第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用應(yīng)用數(shù)學(xué)精品課程教案第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié) 中值定理教學(xué)目標(biāo)：1了解羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理；2掌握中值定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)：羅爾(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理教學(xué)難點(diǎn)：中值定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用共2學(xué)時(shí)一、 拉格朗日中值定理定理1（羅爾中值定理）：設(shè)函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）。則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得（）。定理2（拉格朗日中值定理）：設(shè)函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，拉格朗日中值定理的意義：由， 得，即曲線上至少有一點(diǎn)M處的切線的斜率與過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜

2、率相同。函數(shù)在區(qū)間上的增量可用區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與區(qū)間長(zhǎng)度的乘積表示。例1、 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是否否滿足拉格朗日中值定理的條件？若滿足，求適合定理的值。解：因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，在區(qū)間上連續(xù)，且在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且所以函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件。由拉格朗日中值定理得， 即 ， 解得推論：在區(qū)間I內(nèi)，若，則證明：任取，不妨設(shè)，則函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理的條件，則至少存在一點(diǎn)，使得 由于，故所以 ，即 。這說(shuō)明在內(nèi)的任意兩點(diǎn)的函數(shù)值相等，所以在區(qū)間內(nèi)是一個(gè)常數(shù)。第二節(jié) 洛必達(dá)法則教學(xué)目標(biāo)：1.掌握洛必塔法則； 2.會(huì)運(yùn)用洛必塔法則求不定式的極限；3.了解運(yùn)用洛必塔法則可化為不定式的極限

3、0;教學(xué)重點(diǎn)：洛必塔(LHospilal)法則  教學(xué)難點(diǎn)：洛必塔(LHospilal)法則的應(yīng)用；未定式極限共4學(xué)時(shí)定理1、設(shè)函數(shù)、滿足：（1）、，；（2）、在的某去心鄰域內(nèi)，與存在，且；（3）、存在或?yàn)闊o(wú)窮大，則 。證明從略。定理1的意義：時(shí)，未定式型在符合定理?xiàng)l件下，可以通過(guò)分子、分母分別求導(dǎo)后再求極限，這種確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則。例1、 求例2、 求.例3、 求例4、 求解： =即：在使用洛必達(dá)法則時(shí)，若還是型未定式，且函數(shù)與仍滿足洛必達(dá)法則的條件，則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則：=。例5、 求；二、型未定式的極限定理2、設(shè)函數(shù)、滿足：（1）、，；（2）、在的某

4、去心鄰域內(nèi)，與存在，且；（3）、存在或?yàn)闊o(wú)窮大，則 。對(duì)于有類似的結(jié)論。例6、求下列極限（1）、求（2）；（2）、；（3）、（，n為正整數(shù)）；三、其它未定式的極限對(duì)于等未定式，可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃螌⑺鼈兿绒D(zhuǎn)化為型或型的未定式，再用洛必達(dá)法則計(jì)算。例7、求下列極限（1）（n>0）；（2）；（3）；注意：定理中的條件對(duì)于結(jié)論來(lái)講是充分的，即若存在，則存在，而當(dāng)不存在時(shí)則未必不存在。這時(shí)洛必達(dá)法則失效，改用其它方法求極限。對(duì)于有相應(yīng)的洛必達(dá)法則。例3求；例4；作業(yè)：P103T（1）（4），T3（1）（2），T4。第三節(jié) 函數(shù)的極植與最大值、最小值 教學(xué)目標(biāo)： 1了理解函數(shù)的極值概念；2

5、. 掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的方法；3掌握較簡(jiǎn)單的最大值和最小值的應(yīng)用問(wèn)題的求解教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值教學(xué)難點(diǎn)：簡(jiǎn)單的最大值和最小值的應(yīng)用問(wèn)題函數(shù)的極值及其求法共4學(xué)時(shí)一 函數(shù)的單調(diào)性的判定定理1（函數(shù)單調(diào)性的判定定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，（1） 如果在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)增加；（2） 如果在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)減少。證明：任取，不妨設(shè)，則函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理的條件,則有 若在內(nèi)，則，且，于是 ，即 。這就是說(shuō)，在上單調(diào)增加。同理，若在內(nèi)，則，于是，即 。這就是說(shuō)，在上單調(diào)減少。注：若將定理中的閉區(qū)間換成開區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間，判定定理的結(jié)論仍然成

