二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)及最值問(wèn)題

1、一、二次函數(shù)中的最值問(wèn)題：例1:在平面直角坐標(biāo)系中，全等的兩個(gè)三角形 Rt，AO* Rt A OC如圖放置，點(diǎn)B、C 的坐 標(biāo)分別為(1, 3), (0, 1), BO與A'C相交于D,若，A' OC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90°至/AOQ如圖所示(1)若拋物線過(guò)C、A、A',求此拋物線的解析式及對(duì)稱(chēng)軸；y=-x2+2x+3(2)、若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線線上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn) P在何處時(shí) AP A'的面積最大？最大面積是 多少？并求出此時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)。xOy中，四邊形 ABCD菱形，頂點(diǎn) A. C. D均在坐標(biāo)軸上，且請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(3)、設(shè)

2、拋物線的頂點(diǎn)為N,在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使 AAN與 A'AP的面積相等？，若存在,例2、(2012攀枝花)如圖，在平面直角坐標(biāo)系“C L -4AB=5, sinB=.5(1)求過(guò)A. C. D三點(diǎn)的拋物線的解析式;(2)記直線AB的解析式為y產(chǎn)mx+n, (1)中拋物線的解析式為 y2=ax2+bx+c,求當(dāng)yvy2時(shí)，自變量x的取值范 圍；(3)設(shè)直線AB與(1)中拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E, P點(diǎn)為拋物線上 A. E兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)， PAE的面積最大？并求出面積的最大值. . AB=AD=CD=BC=5sinB=sinD=5RtAOCD, OC=CDsinD=4

3、 , OD=3OA=AD- OD=2 即：A (-2, 0)、B(- 5, 4)、C (0, 4)、D (3, 0);設(shè)拋物線的解析式為：y=a (x+2) (x-3),得：八，川22X( - 3) a=4, a=-;，拋物線：y= - Zx2+Zx+4 .3 3(2)由 A ( 2, 0)、B ( 5, 4)得直線 AB: yi=-x-;332由(1)得：y2= - -x +x+4,則:3 3由圖可知：當(dāng)yiy2時(shí)，-2vxv5.(3)S/ApE=-AE?h2當(dāng)P到直線AB的距離最遠(yuǎn)時(shí)， S/ ABC最大；P;若設(shè)直線L/AB,則直線L與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)為點(diǎn)設(shè)直線L： y=

4、- x+b,當(dāng)直線L與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，3二.：2：1.一x+b=x +-x+4, 且 =0;33 3求得：b=Al,即直線 L： y=-Wx+_H;23 2可得點(diǎn)P (J,工).2 2由(2)得：E 55,-罵,則直線PE: y= - Hx+9;新課標(biāo)第一網(wǎng)33貝U點(diǎn) F (里，0), AF=OA+O漫；11 11.PAE的最大值：S/xpae=SJapaf+Saaef=XX (2?+1)=32 113212晅121、(2013宜賓)如圖，拋物線 拋物線y2,兩條拋物線相交于點(diǎn)yi=x2- 1交x軸的正半軸于點(diǎn) A交y軸于點(diǎn)B,將此拋物線向右平移4個(gè)單位得C.(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線

5、y2的解析式；(2)若點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足/ CPA=Z OBA求出所有滿足條件的 P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在第四象限內(nèi)拋物線 y2上，是否存在點(diǎn) Q,使得4QO彷OC邊上白高h(yuǎn)有最大值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及h的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解答：解：(1)拋物線y1=x2- 1向右平移4個(gè)單位的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4, - 1), 所以，拋物線y2的解析式為y2= (x-4) 2- 1；(2) x=0 時(shí)，y= - 1,y=0 時(shí)，x2- 1=0,解得 x1=1, x2= - 1,所以，點(diǎn) A (1, 0) , B (0, - 1),/ OBA=45,解得-1y-(X - 4) 2 - 1fX=

