同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明江西省余干縣教研室 楊占龍一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)（1）能根據(jù)三角函數(shù)的幾何、代數(shù)定義導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；（2）掌握同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式，并能夠根據(jù)一個(gè)角的三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值.2.過(guò)程與方法目標(biāo)（1）牢固掌握同角三角函數(shù)關(guān)系式，并能靈活解題，提高學(xué)生分析、解決三角函數(shù)的思維能力；（2）探究同角三角函數(shù)關(guān)系式時(shí)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值時(shí)，進(jìn)一步樹(shù)立分類(lèi)思想；解題時(shí)，注重化歸的思想，將新題目化歸到已經(jīng)掌握的知識(shí)點(diǎn)上；（3）通過(guò)對(duì)知識(shí)的探究，掌握自主學(xué)習(xí)的方法，通過(guò)學(xué)習(xí)中的交流，

2、形成合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣.3.情感、態(tài)度、價(jià)值觀(guān)目標(biāo)通過(guò)教學(xué)，使學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用觀(guān)察、類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合、聯(lián)想、猜測(cè)、檢驗(yàn)等合情推理方法，提高學(xué)生運(yùn)算能力和邏輯推理能力.二、教材分析本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) 數(shù)學(xué)必修4第1.2.2節(jié)，課型為新授課，所用的教材為人民教育出版社A版，課時(shí)安排為1課時(shí)，所用教具主要為多媒體、實(shí)物投影儀.本節(jié)課是在完成了任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義、符號(hào)表示及定義域、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)等教學(xué)之后進(jìn)行的.是對(duì)前面三角知識(shí)的延續(xù)，同時(shí)為后續(xù)進(jìn)行三角函數(shù)相關(guān)內(nèi)容打下重要基礎(chǔ)。因此本節(jié)內(nèi)容具有承前啟后的作用.另外，本節(jié)內(nèi)容是三角函數(shù)部分的重

3、要內(nèi)容，是三角計(jì)算的基礎(chǔ).三、學(xué)情分析本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是高一學(xué)生，時(shí)間為高一下學(xué)期.學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，對(duì)學(xué)習(xí)有著較濃的學(xué)習(xí)興趣.經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的探究性學(xué)習(xí)和合作性學(xué)習(xí)的訓(xùn)練，思維比較活躍，平時(shí)教學(xué)中勇于發(fā)表個(gè)人觀(guān)點(diǎn)，課堂討論氣氛較好.四、本節(jié)課教學(xué)的重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：公式和的推導(dǎo)及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變式應(yīng)用五、教法特點(diǎn)及預(yù)期效果分析教學(xué)模式以啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué)為主.本節(jié)教學(xué)從拋出問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考，探究知識(shí)開(kāi)始，到公式在使用時(shí)應(yīng)該注意的問(wèn)題，再到例題的多種不同解法，直至最后的小結(jié)歸納的過(guò)程，均由學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考和討論共同完成，真正體現(xiàn)以學(xué)生為主體的教學(xué)理念.在教學(xué)過(guò)程中，

4、教師的作用是把握教學(xué)重難點(diǎn)、教學(xué)流程，對(duì)學(xué)生探究的結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)，對(duì)學(xué)生不同的解法進(jìn)行提煉，幫助學(xué)生理清思維“脈絡(luò)”.本節(jié)課要求學(xué)生多看、多體會(huì)、多討論，學(xué)生是演員，是參與者，學(xué)生應(yīng)該有一定興趣.但另一方面，因?yàn)樽寣W(xué)生說(shuō)得較多，對(duì)口頭表達(dá)能力有一定欠缺的同學(xué)可能形成一定的心理壓力.因此，有可能形成課堂氣氛不夠活躍的情況。本節(jié)課采取了循序漸進(jìn)的推進(jìn)方式，且教學(xué)難度不大，對(duì)于絕大多數(shù)同學(xué)應(yīng)該能較順利地接受.六、教學(xué)過(guò)程中可能存在的困難（1）本節(jié)課開(kāi)頭出現(xiàn)的引例是想讓學(xué)生探究“兩個(gè)公式”但由于學(xué)生思考問(wèn)題角度的差異，學(xué)生可能用其他方法解題，繞過(guò)“探究”.（2）本節(jié)課練習(xí)和例題兩個(gè)小題均可能出現(xiàn)“一

