20平行四邊形與中心對稱圖形

1、平行四邊形與中心對稱圖形一、一周知識概述1、四邊形在平面內(nèi)，由不在同一條直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形組成四邊形的各條線段叫做四邊形的邊，每相鄰兩條邊的公共端點叫做四邊形的頂點四邊形用它的各個頂點的字母順序來表示如四邊形ABCD若把四邊形的任何一邊向兩方延長，其它各邊都在延長所得的直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形四邊形中，連結(jié)不相鄰的兩個頂點的線段叫做四邊形的對角線，四邊形有兩條對角線四邊形相鄰兩邊所組成的角叫做四邊形的內(nèi)角，簡稱四邊形的角四邊形相對的兩個角叫做對角，相對的兩條邊叫做對邊2、平行四邊形的定義兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形平行四邊形ABCD記作“AB

2、CD”如圖，在ABCD中，AB與CD，AD與BC分別為ABCD的兩組對邊，A與C，B與D是兩組對角3、平行四邊形的性質(zhì)(1)平行四邊形對角相等；(2)平行四邊形對邊平行且相等；(3)平行四邊形的對角線互相平分4、中心對稱圖形在平面內(nèi)，將一個圖形G繞一點O旋轉(zhuǎn)180°，所得到的像與原來的圖形G互相重合，那么圖形G叫做中心對稱圖形點O叫做圖形G的對稱中心，此時也稱圖形G關(guān)于點O對稱中心對稱圖形上，每一對對應(yīng)點的連線段都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心5、平行四邊形的判定方法（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；(2)兩組對邊分別相

3、等的四邊形是平行四邊形；(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(4)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形6、平行四邊形判定與性質(zhì)的關(guān)系特別說明的是：平行四邊形的定義既是它的性質(zhì)，又是它的判定7、三角形中位線連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線三角形中位線的性質(zhì)定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半如圖，D、E分別是ABC邊AB、AC的中點，則，且DEBC它說明三角形中位線與第三邊的位置和大小關(guān)系也是我們將來解決線與線之間平行關(guān)系和倍分關(guān)系的一種重要方法二、重難點知識歸納掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定方法，三角形中位線的性質(zhì)；應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)和判定方法解決平行四邊形的有

4、關(guān)問題；會應(yīng)用三角形的中位線性質(zhì)解題三、典型例題講解例1、O是ABCD對角線的交點，的周長為59，則_，若與的周長之差為15，則_，ABCD的周長=_.解析：ABCD中，.的周長 .在ABCD中，BC=AD，AD=28的周長的周長， ABCD的周長說明：本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是將與的周長的差轉(zhuǎn)化為兩條線段的差.例2、已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，過O點的直線EF交AD、BC于E、F.求證：.分析：要證，只需證含有OE、OF的兩個三角形全等即可，也就是說證明或證.這一點由平行四邊形的性質(zhì)容易證得.證明：四邊形ABCD是平行四邊形，（平行四邊形的對角線

5、互相平分）在與中，說明：此題利用了平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，通過證明三角形全等，證明了.那么由此題可以看出過平行四邊形對角線交點的任一直線被一組對邊所截得的線段，被對角線的交點平分.平行四邊形是以對角線交點為中心的對稱圖形.例3、如圖，E、F分別是ABCD的AD、BC邊上的點，且AE=CF(1)求證：ABECDF；(2)若M、N分別是BE、DF的中點，連結(jié)MF、EN，試判斷四邊形MFNE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論證明：(1)四邊形ABCD為平行四邊形，AB=CD，A=C又AE=CF，ABECDF(SAS)(2)四邊形MFNE是平行四邊形證明如下：由ABECDF得BE=DF又M、N分別

