求數(shù)列的通項公式方法總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上題型四：求數(shù)列的通項公式 一.公式法：當題中已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，在求其通項公式時我們就可以直接利用等差或等比數(shù)列的公式來求通項，只需求得首項及公差公比。二.當題中告訴了數(shù)列任何前一項和后一項的遞推關(guān)系即：和an-1的關(guān)系時我們可以根據(jù)具體情況采用下列方法1、疊加法：一般地，對于型如類的通項公式，且的和比較好求，我們可以采用此方法來求。即：；【例1】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：（1）由題知： 2、疊乘法：一般地對于形如“已知a1，且=f（n）（f（n）為可求積的數(shù)列）”的形式可通過疊乘法求數(shù)列的通項公式。即：；【例2】在數(shù)列中， =1, (n+1)&#

2、183;=n·，求的表達式。解：由(n+1)·=n·得，=··= 所以3、構(gòu)造法：當數(shù)列前一項和后一項即和an-1的遞推關(guān)系較為復(fù)雜時，我們往往對原數(shù)列的遞推關(guān)系進行變形，重新構(gòu)造數(shù)列，使其變?yōu)槲覀儗W過的熟悉的數(shù)列（等比數(shù)列或等差數(shù)列）。具體有以下幾種常見方法。（1）、待定系數(shù)法：、一般地對于an =kan-1 +m(k、m為常數(shù)）型，可化為的形式an +=k(an-1 +).重新構(gòu)造出一個以k為公比的等比數(shù)列，然后通過化簡用待定系數(shù)法求，然后再求。【例3】設(shè)b>0,數(shù)列滿足a1=b，.求數(shù)列的通項公式；解：，得，設(shè)，則，（）當時，是以為

3、首項，為公差的等差數(shù)列，即，（）當時，設(shè)，則，令，得，知是等比數(shù)列，又，、對于這種形式,一般我們討論兩種情況：i、當f(n)為一次多項式時，即數(shù)列的遞推關(guān)系為型，可化為的形式來求通項?！纠?】設(shè)數(shù)列中，求的通項公式。解：設(shè) 與原式比較系數(shù)得：即 令 ii、當f(n)為指數(shù)冪時，即數(shù)列遞推關(guān)系為（A、B、C為常數(shù)，）型，可化為=）的形式.構(gòu)造出一個新的等比數(shù)列，然后再求當A=C時，我們往往也會采取另一種方法，即左右兩邊同除以Cn +1,重新構(gòu)造數(shù)列，來求?！纠?】設(shè)為常數(shù)，且（），證明：對任意n1，解：證明：設(shè) 用代入可得 是公比為，首項為的等比數(shù)列， （），即：（2）、倒數(shù)法：一般地形如、等形

4、式的遞推數(shù)列可以用倒數(shù)法將其變形為我們熟悉的形式來求通項公式。【例6】.已知數(shù)列滿足：，求的通項公式。 解：原式兩邊取倒數(shù)得： 即（3） 、對數(shù)法：當數(shù)列和an-1的遞推關(guān)系涉及到高次時，形如：anp = man-1q（其中m、p、q為常數(shù)）等，我們一般采用對數(shù)法，等式兩邊分別取對數(shù)，進行降次，再重新構(gòu)造數(shù)列進行求解?！纠?】若數(shù)列中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項公式是=解 由題意知0，將兩邊取對數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項，公比為2的等比數(shù)列， ，即.（4）、特征方程法、一般地對于形如已知an+2=A an+1 +B an (A、B是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列，我們可以采取兩種方法來求通項。

5、 法一：可用特征方程的方法求解：我們稱方程：x2-Ax-B=0為數(shù)列的特征方程（i）當方程有兩個相異的實根（或虛根）p、q時，有：，其中c1與c2由已知確定。（ii）當方程有唯一的實根p時，有，其中c1與c2由已知確定。法二：可構(gòu)造成，則為等比數(shù)列，進而求通項公式，這種方法過程較為繁雜?！纠?】已知 a 1 =2， a 2 =3，求通項公式。解法一：特征方程的根為1，所以an = (c1 n+c2)×1n由：得c1 = c2 = 1，所以an = n + 1。解法二：設(shè)，可得x 1 = x 2 = 1，于是an+1an 是公比為1的等比數(shù)列，an+1an = 1，所以an = n +

6、 1。、一般地形如：（a、b、c、d為常數(shù)）可得到相應(yīng)的特征方程：，再將其變?yōu)?，通過該方程的根的情況來重新構(gòu)造數(shù)列。（i）如果方程有兩個相異的實根，則有數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（ii）如果方程有兩個相同的實根，則數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列。【例9】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特征方程為，化簡得，解得，令 由得，可得，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，三 、當題中給出的是Sn 和的關(guān)系時，我們一般通過作差法結(jié)合an = SnSn1 這個通用公式對原等式進行變形，消掉Sn得到和an+1的遞推關(guān)系，或消掉得到Sn 和Sn1的遞推關(guān)系，然后重新構(gòu)造數(shù)列求通項公式。【例10】已知數(shù)列的前項和為，且滿足：， N*，求數(shù)列的通項公式； 解：（I）由已知可得，兩式相減可得 即 又所以r=0時，數(shù)列為：a，0，0，； 當時，由已知（）， 于是由可得， 成等比數(shù)列， 綜上，數(shù)列的通項公式為【例11】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和滿足，且求的通項公式；解：由，解得a11或a12，由假設(shè)a1S11，因此a12。又由an+1Sn