第三章常用數學模型及建模方法

1、第三章 常用數學模型及建模方法 3.1 量綱分析與輪廓模型一. 量與量綱1. 量及其度量10. 模型所涉及的主要是量不是數20. 量（物理量）可以分為： 基本量：基礎的，獨立的量: 長度、質量、時間、 導出量：由基本量通過自然規(guī)律導出的量: 速度、加速度、力、30. 量的度量體系 單位制：基本量及其度量單位40. 國際單位（SI）制 基 本 量 名稱 單位 符號 長度 L 米 m 質量 M 千克 kg 時間 T 秒 s 電流強度 I 安培 A 溫度 q 開爾文 K 光強 J 坎德拉 cd物質的量 N 摩爾 mol 導 出 量 名稱 單 位 符 號力 牛 頓 N（kgms-2） 能量 焦 耳 J

2、（kgm2s-2）功率 瓦 特 W（kgm2s-3） 頻率 赫 茲 Hz（s-1）壓強 帕斯卡 Pa（kgm-1s-2） 2. 量綱：10. 量綱：一個物理量Q一般都可以表示為基本量乘冪之積。稱這個乘冪之積的表達式 Q=La M b Tg Ih qd J x N z為該物理量對選定的這組基本量的量綱積或量綱表達式。a b g h d x z 稱為量綱指數。 例. 長度=L、質量=M、時間=T、面積=L2 體積=L3、 速度=LT-1, 加速度=LT-2、力=MLT-2, 能量=ML2T-2. 注 1. 物理量的量綱只依賴于基本量的選擇，獨立于單位的確定。 2. 對于某個物理量Q, 如果 Q=L

3、a M b Tg Ih qd J x N z，有a=b=g=h=d=x=z=0，則稱之為無量綱量，記為Q=1 。它將不依賴于選定的基本量。 3. 無量綱量不一定是無單位的量。20. 量綱齊次法則 一個物理規(guī)律的數學表達式中每一個加項的量綱必須是一致的，或者都是無量綱量。例如, 牛頓第二定律 F=ma, F=MLT-2, ma=MLT-2 滿足量綱齊次法則的物理規(guī)律與這個規(guī)律所涉及的物理量的量綱單位的選擇無關。二. 量綱分析量綱分析是在物理領域中建立數學模型的方法，利用物理量的量綱提供的信息，根據量綱齊次法則確定物理量之間的關系。 例1 建模描述單擺運動的周期 問題：質量為m的小球系在長度為 l

4、的線的一端, 鉛垂懸掛。小球稍稍偏離平衡位置后將在重力的作用下做往復的周期運動。分析小球擺動周期的規(guī)律。假設：1. 平面運動，忽略地球自轉； 2.忽略可能的磨擦力；3. 忽略空氣阻力； 4.忽略擺線的質量和變形. 分析建模 10. 列出有關的物理量 運動周期 t，擺線長 l，擺球質量 m，重力加速度 g，振幅 x. 20. 寫出量綱: t=T，l=L，m=M，g=LT-2，x=1. 30. 寫出規(guī)律: F(t, l, m, g, x)= 0. 40. 寫出規(guī)律中加項 p 的形式: p=t y1 l y2 m y3 g y4 xy5 50. 計算 p 的量綱: p = T y1 L y2 M y

5、3 （LT-2）y4= T y1-2y4 L y2 + y4 M y3 60. 應用量綱齊次原理: 由p = 1，可得關于yi （i 1, 2, , 5）的方程組 y1 2y4 = 0 y2 + y4 = 0 y3 = 0 y5 任意 70. 解方程組: 解空間的維數是二維。對自由變量（y4，y5）選取基底（1，0）和（0，1）。關于y1, y2, y3 求解方程組可得基礎解系(2, -1, 0, 1, 0)T, (0, 0, 0, 0, 1)T 80. 求p: 將方程的解代入加項 p 的表達式，可得 p1 = t2 l-1 g， p2 = x .90. 建模: 單擺運動的規(guī)律應為 f (p1

6、, p2) = 0，解出 p1 可得 p1 = k1(p2)，即有 . 100. 檢驗： 周期與 質量 m m=390g m=237gl = 276cm 3.327s 3.350sl = 226cm 3.058s 3.044s 周期與振幅 x (l=276cm, m=390g) x (度) 8.34 13.18 18.17 23.31 28.71 33.92 39.99 46.62k (x) 6.346 6.346 6.354 6.354 6.388 6.388 6.471 6.524 可見： 當 x < 150 時, k( x ) » 2 p。 k(x) 與 x 有關。 Bu