6、立。例2、 判別函數(shù)的單調(diào)性。解：因?yàn)?，且只有?dāng)時(shí)，所以函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)增加的。由例2知：當(dāng)在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零，其余各點(diǎn)處均為正（負(fù)）時(shí)，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)仍為單調(diào)增加（減少）的。例3、 討論函數(shù)的單調(diào)性。例4、 討論函數(shù)的單調(diào)性。解：函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，但當(dāng)時(shí)不存在。在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)減少；內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加。由此可見(jiàn)，導(dǎo)數(shù)不存在 的點(diǎn)也可能是函數(shù)增減區(qū)間的分界點(diǎn)。結(jié)論：討論連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，先求也使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，用這些點(diǎn)將定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，然后在每個(gè)區(qū)間上根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性。二、函數(shù)的極值定義1、函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)于

7、該鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)，均有，則稱是的一個(gè)極大值，稱為函數(shù)的極大值點(diǎn)；若對(duì)該鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)，均有，則稱是的一個(gè)極小值，稱為函數(shù)的極小值點(diǎn)。函數(shù)的極大值與極小值勤統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。定理1、（極值的必要條件）設(shè)在點(diǎn)處具有導(dǎo)數(shù)，且在處取得極值，那么定理1證明從略。導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，稱為駐點(diǎn)。定理2、（極值的第一充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，那么，在此鄰域內(nèi)有：（1） 若當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在處取得極大值；（2） 若當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在處取得極小值；（3） 若當(dāng)時(shí)的符號(hào)符號(hào)保持不變，則在處沒(méi)有極值。即：當(dāng)在的鄰近漸增地經(jīng)過(guò)時(shí)，如果的符號(hào)由正變負(fù)，那么在處取得極大值；如果的符號(hào)由負(fù)變正

8、，那么在處取得極小值；如果的符號(hào)并不改變，那么在處沒(méi)有極值。例1、求函數(shù)的極值。解：函數(shù)的定義域?yàn)?，令，即，解得駐點(diǎn)用把定義域分成三個(gè)部分區(qū)間，列表討論如下：所以，函數(shù)的極大值為 函數(shù)的極小值為 13+00+極大值極小值例2、求的極值。解：函數(shù)的定義域?yàn)?，令解得駐點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)把定義域分成三個(gè)部分區(qū)間，。+不存在+極大值極小值列表討論如下：所以，函數(shù)的極大值為 函數(shù)的極小值為 。定理3、（極值的第二充分條件）設(shè)在處有二階導(dǎo)數(shù)，且則（1）、當(dāng)時(shí)，為極大值；（2）、當(dāng)時(shí)，為極小值。例3、求函數(shù)的極值。解：，令，得駐點(diǎn) ， ，沒(méi)有不可導(dǎo)點(diǎn)，因此，可用第二充分條件判斷， 所以，函數(shù)的極大值為

9、函數(shù)的極小值為 求函數(shù)極值的步驟：（1）、求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)；（2）、求出的駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)；（3）、考察的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)的左、右鄰近的情形，用第一充分條件判定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn)及極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)；或用第二充分條件判定駐點(diǎn)是哪種極值點(diǎn)。（4）、求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值，就得函數(shù)的全部極值。三、函數(shù)的最值極值是一個(gè)發(fā)展局部部概念，是與極值點(diǎn)鄰近的所有點(diǎn)的函數(shù)值相比而言的，而最大值、最小值是一個(gè)整體概念，是函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上全部數(shù)值中的最大者、最小者。下面分別就兩種情況討論最大值、最小值的存在性及求法：（1）、為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理知，在上存在最大值與最小值。又由函數(shù)極值

