全等三角形幾種類型[總結(jié)]5

1、WORD格式整理全等三角形與角平分線全等圖形：能夠完全史合的兩個圖形就是全軍圖形全等多邊形：能夠完全重合的多邊形就是全等多邊形相互重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，相互重合的邊叫做對應(yīng)邊，相互重合的角叫做對應(yīng)角 全等多邊舷的對應(yīng)邊、對應(yīng)由分別相等如下圖，兩個全等的五邊形，記作：五邊形ABCDE且五邊形AB'CTD'E' 這里符號“且”表示全等，讀作“全等于” B全等三角形：能夠完全重合的三角形就是全等三角形全等三角膨的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角分別相等；反之，如果兩個三角形的邊和角分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等全等三由膨?qū)?yīng)的中線、高線、角平分線及周長面積均相等全等三角形的概念與表示

2、：能卷完全重合的兩個三角形叫作全等三角影能夠相互重合的頂點(diǎn)、邊、角分別叫作對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊、對應(yīng)由全等符號為“0” 全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)角的 由平分線相等，面積相等尋找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊(2)全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角-(3)有公共邊的，公共邊常是對應(yīng)邊(4)有公共角的，公共角常是對應(yīng)角-(5)有對頂甬的，對頂角常是對應(yīng)角全等三角形的判定方法：(1)(2)(3)(4)(5)邊角邊定理(S4S):兩邊和它們的夾甬對應(yīng)相等

3、的兩個三角膨全等角邊角定理(d£4):兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等邊邊邊定理(SSS):三邊對應(yīng)相等的兩個三由形全等角角邊定理(d/IS):兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等-斜邊、直角邊定理(也)：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 判定三角形全等的基本思路：'找夾角TSAS已知兩邊找直角THL找另一邊tSSS邊為角的對邊找任意一角f AAS己知一邊一角邊就是角的一條邊找這條邊上的另一角一ASA 找這條邊上的對角-* AAS 找該角的另一邊一SAS己知兩角找兩角的夾邊TASA 找任意一邊T AAS專業(yè)知識分享全等三角形的圖形歸納起來有以下

4、幾種典型形式：平移全等型(2)對稱全等型（3）旋轉(zhuǎn)全等型由全等可得到的相關(guān)定理：（1）角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等 到一個角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個甬的平分線上等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等（即等邊對等角） 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（6）線段垂直 平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等（7）和一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上-與角平分線相關(guān)的問題角平分線的兩個性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到甬的兩邊的距離相等；到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線

5、上它們具有互逆性由平分線是天然的、涉及對稱的模型，一般情況下，有下列三種作輔助線的方式：1 由角平分線上的一點(diǎn)向由的兩邊作垂線，2 過角平分線上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，從而膨成等腰三角形，3 - OA = OB，這種對稱的圖形應(yīng)用得也較為普遍，三角形中淺的定義：三角形頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的連線三角形中愛的相關(guān)定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等腰三角影底邊的中線三線合一（底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合）三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的媒段叫做三角膨的中位媒三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半- 中位線判定定理：經(jīng)過三由形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線必平分

6、第三邊 中線中位埃相關(guān)問題（涉及中點(diǎn)的問題）見到中線（中點(diǎn)、），我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無非是倍長中線以及中位線定理（以后還要學(xué)習(xí)中線長公式）， 尤其是在涉及線段的等量關(guān)系時，倍長中線的應(yīng)用更是較為第見*例題精講板塊一、全等三角形的認(rèn)識與性質(zhì)【例1】 在AB AC上各取一點(diǎn)E、D，使AE=AD，連接BD、CE相交于。再連結(jié)AO、BC， 若4 = N2 則圖中全等三角形共有哪幾對？并簡單說明理由【鞏固】如圖所示，AB=AD，BC = DC，E、F在AC上，AC與BD相交于P 圖中有幾對全等三 角形？請一一找出來，并簡述全等的理由板塊二、三角形全等的判定與應(yīng)用【例2】（2008年巴中市高中階段教育學(xué)校招

7、生考試）如圖，AC DE，BCEF，AC = DE 求證： AF = ED -【例3】（2008年宜賓市）巳知：如圖，AD = BC，AC=BD 求證：NC = ND 【鞏固】如圖，AC BD相交于O點(diǎn)，且AC=BD，AB=CD，求證：OA-OD D【例4（哈爾濱市2008年初中升學(xué)考試）巳知 加圖，B、E、F、C四點(diǎn)在同一條直線上，AB = DC >BE = CF > ZB = ZC 求證：OA= OD 【例5】 已知，如圖，AB= AC > CE± AB > BF ± AC，求證：BF = CE 【例6】 E、f分別是正方形ABCD的BC、CD邊

