第五章第3講　平面向量的數(shù)量積

1、抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考第第3講平面向量的數(shù)量積講平面向量的數(shù)量積抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理1兩個(gè)向量的夾角兩個(gè)向量的夾角同向同向反向反向ab抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考已知兩個(gè)非零向量已知兩個(gè)非零向量a和和b，它們的夾角為，它們的夾角為，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量|a|b|cos 叫做向量叫做向量a和和b的數(shù)量積的數(shù)量積(或內(nèi)積或內(nèi)積)，記作，記作_.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_(kāi).數(shù)量積數(shù)量積ab等于等于a的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度|a|

2、與與b在在a的方向上的投影的方向上的投影_的乘積的乘積2平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積3平面向量數(shù)量積的幾何意義平面向量數(shù)量積的幾何意義ab|a|b|cos |b|cos 0抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)eaae_；(2)非零向量非零向量a，b，ab_；4平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)|a|cos ab0|a|2(1)ab_(交換律交換律)；(2)(a)b_(為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù))；(3)(ab)c_.5平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律ba(ab)a(b)abacbc抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3

3、年高考年高考設(shè)向量設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則ab_，由此得到由此得到x1x2y1y20 x1x2y1y26平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示x2y2抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考對(duì)于數(shù)量積的復(fù)習(xí)應(yīng)重視以下幾個(gè)方面對(duì)于數(shù)量積的復(fù)習(xí)應(yīng)重視以下幾個(gè)方面(1)由于幾何意義和坐標(biāo)意義是平面向量的兩個(gè)最本質(zhì)特由于幾何意義和坐標(biāo)意義是平面向量的兩個(gè)最本質(zhì)特征，所以平面向量的數(shù)量積常結(jié)合平面向量基本定理考查征，所以平面向量的數(shù)量積常結(jié)合平面向量基本定理考查這兩個(gè)特征這兩個(gè)特征(2)認(rèn)真理解數(shù)量積的定義及其幾何意義，理解投影

4、的概念認(rèn)真理解數(shù)量積的定義及其幾何意義，理解投影的概念及其實(shí)質(zhì)，對(duì)于數(shù)量積的坐標(biāo)表示，要注意與兩向量共線及其實(shí)質(zhì)，對(duì)于數(shù)量積的坐標(biāo)表示，要注意與兩向量共線表示的區(qū)別求兩向量的數(shù)量積，包括定義法和坐標(biāo)法兩表示的區(qū)別求兩向量的數(shù)量積，包括定義法和坐標(biāo)法兩種形式種形式【助學(xué)助學(xué)微博微博】抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(3)明確運(yùn)用數(shù)量積可以解決的問(wèn)題，如求長(zhǎng)度明確運(yùn)用數(shù)量積可以解決的問(wèn)題，如求長(zhǎng)度(范圍范圍)、求、求夾角、解決垂直問(wèn)題等，并重視數(shù)量積在三角函數(shù)、解析夾角、解決垂直問(wèn)題等，并重視數(shù)量積在三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)中的應(yīng)用幾何等知識(shí)中的應(yīng)用(4)題型主要

5、以填空題為主，屬容易題，預(yù)計(jì)今后高考對(duì)數(shù)題型主要以填空題為主，屬容易題，預(yù)計(jì)今后高考對(duì)數(shù)量積的考查仍將是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)量積的考查仍將是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案4考點(diǎn)自測(cè)考點(diǎn)自測(cè)抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考2(2012揚(yáng)州第二次調(diào)研揚(yáng)州第二次調(diào)研)已知單位向量已知單位向量a，b的夾角為的夾角為 120，那么，那么|2axb|(xR)的最小值是的最小值是_抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案

6、44(2012蘇錫常鎮(zhèn)聯(lián)考蘇錫常鎮(zhèn)聯(lián)考)已知已知|a|6，|b|3，ab12，則向量則向量a在向量在向量b方向上的投影為方向上的投影為_(kāi)抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案8抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考考向一考向一向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積答案答案24抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結(jié)方法總結(jié) 當(dāng)向量表示平面圖形中的一些有向線段時(shí)，要當(dāng)向量表示平面圖形中的一些有向線段時(shí)，要根據(jù)向量加減法運(yùn)算的幾何法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把題目中未知根據(jù)向量加減法運(yùn)算的幾何法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把題目中未知的向量用已

