固體物理第三章

1、班級 成績 學(xué)號 Chapter 3 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 姓名 (lattice vibration and its heat characteristics)一、簡要回答下列問題(answer the following questions): 1、在晶格常數(shù)為a的一維單原子晶格中，波長=8a和波長=8a/5的格波所對應(yīng)的原子振動狀態(tài)有無不同? 試畫圖加以說明。答對于一維單原子鏈，由q=2知，8a時(shí)，q4a，8a5時(shí)，q54a，二者的aq相差，不是2的整數(shù)倍，因此，兩個(gè)格波所對應(yīng)的原子振動狀態(tài)不同。如上圖，當(dāng)兩個(gè)格波的位相差為2的整數(shù)倍時(shí)，則它們所對應(yīng)的原子的振動狀態(tài)相同。 2、什么叫

2、簡正振動模式？簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是否是一回事？答在簡諧振動下，由N個(gè)原子構(gòu)成的晶體的晶格振動，可等效成3N個(gè)獨(dú)立的諧振子的振動，每一個(gè)諧振子的振動模式稱為簡正振動模式。格波振動通常是這3N個(gè)簡正振動模式的線性疊加。簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是是一回事，其數(shù)目等于晶體中所有原子的自由度之和，即等于3N。 3、晶體中聲子數(shù)目是否守恒？在極低溫下，晶體中的聲子數(shù)與溫度T之間有什么樣的關(guān)系？答頻率為i的格波的平均聲子數(shù)為 ： 即每一個(gè)格波的聲子數(shù)都與溫度有關(guān)，因此晶體中的聲子數(shù)目不守恒，它隨溫度的改變而改變。以德拜模型為例。晶體中的聲子數(shù)目為 其中令 則 在極低溫度

3、下，DT，于是 即在溫度極低時(shí)，晶體中的聲子數(shù)目與T3成正比。 4、愛因斯坦模型在低溫下與實(shí)驗(yàn)存在偏差的根源是什么？而在極低溫度下，德拜模型為什么與實(shí)驗(yàn)相符？答愛因斯坦模型的格波的頻率大約為1013Hz，屬于光學(xué)支頻率。而光學(xué)格波在低溫時(shí)對熱容的貢獻(xiàn)非常小，低溫下對熱容貢獻(xiàn)大的主要是長聲學(xué)波。所以愛因斯坦模型在低溫下與實(shí)驗(yàn)存在偏差的根源是沒有考慮聲學(xué)波對熱容的貢獻(xiàn)。 在極低溫度下，不僅光學(xué)波得不到激發(fā)，而且聲子能量較大的短聲學(xué)格波因?yàn)槲茨鼙患ぐl(fā)，得到的激發(fā)只是聲子能量較小的長聲學(xué)格波。長聲學(xué)格波即彈性波。德拜模型只考慮彈性波對熱容的貢獻(xiàn)。因此，溫度越低，德拜模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得越好。 5、格波

4、與彈性波有何不同？答格波與彈性波相比都具有波的形式,但兩者又有不同之處:(1) 對于一維單原子鏈格波解為: 彈性波的解為: 在彈性波的解中, x表示空間任意一點(diǎn),而在格波解中只能取na 格點(diǎn)的位置.(2) 彈性波的色散關(guān)系是線性的，cq, c 是彈性波的波速;而格波的色散關(guān)系: 所表示的是周期函數(shù): , 且 有極大值 。但當(dāng)q 很小時(shí)，一維單原子鏈的色散關(guān)系與連續(xù)彈性介質(zhì)波的色散關(guān)系趨于一致:而且c 就是把原子鏈看成彈性鏈時(shí),彈性波的波速. 6、長聲學(xué)波能否導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化？答長光學(xué)波所以能導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化，其根源是長光學(xué)波使得原胞內(nèi)不同的原子（正負(fù)離子）產(chǎn)生了相對位移。長聲學(xué)波的

