關(guān)于一類一階非線性常微分方程解空間的顯易結(jié)構(gòu)

1、第19卷增刊1999年4月數(shù)學(xué)研究與評論JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITION.19SuppVolApr.1999關(guān)于一類一階非線性常微分方程解空間的顯易結(jié)構(gòu)張玉明(遼寧商業(yè)高等?？茖W(xué)校企管系,錦州121013)摘要:文章以定理111為基礎(chǔ),引入標準可積方程的概念,進而根據(jù)已知方程w=ai(z)wi(z)的n+i=0n1個系數(shù),給出了該方程解空間具有顯易結(jié)構(gòu)的判別準則.一方面,根據(jù)該準則,可以對該類非線性常微分方程解空間結(jié)構(gòu)作出顯易結(jié)構(gòu)的判定,從而可以對其解空間進行定性解析分析;另一方面,該準則可以作為判定該類非線性常微分方程在復(fù)域上能否變量分離之

2、準則.關(guān)鍵詞:解空間,標準可積方程,顯易結(jié)構(gòu).分類號:AMS(1991)34B15CLCO175.14文獻標識碼:A文章編號:10002341X(1999)增刊202822051引言及主要定理對于非線性常微分方程nw=a(z)wii=0i(z),(111)其中ai(z)C(D);ZD,an(z)0,D是復(fù)平面上某一連通開集.當n2時,一般不能用初等方法求解.然而,類似于線性常微分方程,它們的解空間也是由若干不同的特解非線性地生成.文1,3給出了方程(111)解空間具有顯易結(jié)構(gòu)的條件.1(D)上的解析函數(shù)定理111方程(111)解空間具有顯易結(jié)構(gòu)的充要條件是存在Df(z)與g(z),f(z)0,

3、zD,使得經(jīng)線性變換w=f(z)+g(z),方程(111)可以化為nnn-1(z)(=(z)(z)-+c1+cn),i=i=1(112)其中.i(i=1,2,n)為n個復(fù)數(shù)定理112方程(111)解空間具有第一類顯易結(jié)構(gòu)的充要條件是存在n個非零的常數(shù)i及n個互不相同的特解wi(z),它們滿足以下n-1個等式:n3wii=1ji(z)=0(j=0,1,2,n-2).(113)收稿日期:1996204225;修訂日期:1998206212作者簡介:張玉明(19632),男,河南玉田縣人,碩士,現(xiàn)為遼寧商業(yè)高等?？茖W(xué)校副教授.282 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optic

4、al Disc Co., Ltd. All rights reserved.在定理111中,如何實現(xiàn)這個變換,以及能否直接根據(jù)已知方程(111)的n+1個系數(shù),對方程(111)解空間顯易結(jié)構(gòu)的存在性作出判別,是未知的.然而我們通過對方程(111)與方程(112)系數(shù)的研究得到了下述主要結(jié)果.已給方程(111),定義函數(shù):g(z)=-,nan(z)iFi(z)=cj=0i-jn-ji-jian-j(z)g(z)-n-1i(z)(i=1,2,n),-ngf(z)(114)ii其中:n.-1,n為Kronecker記號,函數(shù)f(z)待定研究函數(shù)列F1(z),F2(z),Fn-2(z),Fn(z).(

5、i)如果此函數(shù)列在D上不全為零函數(shù),則可設(shè)Fk(z)為此函數(shù)列中下標號最小的非零函數(shù)(顯然k2),定義f(z)=an(z)k,(115)(116)3(z)=an(z)fn-1(z),0,j=1,2,k-1,(1.7)s3j=,j=k,k+1,n;jan(z)f(z)(ii)如果此函數(shù)列在D上均為零函數(shù),取g(z)=-,f(z)為D上任何無零點的nan(z)解析函數(shù),則方程(111)在線性變換w=f(z)+g(z)下,化為Bernoulli方程:(1.8)=an(z)fn-1(z)n+Fn-1(z).由此得到下面的主要定理:定理113當n3時,方程(111)解空間具有顯易結(jié)構(gòu)的充要條件是:或者s

6、3j(z)(j=k,k+1,n)均為常數(shù)(情況i);或者F1(z),F2(z),Fn-2(z),Fn(z)在D上均為零函數(shù)(情況ii)為了證明這個定理,需要如下引理.2基本引理設(shè)方程=(z)(n+s1n-1+s2n-2+sn-1+sn),(2.1)其中s1,s2,sn均為常數(shù).定義如果方程(211)具有如下性質(zhì):或者s1=s2=sk-1=0,sk=1(k2,且kn-1);或者si=0(i=1,2,n-2,n),則稱方程(211)為標準可積方程.為了證明定理113,引入如下引理:引理211任意一形如(112)的方程都可以經(jīng)過線性變換化為標準可積方程.(D)上的解析函數(shù)引理212方程(111)的解

7、空間具有顯易結(jié)構(gòu)的充要條件是:存在D,使得經(jīng)線性變換w=f(z)+g(z),方程(111)化為標準可積f(z)與g(z),f(z)0,zD283 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.方程.引理213在情況(i)下,如果方程(111)解空間具有顯易結(jié)構(gòu),則存在唯一一個線性變換,把方程(111)化為標準可積方程.3引理及定理的證明引理211的證明定義b=-iii-1i-1,則或者si=cnb+c1cn-1b+ci0(i=1,2,n-2,niii-1i-1n)(情況1);或者si=cnb+c1c

