置。向量有著豐富的物理背景，它既是代數(shù)研究的對象，又是幾何研究的對象，是集“數(shù)、形”于一身的數(shù)學概念。向量主要以平面幾何、直角坐標系、三角函數(shù)等知識為基礎。通過向量的學習，一方面將我們對量的數(shù)學表達式的認識進入到一個新的領域，另一