6、為BE、DF的中點，EM=NF由四邊形ABCD為平行四邊形知又AE=CF，四邊形BEDF為平行四邊形，故BEDF，四邊形MFNE為平行四邊形點評：本例兩次用到“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”的判定定理，并且兩次用到平行四邊形的性質(zhì)定理例4、已知，如圖，平行四邊形ABCD的周長是36cm，自鈍角頂點D向AB、BC引兩條高DE、DF，且，求這個平行四邊形的面積解析：設(shè)AB=x cm，BC=y cm四邊形ABCD為平行四邊形，AB=CD，AD=BC又四邊形ABCD的周長為36cm，2x2y=36DEAB，DFBC，SABCD=AB·DE，SABCD=BC·DF由解得x=

7、10，y=8SABCD=AB·DE=說明：利用方程思想是解決幾何問題的一種重要方法例5、如圖，在ABC中，ACB=90°，CF是斜邊上的高，AT平分CAB交CF于點D，過D作DEAB交BC于點E求證：CT=EB證明：過D作DGCB交AB于點GDEAB，四邊形DEBG為平行四邊形DG=EB，3=B在RtABC與RtAFC中，易知4=B4=3，1=2，AD=AD，ACDAGD，CD=GD又15=90°，27=26=90°，5=6，CD=CTCT=EB例6、AD為ABC的高，B=2C，M為BC的中點求證：DM=AB分析：由M為BC中點，要證DM=AB，聯(lián)想利用

8、中位線定理構(gòu)造AB，即取AC的中點N，連接MN，DN，只須證明MN=DM，這可由在直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊一半及B=2C證得證法一：取AC的中點N，連接MN、DN又M為BC中點，MN/AB，MN=AB，B=NMCAD為ABC的高，N為AC的中點，DN=CN，C=NDCNMC=NDCMND，B=2C，MDN=MND，MD=MN，DM=AB證法二：取AB的中點P，連接DP、MP，則PM為ABC的中位線PM/AC，C=PMB又AD為ABC的高，P為AB的中點，PD=PB=AB，B=PDBPDB=PMBDPM，B=2C，DPM=DMP，PD=DM=AB說明：如果題目中有線段倍分并有中點，解題思

9、路經(jīng)常構(gòu)造中位線把問題轉(zhuǎn)化；在證線段倍分時，也經(jīng)常用到“斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一結(jié)論證題例7、在圖(1)中的網(wǎng)格中畫出四邊形關(guān)于O點的中心對稱圖形解：在網(wǎng)格中作出四邊形關(guān)于O點的中心對稱圖形，如圖(2)說明：作中心對稱圖形的實質(zhì)，就是將圖形的每一個頂點繞中心O旋轉(zhuǎn)180°比如，作點A，使點A與點A關(guān)于O點對稱，只要連結(jié)AO，并延長AO至A，使OA=OA即可在線測試窗體頂端一、選擇題1、下列命題正確的個數(shù)是（）兩個全等三角形必關(guān)于某一點中心對稱關(guān)于中心對稱的兩個三角形是全等三角形（注意比較命題、的真假）兩個三角形對應(yīng)點連線都經(jīng)過同一點，則這兩個三角形關(guān)于該點成中心對稱（沒有說明

10、被這一點平分）關(guān)于中心對稱的兩個三角形，對應(yīng)點連線都經(jīng)過對稱中心A1B2C3D42、如圖，在ABCD中，AEBC于點E，AFCD于點F，若AE=4，AF=6，ABCD的周長為40，則SABCD為（）A24 B36C40 D483、如圖，在ABCD中，已知AE、CF分別是DAB、BCD的角平分線，若B=50°，則BCF=（）A50° B40°C65° D85°4、若A、B、C三點不共線，則以其為頂點的平行四邊形共有（）A1個 B2個C3個 D4個5、如圖，ABCD中，C=108°，BE平分ABC，則ABE等于（）A18° B3