10、的討論，的最大值、最小值只能在區(qū)間端點(diǎn)、駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)處取得。因此，只須將上述特殊點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大者就是在上的最大值（記作），最小者就是在上的最小孩子值（記作）。例1、求在區(qū)間上的最大值與最小值。解：，令，得駐點(diǎn)，其函數(shù)值為 區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值為 ，。故函數(shù)在上最大值最小值。（2）、函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，并且是函數(shù)的極值點(diǎn)，那么，當(dāng)是極大值時(shí)，也是在內(nèi)的最大值；當(dāng)是極小值時(shí)，也是在內(nèi)的最小值。例5 設(shè)有一塊邊長(zhǎng)為的正方形鐵皮，從四個(gè)角截去同樣大小的正方形小方塊，做成一個(gè)無(wú)蓋的方盒子，小方塊的邊長(zhǎng)為多少才能使盒子容積最大？解：設(shè)小塊的邊長(zhǎng)為，則方盒的底邊長(zhǎng)為方盒容積 ， ， 令，得函

11、數(shù)有內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，又 ， 所以是函數(shù)在內(nèi)的唯一極大值點(diǎn)，故當(dāng)剪去的小方塊的邊長(zhǎng)為時(shí)，盒子的容積最大。作業(yè)第四節(jié) 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)：1了解凹凸性和拐點(diǎn)的概念2掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性和拐點(diǎn)的方法 3初步掌握描繪較簡(jiǎn)單的函數(shù)的圖形(包括水平和鉛直漸近線)教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性和拐點(diǎn)；描繪函數(shù)的圖形(包括水平和鉛直漸近線)教學(xué)難點(diǎn)：描繪函數(shù)的圖形(包括水平和鉛直漸近線)共4學(xué)時(shí)一、 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)定義：設(shè)曲線在內(nèi)各點(diǎn)都有切線，如果曲線上每一點(diǎn)處的切線都在它的下方，則稱曲線在內(nèi)是凹的，也稱為曲線的凹區(qū)間；如果曲線上每一點(diǎn)處的切線都在它的上方，則稱曲線在內(nèi)是凸的，也

12、稱為曲線的凸區(qū)間。如何判定曲線的凹凸呢？定理 設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，那么：（1） 如果在內(nèi)，則曲線在內(nèi)是凹的；（2） 如果在內(nèi)，則曲線在內(nèi)是凸的。例1、 討論曲線的凹凸性。解 函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，曲線在區(qū)間內(nèi)是凸的；當(dāng)時(shí)，曲線在區(qū)間內(nèi)是凹的。當(dāng)時(shí)，時(shí)，且點(diǎn)是曲線上由凹變凸的分界點(diǎn)。例2、 求曲線的凹凸區(qū)間。解 函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，當(dāng)時(shí)， ，所以，當(dāng)時(shí)，為函數(shù)的凹區(qū)間；當(dāng)時(shí)，為函數(shù)的凸區(qū)間。顯然，是不存在的點(diǎn)，且點(diǎn)是曲線上由凹變凸的分界點(diǎn)。一般地，連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。曲線拐點(diǎn)求法步驟：(1)、確定函數(shù)的定義域，并求；(2)、求出和的不存在的點(diǎn)，設(shè)它們?yōu)?3)、對(duì)于步

13、驟（2）中求出的每一個(gè)點(diǎn)考察在兩側(cè)近旁是否變號(hào)，如果變號(hào)，則點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)。例3、求函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。解 （1）函數(shù)的定義域?yàn)?；?），令（3） 列表考察的符號(hào)：（4） 由表討論可知，函數(shù)在內(nèi)是凹的。在是凸的，曲線的拐點(diǎn)為，+_+凹拐點(diǎn)凸拐點(diǎn)凹二、 簡(jiǎn)單的函數(shù)作圖舉例曲線的漸近線如果，則稱直線為曲線的水平漸近線；如果，則稱直線為曲線的鉛直漸近線。描繪函數(shù)的一般步驟：（1） 確定函數(shù)的定義域，并考察函數(shù)的奇偶性與周期性；（2） 求出方程 ，在函數(shù)定義域內(nèi)的全部實(shí)根，以及，不存在的點(diǎn)，記為并將由小到大排列，將定義域劃分為若干小區(qū)間；（3） 確定在這些區(qū)間內(nèi)和的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性