7、ckingham p 定理: 物理量的函數關系 F(x1, ¼,xk) = 0 是量綱齊次的, 當且僅當它可以表示成形式 f(p1, ¼, pm) = 0， 其中 ，i=1,2,m < k,為 xj 的無量綱乘積， 即 pi = 1. 在常微分方程(丁同仁、李承治編)書中，通過建立單擺方程 討論單擺運動規(guī)律，得到在初始條件： x (t0)= x0, dx/dt(t0)=0 下，單擺振動周期 T=T(x0)滿足規(guī)律, 當 x0®0 時，T(x0)® 2p(l/g)1/2 當 x0®p 時，T(x0 ) ® ¥。三. 量的

8、比例關系與輪廓模型1. 量的比例關系. 因為模型表達了不同量綱的量之間的轉換規(guī)律，又由量綱分析原理可知:不同量綱的量的乘冪之間一定存在比例關系。所以在同一模型中，若量 x1和 x2的量綱分別為 x1 = Xa 和 x2 = Xb ，則一定有 x1=k x2 a/ b 舉例例 1. 正立方體：棱長 l0=a，底面周長 l1 = 4a，底面對角線長，對角線長；表面積 S1 = 6a2，底面面積 S2 = a2， 對角面面積 ；體積 V1 = a3，四棱錐體積 V2 = a3/3結論：在簡單的幾何體中， 相應部位的面積與相應部位長度的平方呈正比；Si µ Lj2 即有Si = k1 Lj2

9、 相應部位的體積與相應部位長度的立方呈正比；Vi µ Lj3 即有Vi= k2Lj3 相應部位的體積與相應部位面積的3/2次方呈正比；Vi µ Sj3/2 即有Vi = k3Sj3/2。長方體：棱長 (a, b, c)，總棱長L1=4(a+b+c), 底面周長 L2=2(a+b),對角線長 表面積 S1=2(ab+bc+ca), 底面面積 S2= ab, 體積 V1=abc, 四棱錐體積 V2=1/3 abc.若長方體 II 有棱長(a*, b*, c*), 且a*/a = b*/b = c*/c = m.則有L1*= mL1, L2*=mL2, L3*= mL3; S1*

10、= m2S1, S2*= m2S2; V1*= m3V1, V2*= m3V2.于是可得Si*/Lk*2=Si/Lk2; Vi*/Lk*3=Vi/ Lk3; Vi*/Sk*3/2=Vi/Sk3/2.即得 S=k1L2, V=k2L3,V=k3S3/2.結論：在相似的幾何體中，相應部位的面積與相應部位長度的平方呈正比； Si µ Lj2，相應部位的體積與相應部位長度的立方呈正比； Vi µ Lj3相應部位的體積與相應部位面積的3/2次方呈正比；Vi µ Sj3/2。 同樣的結論對抽象幾何體一般也成立例2. 生活中的長度、面積和體積。10. 紐約黑鱸的體重W和體長L

11、W(ozs) 17 16 17 23 26 27 41 49 L(in) 12.50 12.63 12.63 14.13 14.50 14.50 17.25 17.75 L3 1953 2015 2015 2821 3049 3049 5133 5592 W/L3 .0087 .0079 .0084 .008 .0085 .0089 .008 .0088 黑鱸魚的體重與體長關系20. 人的體重W和身高LW(kg) 12 17 22 35 48 54 66 75L(cm) 86 108 116 135 155 167 178 185L3(103cm3) 636 1260 1560 2460 37

12、24 4657 5640 6332W/L3 .0189 .0135 .0141 .0142 .0129 .0116 .0117 .0118人的體重W和身高L關系30 蜥蜴的體長與體重 小蜥蜴體長15cm,體重為15g, 當它長到20cm長時體重為多少? (20g, 25g, 35g, 40g)以上的例子表明，不少的動物的體重w與體長l的立方呈正比, 即 wµ l3. 自然界中還存在其它情況。40 老虎的身長（不含頭尾）與體重注意到老虎身體的軀干明顯下垂。視老虎的軀干為長度為l，直徑為d，截面面積為s的圓柱體。設老虎體重為 w 。由彈性力學的研究結果知，動物在自身體重w作用下軀干的最大

