第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用_第1頁(yè)
第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用_第2頁(yè)
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1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用應(yīng)用數(shù)學(xué)精品課程教案第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié) 中值定理教學(xué)目標(biāo):1了解羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理;2掌握中值定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn):羅爾(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理教學(xué)難點(diǎn):中值定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用共2學(xué)時(shí)一、 拉格朗日中值定理定理1(羅爾中值定理):設(shè)函數(shù)滿足:(1)在閉區(qū)間上連續(xù);(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);(3)。則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得()。定理2(拉格朗日中值定理):設(shè)函數(shù)滿足:(1)在閉區(qū)間上連續(xù);(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得,拉格朗日中值定理的意義:由, 得,即曲線上至少有一點(diǎn)M處的切線的斜率與過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜

2、率相同。函數(shù)在區(qū)間上的增量可用區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與區(qū)間長(zhǎng)度的乘積表示。例1、 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是否否滿足拉格朗日中值定理的條件?若滿足,求適合定理的值。解:因?yàn)槭浅醯群瘮?shù),在區(qū)間上連續(xù),且在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且所以函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件。由拉格朗日中值定理得, 即 , 解得推論:在區(qū)間I內(nèi),若,則證明:任取,不妨設(shè),則函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理的條件,則至少存在一點(diǎn),使得 由于,故所以 ,即 。這說(shuō)明在內(nèi)的任意兩點(diǎn)的函數(shù)值相等,所以在區(qū)間內(nèi)是一個(gè)常數(shù)。第二節(jié) 洛必達(dá)法則教學(xué)目標(biāo):1.掌握洛必塔法則; 2.會(huì)運(yùn)用洛必塔法則求不定式的極限;3.了解運(yùn)用洛必塔法則可化為不定式的極限

3、0;教學(xué)重點(diǎn):洛必塔(LHospilal)法則  教學(xué)難點(diǎn):洛必塔(LHospilal)法則的應(yīng)用;未定式極限共4學(xué)時(shí)定理1、設(shè)函數(shù)、滿足:(1)、,;(2)、在的某去心鄰域內(nèi),與存在,且;(3)、存在或?yàn)闊o(wú)窮大,則 。證明從略。定理1的意義:時(shí),未定式型在符合定理?xiàng)l件下,可以通過(guò)分子、分母分別求導(dǎo)后再求極限,這種確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則。例1、 求例2、 求.例3、 求例4、 求解: =即:在使用洛必達(dá)法則時(shí),若還是型未定式,且函數(shù)與仍滿足洛必達(dá)法則的條件,則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則:=。例5、 求;二、型未定式的極限定理2、設(shè)函數(shù)、滿足:(1)、,;(2)、在的某

4、去心鄰域內(nèi),與存在,且;(3)、存在或?yàn)闊o(wú)窮大,則 。對(duì)于有類似的結(jié)論。例6、求下列極限(1)、求(2);(2)、;(3)、(,n為正整數(shù));三、其它未定式的極限對(duì)于等未定式,可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃螌⑺鼈兿绒D(zhuǎn)化為型或型的未定式,再用洛必達(dá)法則計(jì)算。例7、求下列極限(1)(n>0);(2);(3);注意:定理中的條件對(duì)于結(jié)論來(lái)講是充分的,即若存在,則存在,而當(dāng)不存在時(shí)則未必不存在。這時(shí)洛必達(dá)法則失效,改用其它方法求極限。對(duì)于有相應(yīng)的洛必達(dá)法則。例3求;例4;作業(yè):P103T(1)(4),T3(1)(2),T4。第三節(jié) 函數(shù)的極植與最大值、最小值 教學(xué)目標(biāo): 1了理解函數(shù)的極值概念;2

5、. 掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的方法;3掌握較簡(jiǎn)單的最大值和最小值的應(yīng)用問(wèn)題的求解教學(xué)重點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值教學(xué)難點(diǎn):簡(jiǎn)單的最大值和最小值的應(yīng)用問(wèn)題函數(shù)的極值及其求法共4學(xué)時(shí)一 函數(shù)的單調(diào)性的判定定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定定理)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),(1) 如果在內(nèi),則函數(shù)在上單調(diào)增加;(2) 如果在內(nèi),則函數(shù)在上單調(diào)減少。證明:任取,不妨設(shè),則函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理的條件,則有 若在內(nèi),則,且,于是 ,即 。這就是說(shuō),在上單調(diào)增加。同理,若在內(nèi),則,于是,即 。這就是說(shuō),在上單調(diào)減少。注:若將定理中的閉區(qū)間換成開區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間,判定定理的結(jié)論仍然成