8、上的點(diǎn)、，且BE = CF 求證：AE±BF DFC【鞏固】E、F G分別是正方形ABCD的BC、CD、AB邊上的點(diǎn)，GE，EF > GE = EF 求證： BG + CF = BC WORD格式整理【例7】 在凸五邊形中，ZB = ZE，NC = ND > BC = DE，M為CD中點(diǎn).求證：A14±CD 板塊三、板長補(bǔ)短類【例1】 如圖，點(diǎn)M為正三角形ABD的邊AB所在直踐上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)B除外），作NDMN = 60。， 射線MN與NDEA外角的平分線交于點(diǎn)N > DM與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【鞏固】如圖，點(diǎn)M為正方形ABCD的邊AB上任意一點(diǎn)，MN

9、JLDM且與NABC外角的平分線交于 點(diǎn)N，MD與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【例2】 如圖，ADLIB，CBLAB，TAh，3k，N4價75°，NBMG4V，則 AB 的長為 ()k + hA. aB. kC. D. h2專業(yè)知識分享WORD格式整理【例3】巳知：如圖，4閱9是正方形，ZFA4NFAE.求證：BE+DF=AE.【例4】如圖所示，4ABC是邊長為1的正三角形，ABDC是頂角為120的等腰三角形，以D為頂點(diǎn) 作一個60,的NMDN，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上，求AAMN的周長【例5】五邊形臉中，房,超，BC+D笈CD，NMdN,抗廬180，求證：AD平分，CDE板塊四【例1】

10、與角平分線有關(guān)的全等問題如圖，巳知AABC的周長是21，OB，OC分別平分NABC和NACB，OD J.BC于D，且OD = 3 >求AABC的面積【例2】在ZkABC中，D為BC邊上的點(diǎn)，已知/BAD = NCAD > BD = CD，求證：AB = AC 專業(yè)知識分享WORD格式整理【例3】巳如AABC中，AB= AC，BE、CD分別是NABC及NACB平分線求證：CD = BE 專業(yè)知識分享【例4】巳知4ABC中，NA=6(T，BD、CE分別平分NABC和NACB > BD、CE交于點(diǎn)0，狀判 新BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明【例5】如圖，巳知E是AC上的一點(diǎn)，

11、XZL = Z2，N3 = N4 求證：ED=EB -【例6】（“希望杯”競賽我題）長方形力筋中，刃笈4,除7, N6切的角平分線交相于點(diǎn)八初L面 交AB于/，則EF=【例7】 如圖所示，巳知AABC中，AD平分NBAC >E、F分別在BD、AD上-DE = CD >EF = AC 求 證：EF | AB【鞏固】如圖，在AABC中，AD交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF 勾D交CA的延長線于點(diǎn)F， 交AB于點(diǎn)G >若BG = CF >求證：AD為NBAC的角平分線【鞏固】在AABC中，AB>AC，AD是NBAC的平分線 P是AD上任意一點(diǎn)求證：AB-AC >

12、PB-PC 【例8】 如圖，在AABC中> ZB = 2ZC，ZBAC的平分線AD交BC與D 求證：AB + BD = AC -【例9】 如圖所示，在AABC中，AC> AB，M為BC的中點(diǎn)，AD是NBAC的平分線，若CF J.AD 且交AD的延長線于F，求證MF = ：(AC-AB)【鞏固】如圖所示，AD是AABC中NBAC的外角平分線，CD «L AD于D，E是BC的中點(diǎn)，求證DE/AB 且DE(AB+AC) 7【鞏固】如圖所示，在AABC中，AD平分NBAC，AD=，CM JLAD于M，求證AB + AC = 2AM 【例10】如用»AABC中，AB =

13、AC，BD、CE分別為兩底角的外角平分線，ADJ.BD于D，AE_LCE 于E 求證：AD= AE -【鞏固】巳知：AD和BE分別是 ABC的NCAB和NCBA的外角平分錢> CD ± AD > CE ± BE，求 證： DE/7AB ； (2) DE = 1(AB + BC+C/Q -【例11】在4ABC中，MB、NC分別是三角形的外角ZABE、NACF的角平分線，AM±BM，ANJ.CN 垂足分別是M、N 求證：MNBC，hlN = 1( AB+AC+ BC)【鞏固】在AABC中，MB、NC分別是三角形的內(nèi)角NABC、NACB的角平分線，AM_LB