13、下垂度 b µ wl3/(sd2)。 因為 w µ sl, 所以 b/l µ l3/d2. 稱 b/l為軀干的相對下垂度，它應視為與動物尺寸無關的常數。于是 l3 µ d2, 再考慮到 w µ sl, s µ d2, 結果得到 w µ l4. 2. 輪廓模型 直接利用不同量綱的量之間的比例關系所得到的模型稱之為輪廓模型。例3. 商品的包裝與成本 商 品 價格 含量 單價 價格 含量 單價高露潔牙膏 15.7元 190g 8.3元/100g 5.8元 60g 9.7元/100g詩芬洗發(fā)液 35.9元 400ml 9元/100m

14、l 23.1元 200ml 11.5元/100ml富麗餅干 8.8元 450g 1.9元/100g 3.0元 150g 2元/100g奇寶餅 5.9元 250g 2.3元/100g 4.3元 150g 2.87元/100g建模分析為什么小包裝的商品比大包裝的要貴一些?假設: 10.包裝只計裝包工時和包裝材料。 20.不同規(guī)格的商品包裝外觀相似，包裝材料相似，至少在價格上沒有太大的差異。 30.不同規(guī)格的商品裝包時工作效率相同。 40.不考慮利潤及其他因素對商品價格的影響。參量與變量 W:每件商品凈重（產品的含量）, C(W): 每件商品的總成本, A: 每件商品中產品的成本, B1: 每件商品

15、裝包工時投入, B2: 每件商品包裝材料成本， S: 包裝材料用量, c(W):商品單位重量的平均成本. 分析：C(W) = A + B1 + B2 A = a1W, B1 = a2W, B2 = a3S = a4w2/3， 模型：C(W)= k1W + k2W2/3， c(W) = k1 + k2W-1/3應用于價格預測： 康爾乃奶粉 32.4元 400g; 67.1元 900g. 4 k1 + 42/3 k2 = 32.4 9 k1 + 92/3 k2 = 67.1 解得: k1 = 5.3791, k2 = 4.3192 模型: C(W)=5.3791 W + 4.3192 W2/3.

16、預測: W=1800, C(W) = 126.49. W=2500, C(W) = 154.36檢驗: 實際 W=1800, C(W)=115.9, W=2500, C(W)=146.85可賽礦泉水：1.70元 0.6升； 2.20元 1.0升 0.6 k1+ 0.62/3k2 = 1.7 1.0 k1+1.02/3 k2 = 2.2 解得： k1 = -1.21， k2 = 3.41 模型: C(W)=-1.21W + 3.41W2/3.預測：W=1.5，C(W)= 2.65檢驗: 實際 W=1.5, C(W)= 3.45 分析 10. 輪廓模型不宜于預報新商品的價格(?) 20. 成本的降

17、低率 r(W)=|dc/dw| = 1/3 k2W-4/3是商品量的減函數. 30. 支出的節(jié)省率 S(W) = W r(W) = 1/3 k2W-1/3也是商品量的減函數. 購買小包裝的商品不合算，購買特大包裝的商品也不合算！ 例4. 劃艇比賽的成績 問題1. 劃艇按艇上槳手的人數分為單人、雙人、四人和八人艇四種，賽程 2000m, 稱劃行時間為比賽成績。 試組建模型描述劃艇的比賽成績與艇上運動員人數的關系。 假設：10.艇身相似，艇重 U 與槳手人數 n 呈正比。20.運動員體重 W 相等，每人輸出功率 P 不變, 且與體重 W 呈正比。30. 艇速 v 定常，阻力 F與 Sv2 呈正比，

18、S 為浸沒面積。參量、變量n: 人數， W: 體重，P: 輸出功率,U: 艇重，v: 艇速，F: 劃艇受到的阻力，S: 浸沒面積, V：排水體積，D: 比賽距離，T: 比賽成績(時間). 分析：由假設可知 U=k3n， P=k1W, F=k2Sv2.由物理知識可知,槳手輸出的功完全用于劃艇克服阻力產生定常的速度。因此有 n P = k4 F v，則 k1 n W = k4 k2 S v3。于是得到速度模型 v = k9 (nW/S)1/3.由阿基米德原理可知劃艇排水的體積V與載人艇的總重量呈正比, V = k5(U+nW) = nk5(k3+W) = k6n。浸沒面積與排水體積關系為 S=k7V2/3=k8n2/3。代入速度模型，可得 v=k9(nW/n2/3)1/3=k10n1/9最后得到比賽成績的模型 T=D/v=k n-1/9.檢驗：劃艇四次比賽的成績 種類 成績(劃2000米時間(分) 平均 單人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.215 雙人 6.87 6.94 6.95 6.77 6.8775 四人 6.33 6.