11、6°C72° D108°6、已知，第一個三角形的周長為1，它的三條中位線又組成第二個三角形，第二個三角形的三條中位線又組成第三個三角形，依次類推，第2009個三角形的周長為（）ABCD7、如圖，在ABC中，AB=30cm，BC=24cm，CA=27cm，AE=EF=FB，EGDFBC，F(xiàn)MENAC，則圖中陰影部分三個三角形周長的和為（）A70cm B75cmC80cm D81cm8、如圖，在ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，如果AC=8，BD=10，AB=x，則x的取值范圍是（）A1x9B2x18C8x10 D4x59、如圖，在ABCD中，CE是DCB的平分

12、線，F(xiàn)是AB的中點，AB=6，BC=4，則AEEFFB為（）A112B213C324D11310、在四邊形ABCD中，給出下列條件：ABCD；AD=BC；A=C；ADBC能判斷四邊形是平行四邊形的所有組合是（）A， B，C， D， 窗體底端B卷二、解答題11、如圖，在ABCD中，AEBC，AFCD，E、F是垂足，B=50°求ABCD的其他三個角及EAF的度數(shù)答案12、如圖，已知AO是ABC的A的平分線，BDAO的延長線于點D，E是BC的中點求證：答案13、如圖，四邊形ABCD中，DCAB，以AD、AC為邊作ACED，延長DC交EB于點F求證：EF=FB答案14、如圖，四邊形ABCD關(guān)

13、于點O成中心對稱圖形求證：四邊形ABCD是平行四邊形答案15、如圖，在ABC中,C=90°,點M在BC上，且BM=AC；點N在AC上，且AN=MCAM、BN相交于點P求證：BPM45°第1題答案錯誤!正確答案為 B第2題答案錯誤!正確答案為 D第3題答案錯誤!正確答案為 C第4題答案錯誤!正確答案為 C第5題答案錯誤!正確答案為 B第6題答案錯誤!正確答案為 B第7題答案錯誤!正確答案為 D第8題答案錯誤!正確答案為 A第9題答案錯誤!正確答案為 B第10題答案錯誤!正確答案為 D提示：1、(2)(4)正確2、設(shè)BC=x，CD=y，則依面積知4x=6y2x=3y，又xy=2

14、0，列方程組求解3、BCD=130°，BCF=65°4、過點A、B、C分別作對邊的平行線，有3個平行四邊形5、此題用到了“平行四邊形的鄰角互補(bǔ)”，求出ABC的度數(shù)后，即可得到ABE的大小6、三角形的三條中位線組成的三角形的周長等于前一個三角形的周長的一半7、依平行四邊形對邊相等知正好為ABC的周長8、由平行四邊形性質(zhì)可知：OA=4，OB=5在平行四邊形中，AB、OA、OB構(gòu)成三角形，所以54x54，即1x99、在ABCD中，DCAB，所以DCE=CEB，又DCE=ECB，所以CEB=ECB，即BE=BC=4，F(xiàn)是AB中點，所以又EF=BEFB=43=1，AE=ABBE=64

15、=2，所以AEEFFB=21310、由平行四邊形的判定方法知選D11、解：四邊形ABCD為平行四邊形，D=B=50°，C=BAD(ABCD的對角相等)又ABCD，CB=180°C=BAD=130°在四邊形AECF中，AEBC，AFCD，C=130°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理，得EAF=50°12、分析：由“角平分線垂直”易聯(lián)想到等腰三角形，通過補(bǔ)圖，運用等腰三角形三線合一，構(gòu)造出三角形的中位線證明：如圖，延長AC、BD交于點F，則ABF為等腰三角形，且BD=DF又E為BC中點，ED是BCF的中位線13、證明：過點B作BGAD，交DC的延長線于點G，連結(jié)EGDCAB，四邊形ABGD為平行四邊形在ACED中，四邊形BGEC是平行四邊形，EF=FB(平行四邊形對角線互相平分)14、分析：因為四邊形ABCD是中心對稱圖形，所以A點和C點，B點和D點是對稱點，則線段AC過點O，BD也過點O，且AC、BD都被點O平分，所以四邊形ABCD是平行四邊形證明：四