6、21尸3 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2, 3）, / CPA土 OBA 點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊時(shí)，坐標(biāo)為（- 在點(diǎn)A的右邊時(shí)，坐標(biāo)為（5, 0）, 所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1, 0）或（ （3）存在.;點(diǎn) C （2, 3）,1, 0),5, 0)；,直線OC的解析式為y=Sx,設(shè)與OC平行的直線2a .y=Jx+b,2y= (x- 4)2-1 QO計(jì) OC邊上白高h(yuǎn)有最大值,消掉 y 得，2x2- 19x+30- 2b=0,當(dāng)4=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí),此時(shí) Xi=X2=x (-此時(shí) y= (- - 4)4，存在第四象限的點(diǎn)=324-1 =-工, 16Q(一42此時(shí)=194X2 X (302b) =0,解得

7、b=一絲!16工），使得QOM OC邊上白高h(yuǎn)有最大值,16,一一，R 191過(guò)點(diǎn)Q與OC平行的直線解析式為 y=2x-/216令y=0,貝U -x 一空乙0,解得216設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為E,則E （, 0）,24過(guò)點(diǎn)C作CD! x軸于D,根據(jù)勾月定理，OC=/再=/,則 sin / COD=L=_jL,0E 713的/曰 h _ 3 121.121V13斛個(gè)于h最大=上* -V13241042、如圖，拋物線23y=ax 3x2（a # 0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為4,0 .(1)求拋物線的解析式；(2)試探究AABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo);(3

8、)若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，求 AMBC的面積的最大值，,并類(lèi)型一、最值問(wèn)題:類(lèi)型一、最值問(wèn)題：(2013?瀘州)如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,-夷)，已知拋物線y=ax2+bx+c(a加)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A B O (O為原點(diǎn)).(1)求拋物線的解析式；(2)在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在點(diǎn)C,使BOC勺周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn) C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如果點(diǎn)P是該拋物線上x(chóng)軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么4PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及4PAB 的最大面積；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.(注意：本題中的結(jié)果均保留根號(hào))考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.

9、分析：(1)直接將A、Q B三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式的一般式，可求解析式；(2)因?yàn)辄c(diǎn)A, O關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，連接 AB交對(duì)稱(chēng)軸于C點(diǎn)，C點(diǎn)即為所求，求直線 AB的解析式，再根 據(jù)C點(diǎn)的橫坐標(biāo)值，求縱坐標(biāo)；(3)設(shè)P (x, y) (- 2Vxv 0, yv 0),用割補(bǔ)法可表示 4PAB的面積，根據(jù)面積表達(dá)式再求取最大值時(shí)， x的值.解答： 解：(1)將 A (-2, 0), B (1,-灰)，O (0, 0)三點(diǎn)的坐標(biāo)代入 y=ax2+bx+c (a 加)，2b+c=0可得：f _Vsa" 3b 二 一 的 3,CO故所求拋物線解析式為y= -x23(2)存在.理由如下：如答圖所

10、示，: y= - 2jjx2 - Rx= -(x+1)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為點(diǎn)C在對(duì)稱(chēng)軸x=-1 上，BOC勺周長(zhǎng)=OB+BC+CO.OB=2,要使BOC勺周長(zhǎng)最小，必須 點(diǎn)。與點(diǎn)A關(guān)于直線x=- 1對(duì)稱(chēng)，有 BOC勺周長(zhǎng)=OB+BC+CO=OB+BC+CA 當(dāng)A C、B三點(diǎn)共線，即點(diǎn)C為直線 小.設(shè)直線AB的解析式為y=kx+t ,則有：BC+CCft 小,CO=CAAB與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)時(shí)，BC+CAt小，此時(shí)BOC勺周長(zhǎng)最 2k+t=0. /口，解得：，V3直線AB的解析式為y=當(dāng) x= 1 時(shí)，y= -,3所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,(3)設(shè) P (x, y) (- 2vxv 0, y<