14、M >AN±CN 垂足分別是M、N 求證：MNBC，hdN = l(AB+AC-BC)WORD格式整理【鞏固】(北京市中考模擬題)如圖，在四邊形期CD中，AC平分/BAD，過C作CE_L AB于E，并且 AE =-(AB+ AD)，則 NABC + NADC 等于多少？2【例12】如圖，ZA+ZD = 180°，BE平分NABC，CE平分NBCD，點(diǎn)E在AD上探討線段AB、CD和BC之間的等量關(guān)系探討線段BE與CE之間的位置關(guān)系版塊一、倍長中線【例1 巳知：ABC中，AM是中線-求證：AM<(AB+AC) 【鞏固】(2002年通化市中考題)在AABC中，AB =

15、 5,AC = 9，則BC邊上的中線AD的長的取值范圍 是什么？【例2】 如圖，AABC中，AB<AC，AD是中線求證：ZDAC<ZDAB 專業(yè)知識分享【例3】如圖，已知在AABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長BE交AC于F， AF = EF，求證：AC = BE 【例4】巳知46C N層NC，£分別是”及M延長線上的一點(diǎn)，且BACE，連接絲交底歐于 G > 求證 GAGE 【例5】巳知AM為AABC的中線，ZAMB，NAMC的平分畿分別交AB于E、交AC于F 求證： BE+CF >EF WORD格式整理【例6】 在RtAABC中，ZA= 90

16、°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且 ED1FD 以線段BE、EF、FC為邊能否構(gòu)成一個三角形？若能，該三角形是銳角三角形、 直角三角形或鈍角三角形？【鞏固】如圖所示，在ZkABC中，D是BC的中點(diǎn)，DM垂直于DN，如果BM?+6? = DM?+DN?， 求證 AD? = L( AB + AC?) 4A【例7】(2008年四川省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽復(fù)賽初二組)在RtAABC中，F(xiàn)是斜邊AB的中點(diǎn)，D ” E分 別在邊CA、CB上，滿足NDFE = 90。若AD = 3，BE = 4，則線段DE的長度為版塊二、中位線的應(yīng)用【例8】AD是AABC的中線，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，BF的

17、延長線交AC于E 求證：AE = ?AC -3A【例9】 如圖所示，在AABC中，AB = AC，延長AB到D，使BD=AB，E為AB的中點(diǎn)，境接CE、 CD，求證 CD = 2EC 【鞏固】已知用中，.但心BD為"的延長假，且旌耳，傳為灰、的”邊上的中線求證CDLCE【例10】已知：，協(xié)力是凸四邊形，且/«劭 小/分別是49、及7的中點(diǎn)，房交"于V；必交切于 川，行和劭交于。點(diǎn)求證：NG%»NGWB F c【例11】在AABC中 ZACB = 90° > AC =1BC，以BC為底作等腰直角ABCD > E是CD的中點(diǎn)，求證：AE

18、LEB 且 AE = BE WORD格式整理【例12】如圖，在五邊形ABODE中，NABC = NAED = 90。，ZBAC = ZEAD，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)求證： RF = EE 【例13】(“祖沖之杯”數(shù)學(xué)競賽試題，中國國家集訓(xùn)隊(duì)試題)如圖所示，P是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，ZPAC = ZPBC，過 P 作 PM JL AC 于 M，PL JLBC 于 L，D 為 AB 的中點(diǎn)，求證DM = DL -【例14】(全國數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題)如圖所示，在AABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長CA CB到點(diǎn) E、F，使DE = DF 過E，F(xiàn)分別作直線CA、CB的垂線，相交于點(diǎn)P，設(shè)線段PA、PB 的中點(diǎn)分別為M、N 求證：(1) ADEMgAFDN ；(2) ZPAE = ZPBF 專業(yè)知識分享家庭作業(yè)【習(xí)題1如圖 > 巳知AC = BD > AD±AC > BC±BD，求證：AD = BC 【習(xí)題2】點(diǎn)W，力在等邊三角形d賀的，扮邊上運(yùn)動，除/，/版120，乙仞值60，求證 腫=.儂陸【習(xí)題3】在AABC中，AB = 3AC，ZBAC的平分線交BC于D 過B作EEJ.AD，E為