5、特點(diǎn)是，原胞內(nèi)所有的原子沒有相對位移。因此，長聲學(xué)格波不能導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化。 7、在絕對零度時(shí)還有格波存在嗎？若存在，格波間還有能量交換嗎？答頻率為i的格波的振動能為 ，其中是由n i個(gè)聲子攜帶的熱振動能，是零點(diǎn)振動能，聲子數(shù) ，在絕對零度時(shí)，聲子數(shù)為零，頻率為i的格波的振動能只剩下零點(diǎn)振動能。 格波間交換能量使靠聲子實(shí)現(xiàn)的，在絕對零度時(shí)，聲子數(shù)為零，格波間不再交換能量。8、聲子數(shù)代表的物理意義是什么？為什么說聲子是玻色子？答聲子是指格波的量子，它的能量等于。一個(gè)格波，也就是一種振動模，稱為一種聲子。所以，聲子數(shù)代表晶格振動的格波數(shù)。 在一定溫度下，平均聲子數(shù)遵從愛因斯坦玻色分布，二、填

6、空題(fill in the blanks)（并用英語表示）： 1、在一定溫度下，晶格原子獲得能量做熱運(yùn)動，于是各晶格原子將偏離其平衡位置；另一方面，由于原子間存在相互作用，使各原子又受到使其回到平衡位置的恢復(fù)力作用，結(jié)果，晶格各原子都在其平衡位置附近做微振動，這就是 晶格振動 。2、晶格振動的角頻率隨波數(shù)q變化，即允許的振動頻率與波長有關(guān)，晶格振動的這種變化關(guān)系（q關(guān)系），稱為晶格振動的色散關(guān)系 或晶格振動的 振動譜 。3、晶格振動具有能量，其對固體比熱的貢獻(xiàn)，稱為 晶格比熱 。按照量子理論,晶格比熱為 .4、 由N個(gè)原胞組成的一維雙原子鏈，q 可以取 N 個(gè)不同的值，每個(gè)q 對應(yīng) 2 個(gè)解

7、，因此總共有 2N 個(gè)不同的格波。 5、在三維晶格中，對一定的波矢q ，有 3 支聲學(xué)波， 3(n1) （n為一個(gè)原胞中的原子數(shù)） 支光學(xué)波。三、解釋下列物理概念(explain the following physics concepts)：1、格波 答 晶格振動是晶體中諸原子（離子）集體地在作振動，由于晶體內(nèi)原子間有相互作用，存在相互聯(lián)系，各個(gè)原子的振動間都存在著固定的位相關(guān)系，從而形成各種模式的波，即各晶格原子在平衡位置附近作振動時(shí)，將以前進(jìn)波的形式在晶體中傳播，這種波稱為格波。簡單地說，由于晶格具有周期性，晶格的振動模具有波的形式，稱為格波(lattice wave)。2、長聲學(xué)波和長

8、光學(xué)波答波長很長（比原胞的線度大得多），即波矢q很小的聲學(xué)波，稱為長聲學(xué)波。長聲學(xué)波可以近似地被認(rèn)為是彈性波。 波長很長（比原胞的線度大得多），即波矢q很小的光學(xué)波，稱為長光學(xué)波。對于光學(xué)波，原胞中不同原子的振動方向相反，容易產(chǎn)生極化，所以長光學(xué)波又稱為極化波。3、三聲子過程非諧作用是指勢能展開式中三次以上的高階項(xiàng)。勢能三次方項(xiàng)對應(yīng)三聲子過程，指兩個(gè)聲子碰撞產(chǎn)生另一個(gè)聲子或一個(gè)聲子劈裂成兩個(gè)聲子的過程，而且聲子之間的相互作用遵從能量守恒和動量守恒定律。4、非簡諧效應(yīng)當(dāng)考慮到原子的相互作用勢中的3以上的高次項(xiàng)時(shí)出現(xiàn)的種種效應(yīng)叫非簡諧效應(yīng)。這時(shí)格波之間可以有相互作用，聲子之間也可以交換能量。非簡諧