11、;0),則y=-亞x2-1x a如答圖 所示，過(guò)點(diǎn)P作PQL y軸于點(diǎn)Q, PGLx軸于點(diǎn) G過(guò)點(diǎn)A作AH PQ軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)B作B已PQ軸于點(diǎn) E,則 PQ=- x, PG=- y,由題意可得： S/xPA=S 梯形 AFEB S/x AFP S/ BEP(AF+BE ?FE-工AF?FP-PE?BE222T (1 - x) (6+y) 2=-i (y+V+y) (1+2) - -y? (2+x)22X+如將代入得：S八 PA= (x=-0（x+l） 2+2228當(dāng)x=-時(shí)，4PAB的面積最大，最大值為 "向,28此時(shí)y= 1*1+ 2立=!,3 4 3 2 4.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1

12、, 烏2 4智圖答圖類(lèi)型二、探索三角形的存在性。例1、（2013?綿陽(yáng)）如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn) C的坐標(biāo)為（0, -2）,交x軸于A B兩點(diǎn)，其中 A （ - 1, 0）,直線 l : x=m （m> 1）與 x 軸交于 D.（1）求二次函數(shù)的解析式和B的坐標(biāo)；（2）在直線l上找點(diǎn)P （P在第一象限），使得以P、D B為頂點(diǎn)的三角形與以 B、C。為頂點(diǎn)的三角形相似， 求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在（2）成立的條件下，在拋物線上是否存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q使BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn)：

13、二次函數(shù)綜合題分析：(1)由于拋物線的頂點(diǎn) C的坐標(biāo)為(0, -2),所以拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為 y軸，且與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2,即b=0, c=- 2,再將A( - 1, 0)代入y=ax2+bx+c,求出a的值，由此確定該拋物線的解析式，然后令y=0,解一元二次方程求出 x的值即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m, n).由于/ PDB=Z BOC=90,則D與O對(duì)應(yīng)，所以當(dāng)以 P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、。為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，分兩種情況討論：4OC歆 DBF4OC歆 DPB根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，得出 n與m的關(guān)系式，進(jìn)而可得到點(diǎn) P的坐標(biāo)；(3)假設(shè)在拋物線上存在第一象

14、限內(nèi)的點(diǎn)CK x,2x2-2),使ABPO是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.過(guò)點(diǎn)Q作Qa l于點(diǎn)E.利用AAS易證ADB EPQ得出BD=PEDP=EQ再分兩種情況討論：P( m,q二2 )；2P (m, 2 (m- 1).都根據(jù)BD=PE DP=EM出方程組，求出 x與m的值，再結(jié)合條件 x>0且m> 1即 可判斷不存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q,使BPa是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.解答： 解：(1) ,拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C (0, -2), b=0, c= - 2;y=ax2+bx+c 過(guò)點(diǎn) A ( - 1, 0),.-0=a+0-2, a=2,拋物線的解析式為

15、 y=2x2- 2.當(dāng) y=0 時(shí)，2x2-2=0,解得x= 土 , .點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0);(2)設(shè) P (m, n). / PDB=/ BOC=90,當(dāng)以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以 B C、。為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，分兩種情況：Qg 0c若4OC歆4DBP則=,即=, n m- 1解得n=E二工.2由對(duì)稱(chēng)性可知，在 x軸上方和下方均有一點(diǎn)滿足條件，此時(shí)點(diǎn) P坐標(biāo)為(m, m J)或(明J)；若4OC中 DPEB則號(hào)=1，Dd DP即L=2, ni- 1 n解得 n=2m- 2.由對(duì)稱(chēng)性可知，在 x軸上方和下方均有一點(diǎn)滿足條件， ，此時(shí)點(diǎn) P坐標(biāo)為（m, 2m- 2）或（m, 2 - 2n

