定積分的應(yīng)用

1、 第六章 定積分的應(yīng)用 教學(xué)目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積）。3、掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。教學(xué)重點(diǎn)：1、 計(jì)算平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積。2、計(jì)算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。教學(xué)難點(diǎn)：1、 截面面積為已知的立體體積。 2、引力。6. 1 定積分的元素法 回憶曲邊梯形的面積: 設(shè)y=f (x)0 (xa, b). 如果說(shuō)積分,是以a, b為底的曲邊梯形的面積,

2、 則積分上限函數(shù)就是以a, x為底的曲邊梯形的面積. 而微分dA(x)=f (x)dx 表示點(diǎn)x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值DAf (x)dx, f (x)dx稱為曲邊梯形的面積元素. 以a, b為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f(x)dx為被積表達(dá)式, 以a, b為積分區(qū)間的定積分: . 一般情況下, 為求某一量U, 先將此量分布在某一區(qū)間a, b上, 分布在a, x上的量用函數(shù)U(x)表示, 再求這一量的元素dU(x), 設(shè)dU(x)=u(x)dx, 然后以u(píng)(x)dx為被積表達(dá)式, 以a, b為積分區(qū)間求定積分即得. 用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法). 6.

3、2 定積分在幾何上的應(yīng)用 一、平面圖形的面積 1直角坐標(biāo)情形 設(shè)平面圖形由上下兩條曲線y=f上(x)與y=f下(x)及左右兩條直線x=a與x=b所圍成, 則面積元素為f上(x)- f下(x)dx, 于是平面圖形的面積為 . 類似地, 由左右兩條曲線x=j左(y)與x=j右(y)及上下兩條直線y=d與y=c所圍成設(shè)平面圖形的面積為 . 例1 計(jì)算拋物線y2=x、y=x2所圍成的圖形的面積. 解 (1)畫(huà)圖. (2)確定在x軸上的投影區(qū)間: 0, 1. (3)確定上下曲線: . (4)計(jì)算積分 . 例2 計(jì)算拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成的圖形的面積. 解 (1)畫(huà)圖. (2)確定在y軸上

4、的投影區(qū)間: -2, 4. (3)確定左右曲線: . (4)計(jì)算積分. 例3 求橢圓所圍成的圖形的面積. 解 設(shè)整個(gè)橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍, 橢圓在第一象限部分在x 軸上的投影區(qū)間為0, a. 因?yàn)槊娣e元素為ydx, 所以.橢圓的參數(shù)方程為:x=a cos t , y=b sin t , 于是 . 2極坐標(biāo)情形 曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素: 由曲線r=j(q)及射線q =a, q =b圍成的圖形稱為曲邊扇形. 曲邊扇形的面積元素為. 曲邊扇形的面積為. 例4. 計(jì)算阿基米德螺線r=aq (a 0)上相應(yīng)于q從0變到2p 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積. 解: . 例5. 計(jì)算

5、心形線r=a(1+cosq ) (a0) 所圍成的圖形的面積. 解: . 二、體 積 1旋轉(zhuǎn)體的體積 旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體. 這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸. 常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)體: 圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體. 旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線y=f (x)、直線x=a 、a=b 及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體. 設(shè)過(guò)區(qū)間a, b內(nèi)點(diǎn)x 且垂直于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為V (x), 當(dāng)平面左右平移dx后, 體積的增量近似為DV=pf (x)2dx , 于是體積元素為 dV = pf (x)2dx , 旋轉(zhuǎn)體的體積為 . 例1 連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h, r)的

6、直線、直線x=h 及x 軸圍成一個(gè)直角三角形. 將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體. 計(jì)算這圓錐體的體積. 解: 直角三角形斜邊的直線方程為. 所求圓錐體的體積為 . 例2. 計(jì)算由橢圓所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積. 解: 這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個(gè)橢圓 及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體. 體積元素為dV= p y 2dx , 于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為 . 例3 計(jì)算由擺線x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱, 直線y=0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積. 解 所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 =5

7、p 2a 3. 所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積是兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積的差. 設(shè)曲線左半邊為x=x1(y)、右半邊為x=x2(y). 則 =6p 3a 3 . 2平行截面面積為已知的立體的體積 設(shè)立體在x軸的投影區(qū)間為a, b, 過(guò)點(diǎn)x 且垂直于x軸的平面與立體相截, 截面面積為A(x), 則體積元素為A(x)dx , 立體的體積為 . 例4 一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓中心, 并與底面交成角a. 計(jì)算這平面截圓柱所得立體的體積. 解: 取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸, 底面上過(guò)圓中心、且垂直于x軸的直線為y軸. 那么底圓的方程為x 2 +y 2=R 2. 立體中過(guò)點(diǎn)x且垂直于x軸的截面