6、立。例2、 判別函數(shù)的單調(diào)性。解:因?yàn)?,且只有?dāng)時(shí),所以函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)增加的。由例2知:當(dāng)在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零,其余各點(diǎn)處均為正(負(fù))時(shí),函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)仍為單調(diào)增加(減少)的。例3、 討論函數(shù)的單調(diào)性。例4、 討論函數(shù)的單調(diào)性。解:函數(shù)在內(nèi)連續(xù),當(dāng)時(shí),沒(méi)有使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn),但當(dāng)時(shí)不存在。在內(nèi),函數(shù)單調(diào)減少;內(nèi),函數(shù)單調(diào)增加。由此可見(jiàn),導(dǎo)數(shù)不存在 的點(diǎn)也可能是函數(shù)增減區(qū)間的分界點(diǎn)。結(jié)論:討論連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí),先求也使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),用這些點(diǎn)將定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間,然后在每個(gè)區(qū)間上根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性。二、函數(shù)的極值定義1、函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,若對(duì)于

7、該鄰域內(nèi)的任一點(diǎn),均有,則稱是的一個(gè)極大值,稱為函數(shù)的極大值點(diǎn);若對(duì)該鄰域內(nèi)的任一點(diǎn),均有,則稱是的一個(gè)極小值,稱為函數(shù)的極小值點(diǎn)。函數(shù)的極大值與極小值勤統(tǒng)稱為極值,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。定理1、(極值的必要條件)設(shè)在點(diǎn)處具有導(dǎo)數(shù),且在處取得極值,那么定理1證明從略。導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),稱為駐點(diǎn)。定理2、(極值的第一充分條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo),且,那么,在此鄰域內(nèi)有:(1) 若當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),則在處取得極大值;(2) 若當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),則在處取得極小值;(3) 若當(dāng)時(shí)的符號(hào)符號(hào)保持不變,則在處沒(méi)有極值。即:當(dāng)在的鄰近漸增地經(jīng)過(guò)時(shí),如果的符號(hào)由正變負(fù),那么在處取得極大值;如果的符號(hào)由負(fù)變正

8、,那么在處取得極小值;如果的符號(hào)并不改變,那么在處沒(méi)有極值。例1、求函數(shù)的極值。解:函數(shù)的定義域?yàn)?,令,即,解得駐點(diǎn)用把定義域分成三個(gè)部分區(qū)間,列表討論如下:所以,函數(shù)的極大值為 函數(shù)的極小值為 13+00+極大值極小值例2、求的極值。解:函數(shù)的定義域?yàn)?,令解得駐點(diǎn),不可導(dǎo)點(diǎn),這兩個(gè)點(diǎn)把定義域分成三個(gè)部分區(qū)間,。+不存在+極大值極小值列表討論如下:所以,函數(shù)的極大值為 函數(shù)的極小值為 。定理3、(極值的第二充分條件)設(shè)在處有二階導(dǎo)數(shù),且則(1)、當(dāng)時(shí),為極大值;(2)、當(dāng)時(shí),為極小值。例3、求函數(shù)的極值。解:,令,得駐點(diǎn) , ,沒(méi)有不可導(dǎo)點(diǎn),因此,可用第二充分條件判斷, 所以,函數(shù)的極大值為

9、函數(shù)的極小值為 求函數(shù)極值的步驟:(1)、求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù);(2)、求出的駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn);(3)、考察的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)的左、右鄰近的情形,用第一充分條件判定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn)及極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn);或用第二充分條件判定駐點(diǎn)是哪種極值點(diǎn)。(4)、求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值,就得函數(shù)的全部極值。三、函數(shù)的最值極值是一個(gè)發(fā)展局部部概念,是與極值點(diǎn)鄰近的所有點(diǎn)的函數(shù)值相比而言的,而最大值、最小值是一個(gè)整體概念,是函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上全部數(shù)值中的最大者、最小者。下面分別就兩種情況討論最大值、最小值的存在性及求法:(1)、為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理知,在上存在最大值與最小值。又由函數(shù)極值