8、n-1b+ci=0(i=1,2,n-2,n)(情況2).設(shè)線性變換=a+b(a0,b為常數(shù)),情況1時只要取a=cnb+c1cn-1biii-1i-1+ci,b=-n引理212的證明由定理111及引理211便可以得到引理212的結(jié)論.引理213的證明存在性由引理212可知,唯一性的證明見5.最后證明定理113.先證明必要性:設(shè)線性變換w=f(z)+g(z).把變換(311)代入到方程(111)中得:n-1n-233=3(z)n+s3+s3+sn1(z)2(z)-1(z)+sn(z),(3.1)(312)(3.3)(3.4)其中3n-1(z),(z)=an(z)f3(j=1,2,n).sj=ja

9、n(z)f(z)由引理212得:或者情況(i),則有f(z)=an(z)k,g(z)=-,nan(z)且F1(z)=F2(z)=Fk-1(z)=0,而0,j=1,2,k-1;sj(z)=3,j=k,k+1,n,jan(z)f(z)在已知條件下,s3.j(z)必全為常數(shù)若不然,由引理213知,不存在其它的變換把方程(111)化為標準可積方程,即方程(111)的解空間不具有顯易結(jié)構(gòu),這與已知條件相矛盾,因此s3.j(z)必全為常數(shù)或者情況(ii),則g(z)=-下面證明充分性:284 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All ri

10、ghts reserved.,f(z)為D上任何無零點的解析函數(shù),且F1(z)=nan(z)F2(z)=Fn-2(z)=Fn(z)=0.必要性證畢.情況(i),線性變換w=an(z)k-3,把方程(111)化為nan(z)3k+133=3(z)(n+skk+sk+sn+1-1+sn),3其中sj(z)=(3.5)(j=k,k+1,n)均為常數(shù).由代數(shù)方程的基本定理,方程(315)可以jan(z)f(z)n化為如下形式:=(z)(z)-j,j=13(3.6)其中1,2,n為代數(shù)方程+sk+sk+1nk33k+133+sn-1+sn=0(3.7)的n個復(fù)根.當諸i均不相同時,方程(111)有第一類

11、顯易結(jié)構(gòu)的通解:nG(z)(z)-i=1iiConst,(3.8)其中G(z)=exp-(z)dz,(i=1,2,n)均為常數(shù).3isz當諸i有相同者時,方程(111)有第二類顯易結(jié)構(gòu)的通解:G(z)expR(z)(z)-i=13iiConst,(3.9)其中G(z)=exp-z3.i(i=1,2,s)均為常數(shù)(z)dz,R(z)為有理函數(shù),情況(ii)g(z)=-,f(z)為D上任意無零點的解析函數(shù),則在該線性變換下,方nan(z)程(111)化為Bernoulli方程:=an(z)fn-1(z)n+Fn-1(z),(3110)(3.12)z而Bernoulli方程有第一類顯易結(jié)構(gòu)的通解:1

12、-nn-1n-12G(z)(z)-1(z)Const,其中權(quán)為1-n,1,1而(z)dz(n-1)a(z)f(z)exp(n-1)FF(z)exp(n-1)FdzdzG(z)=(n-1)a(z)f1(z)=expzzn-1nn-1n-1(z)dzdzn-1znn-1zn-1(3.14)綜上所述,證明了無論是情況i,還是情況ii,方程(111)解空間都具有顯易結(jié)構(gòu).感謝導(dǎo)師管克英教授給予的熱情指導(dǎo)和幫助.參考文獻1GuanKeying.OnstrucureofsolutionspacesofsomenonlinearordinarydifferentialequationsC.Proc,of32

13、rdSeminarOnDifferentialEquations,(1990).Poznan.2秦元勛.常微分方程定義的積分曲面M.西安:西北大學(xué)出版社,1985.n3李美生.非線性常微分方程y=a(z)yii=0i(z)解空間的顯易結(jié)構(gòu)J.北京航空航天大學(xué)學(xué)報,285 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.1989,4:81-87.4GuanKeying.Onrepresentingthegeneralsolutionwiththespecialsolutionsforthediffere

14、ntialequtionsn=ya(z)yii=0i(z)J.JouralofMathematicalReserchandExposition,1983,3(1):115-116.n5張玉明,管克英.非線性常微分方程w=a(z)wii=0i(z)的顯化問題C.常微分方程復(fù)定性理論學(xué)術(shù)會議論文集,19911OnExplicitStructureofSolutionSpaceofaClassoftheFirstOrderNonlinearOrdinaryDifferentialEquationZhangYuming(LiaoningCommercialCollege)AbstractInthisp

15、aper,theconceptofthecanonicalintegrableequationisintroduced.Acriterionn=isgiveninvolvingthen+1coefficientofagivenequationwa(z)wii=0i(z)thatthesolu2tionspaceoftheequationhasanexplicitstructure.Accordingtothiscriterion,itcanbejudgedthatthesolutionspaceofthisclassofnonlineardifferentialequiationhasanexplicitorimplicitstrctrure,therefore,ananalyticqualitativeanalyesecanbemadeonit.More2over,thiscriterioncanbeusedtodeterminewhetherth