322立體幾何中的向量方法4及詳解——向量法求線線角與線面角

1、高二理科數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案班別： _學(xué)號(hào)： _姓名： _ §3.2立體幾何中的向量方法（4）向量法求線線角與線面角一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解直線與平面所成角的概念2掌握利用向量方法解決線線、線面 、面面的夾角的求法二、問題導(dǎo)學(xué)問題1：什么叫異面直線所成的角？它的范圍是什么？怎樣用定義法求它的大?。繂栴}2：怎樣通過向量的運(yùn)算來求異面直線所成的角？設(shè)l1與l2是兩異面直線，a、b分別為l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角為，則a，b與 ，cos 。問題3：用向量的數(shù)量積可以求異面直線所成的角，能否求線面角？如圖，設(shè)l為平面的斜線，lA，a為l的方向向量，n為平面的法向量，為l與所成的角，a，n，則s

2、in 。三、例題探究例1如圖，M、N分別是棱長為1的正方體的棱、 的中點(diǎn)求異面直線MN與所成的角 變式：在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC，ABAC，M是CC1的中點(diǎn)，Q是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在A1B1上，則直線PQ與直線AM所成的角等于 ()A30° B45° C60° D90°例2如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160°. (1)證明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB2，求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值變式：如圖，在四棱錐PABCD中，底面為直角梯形，ADBC，BA

3、D90°，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)求BD與平面ADMN所成的角.四、練一練（時(shí)間：5分鐘）1. 1若平面的法向量為，直線l的方向向量為v，直線l與平面的夾角為，則下列關(guān)系式成立的是 ()Acos Bcos Csin Dsin2如圖，ABCDA1B1C1D1是正方體，B1E1D1F1，則BE1與DF1所成角的余弦值是（ ）A BC D3正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長相等，則AC1與面BB1C1C所成角的余弦值為（ ）A B CD4已知長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，則直線BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值為

4、() A.B. C. D.5正四棱錐SABCD，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO=OD，則直線BC與平面PAC所成的角為 【參考答案】§3.2立體幾何中的向量方法（4）向量法求線線角與線面角一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解直線與平面所成角的概念2掌握利用向量方法解決線線、線面 、面面的夾角的求法用向量方法求空間中的角角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設(shè)兩異面直線所成的角為，它們的方向向量為a，b，則cos |cosa，b| . (0，直線與平面所成的角設(shè)直線l與平面所成的角為，l的方向向量為a，平面的法向量為n，則sin|cos |a，n . 0，二面角設(shè)二面角l的平面角為，平

5、面、的法向量為n1，n2，則|cos|cosn1，n1|.0，1求異面直線所成的角設(shè)l1與l2是兩異面直線，a、b分別為l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角為，則a，b與相等或互補(bǔ)，cos.2求直線與平面所成的角如圖，設(shè)l為平面的斜線，lA，a為l的方向向量，n為平面的法向量，為l與所成的角，a，n，則sin|cos|cosa，n|.二、問題導(dǎo)學(xué)問題1：什么叫異面直線所成的角？它的范圍是什么？怎樣用定義法求它的大?。繂栴}2：怎樣通過向量的運(yùn)算來求異面直線所成的角？設(shè)l1與l2是兩異面直線，a、b分別為l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角為，則a，b與 ，cos 。問題3：用向量的數(shù)量積

6、可以求異面直線所成的角，能否求線面角？如圖，設(shè)l為平面的斜線，lA，a為l的方向向量，n為平面的法向量，為l與所成的角，a，n，則sin 。三、例題探究例1如圖，M、N分別是棱長為1的正方體的棱、 的中點(diǎn)求異面直線MN與所成的角【答案】60° 變式：在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC，ABAC，M是CC1的中點(diǎn)，Q是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在A1B1上，則直線PQ與直線AM所成的角等于 ()A30° B45° C60° D90°答案D 解析以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB1，A(0,0,0)，M(0

7、,1，)，Q(，0)，設(shè)P(x,0,1)，(0,1，)，(x，1)，·0×(x)1××(1)0，選D.點(diǎn)評 1求異面直線所成的角的常用方法是：(1)作圖證明計(jì)算；(2)把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算2一般地，若直線AM和點(diǎn)Q固定，點(diǎn)P變動(dòng)，則直線AM與PQ所成的角為變量，若此角不隨P的變化而變化，則只能是AM平面P1P2Q(其中P1、P2是P運(yùn)動(dòng)軌跡中的兩個(gè)點(diǎn))，故選D.例2如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160°. (1)證明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB2，求直線A1C 與平面BB1C1C