10、的討論,的最大值、最小值只能在區(qū)間端點(diǎn)、駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)處取得。因此,只須將上述特殊點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較,其中最大者就是在上的最大值(記作),最小者就是在上的最小孩子值(記作)。例1、求在區(qū)間上的最大值與最小值。解:,令,得駐點(diǎn),其函數(shù)值為 區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值為 ,。故函數(shù)在上最大值最小值。(2)、函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),并且是函數(shù)的極值點(diǎn),那么,當(dāng)是極大值時(shí),也是在內(nèi)的最大值;當(dāng)是極小值時(shí),也是在內(nèi)的最小值。例5 設(shè)有一塊邊長(zhǎng)為的正方形鐵皮,從四個(gè)角截去同樣大小的正方形小方塊,做成一個(gè)無(wú)蓋的方盒子,小方塊的邊長(zhǎng)為多少才能使盒子容積最大?解:設(shè)小塊的邊長(zhǎng)為,則方盒的底邊長(zhǎng)為方盒容積 , , 令,得函

11、數(shù)有內(nèi)的唯一駐點(diǎn),又 , 所以是函數(shù)在內(nèi)的唯一極大值點(diǎn),故當(dāng)剪去的小方塊的邊長(zhǎng)為時(shí),盒子的容積最大。作業(yè)第四節(jié) 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)教學(xué)目標(biāo):1了解凹凸性和拐點(diǎn)的概念2掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性和拐點(diǎn)的方法 3初步掌握描繪較簡(jiǎn)單的函數(shù)的圖形(包括水平和鉛直漸近線)教學(xué)重點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性和拐點(diǎn);描繪函數(shù)的圖形(包括水平和鉛直漸近線)教學(xué)難點(diǎn):描繪函數(shù)的圖形(包括水平和鉛直漸近線)共4學(xué)時(shí)一、 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)定義:設(shè)曲線在內(nèi)各點(diǎn)都有切線,如果曲線上每一點(diǎn)處的切線都在它的下方,則稱曲線在內(nèi)是凹的,也稱為曲線的凹區(qū)間;如果曲線上每一點(diǎn)處的切線都在它的上方,則稱曲線在內(nèi)是凸的,也

12、稱為曲線的凸區(qū)間。如何判定曲線的凹凸呢?定理 設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),那么:(1) 如果在內(nèi),則曲線在內(nèi)是凹的;(2) 如果在內(nèi),則曲線在內(nèi)是凸的。例1、 討論曲線的凹凸性。解 函數(shù)的定義域?yàn)?,?dāng)時(shí),曲線在區(qū)間內(nèi)是凸的;當(dāng)時(shí),曲線在區(qū)間內(nèi)是凹的。當(dāng)時(shí),時(shí),且點(diǎn)是曲線上由凹變凸的分界點(diǎn)。例2、 求曲線的凹凸區(qū)間。解 函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),當(dāng)時(shí), ,所以,當(dāng)時(shí),為函數(shù)的凹區(qū)間;當(dāng)時(shí),為函數(shù)的凸區(qū)間。顯然,是不存在的點(diǎn),且點(diǎn)是曲線上由凹變凸的分界點(diǎn)。一般地,連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。曲線拐點(diǎn)求法步驟:(1)、確定函數(shù)的定義域,并求;(2)、求出和的不存在的點(diǎn),設(shè)它們?yōu)?3)、對(duì)于步

13、驟(2)中求出的每一個(gè)點(diǎn)考察在兩側(cè)近旁是否變號(hào),如果變號(hào),則點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)。例3、求函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?;?),令(3) 列表考察的符號(hào):(4) 由表討論可知,函數(shù)在內(nèi)是凹的。在是凸的,曲線的拐點(diǎn)為,+_+凹拐點(diǎn)凸拐點(diǎn)凹二、 簡(jiǎn)單的函數(shù)作圖舉例曲線的漸近線如果,則稱直線為曲線的水平漸近線;如果,則稱直線為曲線的鉛直漸近線。描繪函數(shù)的一般步驟:(1) 確定函數(shù)的定義域,并考察函數(shù)的奇偶性與周期性;(2) 求出方程 ,在函數(shù)定義域內(nèi)的全部實(shí)根,以及,不存在的點(diǎn),記為并將由小到大排列,將定義域劃分為若干小區(qū)間;(3) 確定在這些區(qū)間內(nèi)和的符號(hào),從而確定函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性