9、項(xiàng)的存在是晶格振動達(dá)到熱平衡的最主要的原因，只有考慮到非簡諧項(xiàng)的存在也才能解釋晶體的熱膨脹和熱傳導(dǎo)等現(xiàn)象。5、局域振動當(dāng)晶體中存在有雜質(zhì)或缺陷時(shí)，就可能產(chǎn)生局域振動，這種局域振動只是局限在雜質(zhì)（或缺陷）的附近，其振幅隨著與雜質(zhì)（或缺陷）的距離增大而指數(shù)的衰減。所以，局域振動是局限在雜質(zhì)（或缺陷）附近的晶格振動稱為局域振動（localized vibration）。四、已知一維單原子鏈，其中第j個(gè)格波，在第n個(gè)格點(diǎn)引起的位移nj為 j為任意相位因子。并已知在較高溫度下每個(gè)格波的平均能量為kT ，具體計(jì)算每個(gè)原子的平方平均位移。解任一原子的位移是所有格波所引起的位移的疊加， 即 （1）原子位移的長

10、時(shí)間平均值 由于njnj的數(shù)目非常大，為N 2（N 為原子數(shù)）數(shù)量級，而且取正或取負(fù)的幾率相等，因此上式中的第二項(xiàng)與第一項(xiàng)相比是一小量，可以略去不計(jì)，所以 由于nj是時(shí)間t 的周期性函數(shù)，其長時(shí)間平均等于一個(gè)周期內(nèi)的時(shí)間平均值，因此已知在較高溫度下每個(gè)格波的能量為kT，nj的動能的時(shí)間平均值為： 其中，L是原子鏈的長度，是質(zhì)量密度，T0為周期。 （3） 因此 將上式代入（2）式有 所以每個(gè)原子的平方平均位移為 而=m/a,L=Na五、求出一維原子鏈的頻率分布函數(shù)。解 1、一維單原子鏈的情況對于一維情況，q 空間的密度為L2,L=Na為單原子鏈的長度,其中a 為原子間距,N 為原子數(shù)目.則在dq

11、 間隔內(nèi)的振動模式數(shù)為(L2)dq. d 頻率間隔內(nèi)的振動模式數(shù)為等式右邊的2 來源于(q) 具有中心反演對稱,q 0與q 0 區(qū)間是完全等價(jià)的.從而有 (1)只考慮最近鄰相互作用時(shí),一維單原子鏈的色散關(guān)系為 其中m 為最大頻率.代入(1)式可以得到 2、一維雙原子鏈情況所以 代入(1)式有六、設(shè)三維晶格的光學(xué)振動在q0附近的長波極限有 (q)=0-Aq2 求證：頻率分布函數(shù)為 0 證明 由 以及 有 當(dāng)0 時(shí), 根號下為負(fù)值,q 不存在, 所以有f()=0七、寫出量子諧振子系統(tǒng)的自由能，證明在經(jīng)典極限下，自由能為證明 量子諧振子系統(tǒng)的自由能為經(jīng)典極限意味著（溫度較高）應(yīng)用 所以 因此 其中

12、八、設(shè)晶體中每個(gè)振子的能量為 ，試用德拜模型求晶體的零點(diǎn)振動能。解 根據(jù)量子力學(xué), 零點(diǎn)正動能是諧振子所固有的,與溫度無關(guān), 故T=0 K時(shí)的振動能就是各振動模零點(diǎn)能之和 而 對于德拜模型 所以有 但 所以 九、試由格臨愛森方程 導(dǎo)出固體的體積熱脹系數(shù) 。解 熱膨脹是指在不施加力的情況下,體積的變化與溫度的關(guān)系.因此,令格林愛森方程中的P=0, 有 (1)對于大多數(shù)固體來說,體積的變化不大,因此可以將(dU/dV)在靜止的晶格的平衡體積V0點(diǎn)展開只取到V 的線性項(xiàng), 則有 將上式寫成 并將兩邊對T求微商, 則有 式中K0為T=0時(shí)的體彈性模量, Cv為固體的熱容.十、對一維簡單格子，按德拜模型，求出晶格熱容，并討論高低溫極限。解