8、所成角的正弦值解析(1)取AB中點(diǎn)O，連接CO，A1B ，A1O，ABAA1，BAA160°，BAA1是正三角形，A1OAB，CACB，COAB，COA1OO，AB平面COA1，ABA1C.(2)由(1)知OCAB，OA1AB，又平面ABC平面ABB1A1，平面ABC平面ABB1A1AB，OC平面ABB1A1，OCOA1，OA，OC，OA1兩兩相互垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，|為單位長度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Oxyz，由題設(shè)知A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(1，0,0)，則(1,0，)，(1，0)，(0，)，設(shè)n(x，y，z)是平面CBB1C

9、1的法向量，則即可取n(，1，1)，cosn，直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為.變式：如圖，在四棱錐PABCD中，底面為直角梯形，ADBC，BAD90°，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)求BD與平面ADMN所成的角.解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC1，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，則N(1,0,1)(2,2,0)，(0,2,0)，(1,0,1)，設(shè)平面ADMN的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則由，得，取x1，則z1，n(1,0，1)cos，n， sin|cos，n|.又0°9

10、0°，30°.方法規(guī)律總結(jié)用向量方法求異面直線所成的角、線面角、二面角，都是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量或平面的法向量的夾角計(jì)算問題，需注意的是異面直線所成的角(0，故兩直線的方向向量夾角的余弦值為負(fù)時(shí)，應(yīng)取其絕對值；若直線與平面所成的角，直線的方向向量和平面的法向量夾角為，則其關(guān)系為sin|cos|；若二面角為，兩平面的法向量夾角為，則|cos|cos|，需分辨角是銳角還是鈍角，可由圖形觀察得出，也可由法向量特征得出四、練一練（時(shí)間：5分鐘）1. 若平面的法向量為，直線l的方向向量為v，直線l與平面的夾角為，則下列關(guān)系式成立的是 ()Acos Bcos Csin Dsin答案 D

11、2如圖，ABCDA1B1C1D1是正方體，B1E1D1F1，則BE1與DF1所成角的余弦值是（ ）A BC D答案 A解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB4，則D (0,0,0)，B(4,4,0)，E1(4,3,4)，F(xiàn)1(0,1,4)，則= (0,1,4)，= (0,1,4)·0×0(1)×14×415，|=，|=，cos，= =，設(shè)與所成的角為，則cos=|=，即與所成的角的余弦值為故選A3正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長相等，則AC1與平面BB1C1C所成角的余弦值為（ ）A、B、C、D、答案 B解析 取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)DC1，可以證明A

12、D平面BB1C1C，則ÐAC1D是AC1與平面BB1C1C所成的角，cosÐAC1D，即AC1與平面BB1C1C所成角的余弦值為，故選B.4已知長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，則直線BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值為 () A.B. C. D.答案 C解析解法一：連結(jié)A1C1交B1D1于O點(diǎn)，由已知條件得C1OB1D1，且平面BDD1B1平面A1B1C1D1，所以C1O平面BDD1B1，連結(jié)BO，則BO為BC1在平面BDD1B1上的射影，C1BO即為所求，通過計(jì)算得sinC1BO，故選C.解法二：以A為原點(diǎn)，AB、AD、AA1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(4,0,0)、B1(4,0,2)、D(0,4,0)、D1(0,4,2)、C1(4,4,2)，(0,4,2)，(4,4,0)，(0,0,2)，設(shè)平面BDD1B1的法向量為n(x，y，z)，則，取x1，則n(1,1,0)設(shè)所求線面角為，則sin|cosn，|.5正四棱錐SABCD中，O為頂點(diǎn)S在底面ABCD上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO=OD，則直線BC與平面PAC所成的角為 答案 30°解析 可利用平面的法向量。課堂小結(jié)：1異面直線，的方向向量為a，b，則與所成的角即為a、b所成的夾角或其補(bǔ)角；2要求直線與平面所成的角，先求出直線的方向向量與平