14、、極值點(diǎn)、拐點(diǎn);(4) 考察曲線的漸近線及其它變化趨勢(shì);(5) 由曲線的方程計(jì)算出一些點(diǎn)的坐標(biāo),如極值點(diǎn)和極值、拐點(diǎn),圖形與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo),有時(shí)還需取某些輔助點(diǎn),然后綜合上述討論的結(jié)果畫出函數(shù)的圖形。例4 作函數(shù)的圖形。作業(yè): 習(xí)題課基本內(nèi)容一、 中值定理1、 羅爾定理:如果(1)、(2)、(3),則2、 拉格朗日中值定理:如果(1)、(2),則使二、 洛必達(dá)法則 “”型未定式的極限、“”型未定式的極限:如果(1)、(2)、(3),則。應(yīng)用時(shí)注意:對(duì)于類似的洛必達(dá)法則。如果仍是或型的未定式,只要滿足洛必達(dá)法則的條件,可重復(fù)使用洛必達(dá)法則,多次使用洛必達(dá)法則時(shí)應(yīng)及時(shí)化簡(jiǎn),使得運(yùn)算簡(jiǎn)單。對(duì)于對(duì)

15、于等未定式,將它們先轉(zhuǎn)化為型或型的未定式,再用洛必達(dá)法則計(jì)算。如果不存在,只是不能用洛必達(dá)法則求此極限,而不能斷言此極限不存在,而應(yīng)改用其它方法求此極限。三、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性態(tài)的應(yīng)用1、函數(shù)的單調(diào)性的判定;2、函數(shù)的極值、極值點(diǎn)的概念,極值的必要條件、駐點(diǎn),極值的第一、二充分條件。初等函數(shù)極值的求法步驟:求出導(dǎo)數(shù);求出的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn);根據(jù)極值的第一充分條件或第二充分條件對(duì)上述各點(diǎn)逐個(gè)進(jìn)行判斷;求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值,即為極值;函數(shù)的最值求法:(1)如果函數(shù)在上連續(xù),求出駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值,將它們進(jìn)行比較,其最大者為在上的最大值,其最小者為在上的最小值。(2)如果函數(shù)在內(nèi)連續(xù)且

16、只有一個(gè)駐點(diǎn),當(dāng)是函數(shù)的極大值時(shí),也是在內(nèi)的最大值,當(dāng)是函數(shù)的極小值時(shí),也是在內(nèi)的最小值。3、 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)的概念,凹凸性的判定定理:時(shí)曲線是凹的,時(shí)曲線是凸的。拐點(diǎn)的判定方法:或處不存在,在兩側(cè)近旁異號(hào),則點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn),在兩側(cè)近旁同號(hào),則點(diǎn)不是曲線的拐點(diǎn)。4、 函數(shù)作圖:函數(shù)作圖的五個(gè)步驟:(1)確定的定義域,考察函數(shù)的奇偶性與周期性;(2)求出方程 ,在函數(shù)定義域內(nèi)的全部實(shí)根,以及,不存在的點(diǎn),記為并將由小到大排列,將定義域劃分為若干小區(qū)間;(3)確定在這些區(qū)間內(nèi)和的符號(hào),從而確定函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值點(diǎn)、拐點(diǎn);(4)考察曲線的漸近線及其它變化趨勢(shì);(5)由曲線的方程計(jì)算出一些點(diǎn)的坐標(biāo),如極值點(diǎn)和極值、拐點(diǎn),圖形與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo),有時(shí)還需取某些輔助點(diǎn),然后綜合上述討論的結(jié)果畫出函數(shù)的圖形。例題、習(xí)題選講:例1、 驗(yàn)證拉格朗日中值定理對(duì)于函數(shù)在區(qū)間上的正確性。例2、 證明:若在區(qū)間內(nèi)有,則(C為常數(shù))。例3、 求例4、 驗(yàn)證極限存在,但不能用洛

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