14、、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)；（4） 考察曲線的漸近線及其它變化趨勢(shì)；（5） 由曲線的方程計(jì)算出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，如極值點(diǎn)和極值、拐點(diǎn)，圖形與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，有時(shí)還需取某些輔助點(diǎn)，然后綜合上述討論的結(jié)果畫出函數(shù)的圖形。例4 作函數(shù)的圖形。作業(yè)： 習(xí)題課基本內(nèi)容一、 中值定理1、 羅爾定理：如果（1）、（2）、（3），則2、 拉格朗日中值定理：如果（1）、（2），則使二、 洛必達(dá)法則 “”型未定式的極限、“”型未定式的極限：如果（1）、（2）、（3），則。應(yīng)用時(shí)注意：對(duì)于類似的洛必達(dá)法則。如果仍是或型的未定式，只要滿足洛必達(dá)法則的條件，可重復(fù)使用洛必達(dá)法則，多次使用洛必達(dá)法則時(shí)應(yīng)及時(shí)化簡(jiǎn)，使得運(yùn)算簡(jiǎn)單。對(duì)于對(duì)

15、于等未定式，將它們先轉(zhuǎn)化為型或型的未定式，再用洛必達(dá)法則計(jì)算。如果不存在，只是不能用洛必達(dá)法則求此極限，而不能斷言此極限不存在，而應(yīng)改用其它方法求此極限。三、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性態(tài)的應(yīng)用1、函數(shù)的單調(diào)性的判定；2、函數(shù)的極值、極值點(diǎn)的概念，極值的必要條件、駐點(diǎn)，極值的第一、二充分條件。初等函數(shù)極值的求法步驟：求出導(dǎo)數(shù)；求出的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)；根據(jù)極值的第一充分條件或第二充分條件對(duì)上述各點(diǎn)逐個(gè)進(jìn)行判斷；求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值，即為極值；函數(shù)的最值求法：（1）如果函數(shù)在上連續(xù)，求出駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，將它們進(jìn)行比較，其最大者為在上的最大值，其最小者為在上的最小值。（2）如果函數(shù)在內(nèi)連續(xù)且

16、只有一個(gè)駐點(diǎn)，當(dāng)是函數(shù)的極大值時(shí)，也是在內(nèi)的最大值，當(dāng)是函數(shù)的極小值時(shí)，也是在內(nèi)的最小值。3、 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)的概念，凹凸性的判定定理：時(shí)曲線是凹的，時(shí)曲線是凸的。拐點(diǎn)的判定方法：或處不存在，在兩側(cè)近旁異號(hào)，則點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，在兩側(cè)近旁同號(hào)，則點(diǎn)不是曲線的拐點(diǎn)。4、 函數(shù)作圖：函數(shù)作圖的五個(gè)步驟：（1）確定的定義域，考察函數(shù)的奇偶性與周期性；（2）求出方程 ，在函數(shù)定義域內(nèi)的全部實(shí)根，以及，不存在的點(diǎn)，記為并將由小到大排列，將定義域劃分為若干小區(qū)間；（3）確定在這些區(qū)間內(nèi)和的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)；（4）考察曲線的漸近線及其它變化趨勢(shì)；（5）由曲線的方程計(jì)算出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，如極值點(diǎn)和極值、拐點(diǎn)，圖形與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，有時(shí)還需取某些輔助點(diǎn)，然后綜合上述討論的結(jié)果畫出函數(shù)的圖形。例題、習(xí)題選講：例1、 驗(yàn)證拉格朗日中值定理對(duì)于函數(shù)在區(qū)間上的正確性。例2、 證明：若在區(qū)間內(nèi)有，則（C為常數(shù)）。例3、 求例4、 驗(yàn)證極限存在，但不能用洛