8、是一個(gè)直角三角形. 兩個(gè)直角邊分別為及. 因而截面積為. 于是所求的立體體積為 . 例5. 求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積. 解: 取底圓所在的平面為x O y 平面, 圓心為原點(diǎn), 并使x軸與正劈錐的頂平行. 底圓的方程為x 2 +y 2=R 2. 過(guò)x軸上的點(diǎn)x (-Rx0)相應(yīng)于q 從0到2p 一段的弧長(zhǎng). 解: 弧長(zhǎng)元素為.于是所求弧長(zhǎng)為. 6. 3 功 水壓力和引力 一、變力沿直線所作的功 例1 把一個(gè)帶+q電量的點(diǎn)電荷放在r軸上坐標(biāo)原點(diǎn)O處, 它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng). 這個(gè)電場(chǎng)對(duì)周圍的電荷有作用力. 由物理學(xué)知道, 如果有一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電

9、場(chǎng)中距離原點(diǎn)O為r的地方, 那么電場(chǎng)對(duì)它的作用力的大小為 (k是常數(shù)). 當(dāng)這個(gè)單位正電荷在電場(chǎng)中從r=a處沿r軸移動(dòng)到r=b(ab)處時(shí), 計(jì)算電場(chǎng)力F對(duì)它所作的功. 例1 電量為+q的點(diǎn)電荷位于r軸的坐標(biāo)原點(diǎn)O處它所產(chǎn)生的電場(chǎng)力使r軸上的一個(gè)單位正電荷從r=a處移動(dòng)到r=b(ab)處求電場(chǎng)力對(duì)單位正電荷所作的功. 提示: 由物理學(xué)知道, 在電量為+q的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)中, 距離點(diǎn)電荷r處的單位正電荷所受到的電場(chǎng)力的大小為 (k是常數(shù)). 解: 在r軸上, 當(dāng)單位正電荷從r移動(dòng)到r+dr時(shí), 電場(chǎng)力對(duì)它所作的功近似為, 即功元素為. 于是所求的功為. 例2. 在底面積為S的圓柱形容器中盛有

10、一定量的氣體. 在等溫條件下, 由于氣體的膨脹, 把容器中的一個(gè)活塞(面積為S)從點(diǎn)a處推移到點(diǎn)b處. 計(jì)算在移動(dòng)過(guò)程中, 氣體壓力所作的功. 解: 取坐標(biāo)系如圖, 活塞的位置可以用坐標(biāo)x來(lái)表示. 由物理學(xué)知道, 一定量的氣體在等溫條件下, 壓強(qiáng)p與體積V的乘積是常數(shù)k , 即 pV=k 或. 解: 在點(diǎn)x處, 因?yàn)閂=xS, 所以作在活塞上的力為. 當(dāng)活塞從x移動(dòng)到x+dx時(shí), 變力所作的功近似為,即功元素為. 于是所求的功為. 例3. 一圓柱形的貯水桶高為5m, 底圓半徑為3m, 桶內(nèi)盛滿了水. 試問(wèn)要把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功？ 解: 作x軸如圖. 取深度x 為積分變量. 它的變化區(qū)間

11、為0, 5, 相應(yīng)于0, 5上任小區(qū)間x, x+dx的一薄層水的高度為dx. 水的比重為9.8kN/m3, 因此如x的單位為m, 這薄層水的重力為9.8p32dx. 這薄層水吸出桶外需作的功近似地為dW=88.2pxdx, 此即功元素. 于是所求的功為(kj). 二、水壓力 從物理學(xué)知道, 在水深為h處的壓強(qiáng)為p=gh , 這里 g 是水的比重. 如果有一面積為A 的平板水平地放置在水深為h處, 那么, 平板一側(cè)所受的水壓力為P=pA. 如果這個(gè)平板鉛直放置在水中, 那么, 由于水深不同的點(diǎn)處壓強(qiáng)p不相等, 所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計(jì)算. 例4. 一個(gè)橫放著的圓柱形水桶, 桶內(nèi)盛有

12、半桶水. 設(shè)桶的底半徑為R, 水的比重為 g , 計(jì)算桶的一個(gè)端面上所受的壓力. 解: 桶的一個(gè)端面是圓片, 與水接觸的是下半圓. 取坐標(biāo)系如圖. 在水深x處于圓片上取一窄條, 其寬為dx , 得壓力元素為. 所求壓力為 . 三、引力 從物理學(xué)知道, 質(zhì)量分別為m 1、m 2, 相距為r的兩質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為, 其中G為引力系數(shù), 引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)連線方向. 如果要計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力, 那么, 由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的, 且各點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力的方向也是變化的, 就不能用上述公式來(lái)計(jì)算. 例5. 設(shè)有一長(zhǎng)度為l 、線密度為r的均勻細(xì)直棒, 在其中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M. 試計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力. 例5. 求長(zhǎng)度為l、線密