16、rj）.綜上所述，滿足條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)為：（m,四二！），（m-E), ( m 2m- 2)或(m, 2 - 2mm .2（3）假設(shè)在拋物線上存在第一象限內(nèi)的點(diǎn) 如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QEL l于點(diǎn)E. / DBP吆 BPD=90, / QPE吆 BPD=90, / DBP4 QPE在4DBP與 EPQ中，（/BDP 二/PEQ = 90”Q（x, 2x2-2）,使ABPO是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形. ZDBP=ZEPtJ 用二PQ . DBP EPQBD=PE DP=EQ 分兩種情況： 當(dāng)P (m 坨1)- b (1, 0), d (m時(shí),0) , E (m, 2x2 - 2),m 1=2

17、xI二解得工戶式2-2押2=0（均不合題意舍去）當(dāng)p (m 2(m 1)時(shí), B (1, 0) , D (m 0) , E (m, 2x2 2),-2 - 2 (in- 1)5町二1P 二 1x22解得（均不合題意舍去）；綜上所述，不存在滿足條件的點(diǎn) Q.類(lèi)型三(2013?巴中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為 O A點(diǎn)坐標(biāo)為(4, 0), B點(diǎn)坐標(biāo)為(-1, 0),以AB 的中點(diǎn)P為圓心，AB為直徑作。P的正半軸交于點(diǎn) C.(1)求經(jīng)過(guò) A B、C三點(diǎn)的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)設(shè)M為(1)中拋物線的頂點(diǎn)，求直線 MC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；(3)試說(shuō)明直線 MCW。P的位置關(guān)系，并證明

18、你的結(jié)論. M考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；解二元一次方程組；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切線的判定.專(zhuān)題：計(jì)算題.分析：(1)求出半徑，根據(jù)勾股定理求出C的坐標(biāo)，設(shè)經(jīng)過(guò) A B、C三點(diǎn)拋物線解析式是 y=a (x-4) (x+1),把C (0, 2)代入求出a即可；(2)求出M的坐標(biāo)，設(shè)直線 MC寸應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是 y=kx+b,把C (0, 2), M(，/)代入得到方程組，2 S求出方程組的解即可；PC DC PD的平方，根據(jù)勾股定理的逆定理得出/PCD=90,即(3)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和勾股定理分別求出 可求出答案.解答:解：(1

19、)AB=5,. A (4, 0), B ( 1,，一 一 5半徑是 PC=PB=PA=, 20),.OP='2在CPO4由勾股定理得： OC=，CP灸-加2=2, .C (0, 2),設(shè)經(jīng)過(guò) A B、C三點(diǎn)拋物線解析式是 y=a (x-4) (x+1), 把 C (0, 2)代入得：2=a(0-4) (0+1),a=, 21. y= - -1 (x-4) (x+1) = - -1x2+-£x+2,22 2答：經(jīng)過(guò)A、曰C三點(diǎn)拋物線解析式是 y= - lx2+Jx+2 .2 2(2) y=-lx2+-x+2=-M (W, &)設(shè)直線MC寸應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是 y=kx+b ,

20、把C (0, 2) , M (圈,生)代入得:2 825 3_石瓦卜+2,b=2解得：k=3, b=2,4y=上x(chóng)+2,4y=.2x+2 .4答：直線MC寸應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是(3) MCW OP的位置關(guān)系是相切. 證明：設(shè)直線MC交x軸于D,當(dāng) y=0 時(shí)，0=-x+2,48 cc 3.x= 一 , OD=,33.D (- :, 0),3在ACO邛，由勾股定理得： CD2=22+ (-)3=-"=-",9 36PC2=.925 2252PD =-1)362361. c6+p6=p6,/ PCD=90, . PCX DC .PC為半徑， . MCIO P的位置關(guān)系是相切.針對(duì)訓(xùn)練

21、：1、)(2013?湘西州)如圖，已知拋物線 y=-1x2+bx+4與x軸相交于 A B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,若已知A點(diǎn) 4的坐標(biāo)為A ( - 2, 0).(1)求拋物線的解析式及它的對(duì)稱(chēng)軸方程；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)，連接 AC BC并求線段BC所在直線的解析式；(3)試判斷AOCfCOBl否相似？并說(shuō)明理由；(4)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q,使ACQJ等腰三角形？若不存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(5)、點(diǎn)M是拋物線上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BCM勺面積達(dá)到最大值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)及最大值？(6)、求ABAC的外接圓圓心 E點(diǎn)的坐標(biāo)？(7)、求證圓E與直線：y=3x/