5、題多解”，展示不同的解法，課堂教學(xué)時(shí)間可能不夠，不展示又覺(jué)得失去對(duì)學(xué)生認(rèn)可、讓更多學(xué)生體會(huì)別人不同思路的機(jī)會(huì)很可惜.最終形成兩難的二選一的境地.（3）“兩個(gè)公式”探究后輔以及時(shí)練習(xí)，學(xué)生可以及時(shí)體會(huì)“同角”的重要，但其他應(yīng)該注意的事項(xiàng)，學(xué)生獨(dú)立分析時(shí)可能有不到位、不全面的情況.（4）教師要抓住學(xué)生的不同解法及時(shí)提煉出其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，對(duì)教師反應(yīng)要求較高.七、教學(xué)流程（一）提問(wèn)引入1、 提出問(wèn)題：已知，求、的值.2、 在解題過(guò)程中，讓學(xué)生自己探索同角的三角函數(shù)關(guān)系.（二）探究新知1 探究對(duì)同角三角函數(shù)基本關(guān)系（1）根據(jù)學(xué)生探究出的結(jié)果，得出結(jié)論.引導(dǎo)學(xué)生注意“正弦的平方”的表示方法是“”

6、，而不是：“”，進(jìn)而得到符號(hào)表達(dá)式：；開(kāi)方計(jì)算時(shí)，注意“分類(lèi)”的思想在象限角正負(fù)號(hào)問(wèn)題處理時(shí)的應(yīng)用.（2）探究正弦、余弦和正切函數(shù)三者的關(guān)系：.以上的探究由學(xué)生自由完成，可以從圖形角度，也可以從定義角度加以探究，讓學(xué)生體會(huì)圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，體會(huì)兩種語(yǔ)言的區(qū)別于聯(lián)系.為了讓學(xué)生及時(shí)熟悉公式，同時(shí)為后續(xù)學(xué)生歸納“同角”作鋪墊，要求學(xué)生完成以下的課堂練習(xí)：（1） _；（2） _；（3） _（4） （3）學(xué)生交流、討論，最終在教師的引導(dǎo)下得到上述兩個(gè)公式中應(yīng)該注意的問(wèn)題：注意“同角”指相同的角，例如：、；注意這些關(guān)系式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的，如中，且需有意義等.（三）架構(gòu)遷移（

7、1）探究上述兩個(gè)關(guān)系式的等價(jià)變形式教師點(diǎn)明：由等價(jià)變形式已知余弦值可以求正弦值；由等價(jià)變形式已知余弦值可以求正弦值，學(xué)生可能得到:的結(jié)論，此時(shí)，應(yīng)該向?qū)W生說(shuō)明：、的符號(hào)受所在象限的限制，不是無(wú)條件的，不同于“由可以推出”這種情形，此情況類(lèi)似于“”而不是“”. 等價(jià)變形式可以將分式可以化為整式例1 已知銳角滿(mǎn)足,求（1）；（2）.讓學(xué)生探究第一小題的解法，注意、之間的關(guān)系的應(yīng)用，學(xué)生的解題方法可能有很多種，注意每種解法后對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的歸納.然后讓學(xué)生嘗試解決第二小題.第二小題較第一小題難度有所增加，可以讓學(xué)生采取合作學(xué)習(xí)的辦法，分小組討論，探究其解題方法.再與第一小題比較，尋找其可借鑒之處.體會(huì)類(lèi)比、化歸思想，化未知為已知.例2 化簡(jiǎn).本例在時(shí)間允許的情況下進(jìn)行，否則放到下節(jié)課解決.若時(shí)間允許，則進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí)：練習(xí)1：已知，且為第三象限角，求、的值.該題與引例配套.練習(xí)2:已知，求的值.該題與例2配套.（四）反