7、知的向量表示出來(lái)，在這個(gè)過(guò)程中要充分利用的向量用已知的向量表示出來(lái)，在這個(gè)過(guò)程中要充分利用共線向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知共線向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知識(shí)識(shí)抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)(2012鹽城市二模鹽城市二模)設(shè)向量設(shè)向量a，b，c滿足滿足abc0，(ab)c，ab，若，若|a|1，則，則|a|2|b|2|c|2的值是的值是_考向二考向二利用平面向量數(shù)量積求夾角與模利用平面向量數(shù)量積求夾角與模抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3

8、年高考年高考抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考【訓(xùn)練訓(xùn)練2】 (2011揚(yáng)州調(diào)研揚(yáng)州調(diào)研)已知非零向量已知非零向量a，b，c滿足滿足abc0，向量，向量a，b的夾角為的夾角為120，且，且|b|2|a|，則向，則向量量a與與c的夾角為的夾角為_(kāi)所以所以ac，即，即a與與c的夾角為的夾角為90.答案答案90抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例3】 (2012無(wú)錫期末考試無(wú)錫期末考試)已知已知ABC的角的角A、B、C所所對(duì)的邊分別是對(duì)的邊分別是a、b、c，設(shè)向量，設(shè)向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)考

9、向三考向三利用數(shù)量積解決向量平行、垂直問(wèn)題利用數(shù)量積解決向量平行、垂直問(wèn)題抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)解解由題意可知由題意可知mp0，即，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab.即即(ab)23ab40.ab4(ab1舍去舍去)方法總結(jié)方法總結(jié) 已知兩向量垂直就是利用其數(shù)量積為零列出方已知兩向量垂直就是利用其數(shù)量積為零列出方程，通過(guò)解方程求出其中的參數(shù)值在計(jì)算數(shù)量積時(shí)要注程，通過(guò)解方程求出其中的參數(shù)值在計(jì)算數(shù)量積時(shí)要注意方法的選擇：一種方法是利用向量的坐標(biāo)形式求數(shù)量意方法的選擇：一種方法是利

10、用向量的坐標(biāo)形式求數(shù)量積；另一種方法是利用向量數(shù)量積的計(jì)算公式求數(shù)量積積；另一種方法是利用向量數(shù)量積的計(jì)算公式求數(shù)量積抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)(2011遼寧卷改編遼寧卷改編)若若a，b，c均為單位向量，且均為單位向量，且ab0，(ac)(bc)0，則，則|abc|的最大值為的最大值為_(kāi)考向四考向四平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示及應(yīng)用平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示及應(yīng)用抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考

11、答案答案(1)6(2)1方法總結(jié)方法總結(jié) 建立直角坐標(biāo)系，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解有關(guān)建立直角坐標(biāo)系，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解有關(guān)問(wèn)題，多數(shù)情況下較為方便問(wèn)題，多數(shù)情況下較為方便抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案5抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考 近幾年高考對(duì)平面向量的考查突出了近幾年高考對(duì)平面向量的考查突出了“創(chuàng)新性創(chuàng)新性”與與“靈靈活性活性”，其實(shí)質(zhì)可以歸源于平面向量的幾何特征和代數(shù)特，其實(shí)質(zhì)可以歸源于平面向量的幾何特征和代數(shù)特征通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示求與向量征通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示求與向量有

12、關(guān)的值或最值、范圍問(wèn)題，往往較為方便通過(guò)向量的有關(guān)的值或最值、范圍問(wèn)題，往往較為方便通過(guò)向量的坐標(biāo)，可以建立函數(shù)模型坐標(biāo)，可以建立函數(shù)模型(代數(shù)或三角函數(shù)代數(shù)或三角函數(shù))，用函數(shù)性質(zhì)，用函數(shù)性質(zhì)或基本不等式求解或基本不等式求解熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)突破15 充分利用向量的坐標(biāo)表示求與向量有關(guān)的充分利用向量的坐標(biāo)表示求與向量有關(guān)的 綜合性問(wèn)題綜合性問(wèn)題抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考審題與轉(zhuǎn)化審題與轉(zhuǎn)化 第一步第一步：通過(guò)建系，運(yùn)用坐標(biāo)法來(lái)解題比：通過(guò)建系，運(yùn)用坐標(biāo)法來(lái)解題比較簡(jiǎn)單較簡(jiǎn)單規(guī)范解答規(guī)范解答 第二步第二步：法一以：法一以A為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，AB所在直線所在直線為為x軸，軸，AD所在直線為所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)F(x,2)，抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住6個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考反思與回顧反思與回顧 第三步第三步：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、向：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量加減法的幾何表示等知識(shí)，試題難度量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量加減法的幾何表示等知識(shí)，試題難度較大考查了學(xué)生運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力較大考查了