22、4+4相切。在該直線上找一點(diǎn)F,使4BCF為直角三角形，求 F的坐標(biāo)？(8)、l是過(guò)點(diǎn)A且平行于BC的直線，在該直線上找一點(diǎn)D,使A,B,C,D所在的四邊形為平行四邊形，求 D的坐標(biāo)？(9)、將ABAC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ABA C',求點(diǎn)A和點(diǎn)C'的坐標(biāo)及線段 BC所掃過(guò)的區(qū)域的面積?(10)、在x軸上找一點(diǎn)G,使CFG勺周長(zhǎng)最小，求 G點(diǎn)坐標(biāo)及周長(zhǎng)最小值？求此時(shí) 4CFG的面積?(11)、在拋物線上找一點(diǎn) H,使4ABH的面積二4AOC勺面積.。求點(diǎn)H的坐標(biāo)?(、(13)、求拋物線關(guān)于直線：x=10,對(duì)稱(chēng)的拋物線的解析式？N是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與 A B

23、不重合)，分別連接接CN記4CNP勺面積為S, S是否存在最大值？若存在，求出 值及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.分析： (1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=-至求出對(duì)稱(chēng)軸方程；2a(2)在拋物線解析式中，令 x=0,可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；令y=0,可求出點(diǎn)B坐標(biāo).再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；(3)根據(jù) 空口，/AOC/BOG90。，可以判定 AO© COBOC-OB(4)本問(wèn)為存在型問(wèn)題.若 ACQ等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類(lèi)討論，逐一計(jì)算，避 免漏解.解答： 解：(1) ;拋物線y=-1x2+bx+4的圖象經(jīng)

24、過(guò)點(diǎn) A(- 2, 0),4- lx ( - 2) 2+bX ( - 2) +4=0,4解得：b=乜，2，拋物線解析式為 y= - lx2+.x+4,4 2Xy= - -x2+-x+4= - (x-3) 2+,4 244，對(duì)稱(chēng)軸方程為：x=3.(2)在 y=一1x2+"x+4 中，令 x=0,彳導(dǎo) y=4,C ( 0, 4);4 2人i'2 二一 一2人一，令 y=0,即x +x+4=0,整理得 x - 6x - 16=0,解得：x=8 或 x= 2,4 2A (- 2, 0), B (8, 0).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,把B (8, 0), C (0, 4)的坐標(biāo)

25、分別代入解析式，得：鬲b=0Lb=4解得 k= - -, b=4,2，直線BC的解析式為：y= - -x+4.2(3)可判定AOaACO城立.理由如下：在 AOCfCO即，. OA=2, O(=4, OB=8,空&oeoB,又 / AOCZ BOC90 , . AO» COB(4)二,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程為：x=3,可設(shè)點(diǎn)Q (3, t),則可求得：AG產(chǎn)收=2加，AQVs2 + t 2=725 +t2，,+9C0：.；，； i . = i . j i )當(dāng) ARCQ寸，有點(diǎn)5+t"=J (t - 4 ) 2+9,一 2225+t =t - 8t+16+9,解得t=0,，Q (3, 0);ii )當(dāng) ACAQ時(shí)，有如5+?=2%，t2=-5,此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，此時(shí)ACQT能構(gòu)成等腰三角形；iii )當(dāng) AC=CQ寸，有J (t - 4 )，+9= 2泥，整理得：t2-8t+5=0,解得：t =4 ±V'H,點(diǎn) Q坐標(biāo)為：Q (3, 4+-/H), Q3 (3, 4VH).綜上所述，存在點(diǎn)Q使ACCM；等腰三角形，點(diǎn)