定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式在解題中的應(yīng)用

1、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式在解題中的應(yīng)用 河北 陳慶新 許多同學(xué)可能已經(jīng)能夠熟練地應(yīng)用有向線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式及定比的坐標(biāo)公式，求解有向線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)及定點(diǎn)分有向線段所成的比了事實(shí)上用這兩個(gè)公式，還可巧妙地用于解決其它一些問題如用得好，會(huì)使解題過程顯得別具一格，簡捷明快，充分展現(xiàn)我們思維的獨(dú)創(chuàng)性下面舉例說明其解題中的應(yīng)用一、在幾何問題中的應(yīng)用（一）關(guān)于公式的正用例1 證明：三角形內(nèi)角平分線分其對(duì)邊之比等于夾這個(gè)角的兩邊長度之比A C O B x y 證明：以O(shè)AB的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，AOB的平分線OC所以直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|OA|m，|OB|n，AOC COB ，則A(mcos

2、，msin)，B(ncos，nsin)，設(shè)C點(diǎn)分的所成的比為，由定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式：0，解之得，即點(diǎn)評(píng)：本例的結(jié)論在解題中有著很多的應(yīng)用。請(qǐng)看下面的例子。例2已知ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，1)，B(3，1)，C(2，5)，角A的內(nèi)角平分線交對(duì)邊于D，則向量的坐標(biāo)為 解析：容易計(jì)算|4，|5。根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)知：，于是可知點(diǎn)D分有向線段所成的比為，從而由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)（，），于是（，）例3已知三點(diǎn)A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在線段AB上取一點(diǎn)P，使過P且平行于BC的直線把ABC的面積分成45兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)解析：由題意得：所以，即2，2，設(shè)P

3、(x，y)，則x3，y所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，)例4已知在ABC中，BCa，CAb，ABc，且A(x，y)、B(x，y)、C(x，y)，求ABC的內(nèi)心坐標(biāo)A C B D I 解析：設(shè)I為ABC的內(nèi)心，AD為A的平分線，則，點(diǎn)D分所成的比為，由定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)：x，y又，即點(diǎn)I分所成的比x，同理yABC的內(nèi)心坐標(biāo)為(，)（二）公式的逆用例5已知一次函數(shù)ymx2圖象與線段AB有交點(diǎn)，若A(2，3)、B(3，2)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解析：設(shè)一次函數(shù)的圖象直線l交AB于點(diǎn)P(x，y)且(0)，當(dāng)0時(shí)，直線過A點(diǎn)，則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式知，又因P在直線l上，故m·20，解得：0，

4、從而m或m又當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)符合題意，所以將B(3，2)代入直線l的方程，求得m故m的取值范圍為m或m 本例可以推廣為：已知定點(diǎn)P1（x1，y1）、P2(x2，y2)及直線l：AxByC=0，設(shè)直線l與直線P1P2相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P分有向線段所成的比 略解：設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線l的方程：ABC=0，整理得：（Ax1By1C）(Ax2By2C)=0，解之得： 點(diǎn)評(píng)：若利用這個(gè)結(jié)論來解答一下例5，就顯得非常簡捷：設(shè)點(diǎn)P(x，y)分有向線段所成的比為，則，因?yàn)镻為內(nèi)分點(diǎn)，所以0，解之得：m或 m，當(dāng)直線l過點(diǎn)B時(shí)，有m綜上知：m

5、或m二、在代數(shù)問題中的應(yīng)用（一）、解不等式例6解不等式1解析：令y10，則x，且y0，于是此問題可轉(zhuǎn)化為：數(shù)軸上以P1()為起點(diǎn)，P2()為終點(diǎn)，定比y0時(shí)，求分點(diǎn)P的坐標(biāo)x的范圍問題由y0知點(diǎn)P為有向線段的內(nèi)分點(diǎn)，或與點(diǎn)P1重合，故應(yīng)有x例7 解不等式12解析：在數(shù)軸上取P1，P，P2點(diǎn)依次表示1，2，由得，因?yàn)镻內(nèi)分有向線段，所以0，即x2x30，解之即得原不等式的解集為：x|x1或x（二）、求函數(shù)的值域例8 求函數(shù)y的值域解析：令，則0，依題意有y，根據(jù)上式可知為點(diǎn)P(y)分有向線段所成的比，其中P1(1)、P2(3)，于是函數(shù)y為分點(diǎn)P的坐標(biāo)，由定比的坐標(biāo)公式：0，解之得y3或y1即原

6、函數(shù)的值域?yàn)?，3)1，例9求函數(shù)y的反函數(shù)的定義域解析：問題等價(jià)于求原函數(shù)的值域令e0，P1(1)，P(y)，P2(1)，則y，0，P為有向線段的內(nèi)分點(diǎn)，1y1，故原函數(shù)的值域?yàn)?1，1)，即其反函數(shù)的定義域?yàn)?1，1)例10求函數(shù)y(1x的值域解析：將原函數(shù)式變形為：y，設(shè)P1(1，0)、P2(1，0)，x，其中1x3由函數(shù)x的單調(diào)性可求得，2又當(dāng)2時(shí)，y；時(shí)，y，所以所求函數(shù)的值域?yàn)?，)（三）、求函數(shù)的解析式例11二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1，0)且xf(x)(x21)，對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，求f(x) 解析：因?yàn)楫?dāng)xR，總有xf(x)(x21)，為此不妨設(shè)P1(x)、P

7、f(x)、P2()為數(shù)軸上三點(diǎn)，則，其中0，于是由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得：f(x) ，又因?yàn)閥 f(x)經(jīng)過點(diǎn)(1，0)，代入上式得，0，解得1，再將1代入f(x) 得，f(x) x2x（四）、用于處理三角問題例12 證明：y的值不在區(qū)間(，3)內(nèi)證明：當(dāng)sinx1時(shí)，y3(，3)；當(dāng)sinx1時(shí)，y1(，3)；當(dāng)sinx±1時(shí)，將P(y)視為數(shù)軸上的點(diǎn)A()與B(3)的分點(diǎn)，由定比的坐標(biāo)公式：，得0，即點(diǎn)P(y)為有向線段的外分點(diǎn)，故有y(，3)綜上可知，y的值不在區(qū)間(，3)內(nèi)（六）、用于解決數(shù)列問題數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的特殊函數(shù)而等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：aa(n1)ddn(ad)為變量n的一次函數(shù)(d0)，其圖象為直線故而有A(m，a)、B(n，a)、C(p，a)三點(diǎn)共線(其中a、a、a分別為項(xiàng)數(shù)是m、n、p的數(shù)列中的項(xiàng))為此我們把C視為的一個(gè)定比分點(diǎn)，則有，a例13 在3與19之間插入31個(gè)數(shù)，使它們成等差數(shù)列，求通項(xiàng)公式解析：設(shè)通項(xiàng)為a，令點(diǎn)P(n，a)分A(1，a)，B(33，a)兩點(diǎn)連成的線段所成的比為，則有，又由題意